Apuntes de Cinemática

el movimiento circular

Movimiento circular

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, θ

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo θ, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, θ=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, ω

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo θ. El móvil se habrá desplazado Δθ=θ ' -θ en el intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

<ω>=ΔθΔt${\displaystyle <\omega >=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}}$

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

ω=limΔ t→0ΔθΔt=dθdt${\displaystyle \omega =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{d\theta }{dt}}$

Aceleración angular, α

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante t'la velocidad angular del móvil es ω'. La velocidad angular del móvil ha cambiado Δw=ω' -ω en el intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

<α>=ΔωΔt${\displaystyle <\alpha >=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}}$

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

α=limΔ t→0ΔωΔt=dωdt${\displaystyle \alpha =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\frac{d\omega }{dt}}$

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento θ -θ₀ entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

θ−θ0=∫t0tω dt${\displaystyle \theta -{\theta }_0={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\omega dt}}$

El producto ωdt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t₀ yt.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t₀ y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posición angular θ  del móvil en el instante t, sumando la posición inicial θ₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva ω-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad angular ω en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad ω -ω₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

ω−ω0=∫t0tαdt${\displaystyle \omega -{\omega }_0={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha dt}}$

En la figura, el cambio de velocidad ω -ω₀ es el área bajo la curva α - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular ω -ω₀, y el valor inicial ω₀en el instante inicial t₀, podemos calcular la velocidad angular ω en el instante t.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las delmovimiento rectilíneo.

ω=dθdt    α=dωdtθ−θ0=∫t0tω dt  ω−ω0=∫t0tα dt

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angularω  es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular θ del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

θ -θ₀=ω(t-t₀)

o gráficamente, en la representación de ω en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las delmovimiento rectilíneo uniforme

α=0  ω=cte  θ=θ0+ω t${\displaystyle \alpha =0\omega =\text{cte}\theta ={\theta }_0+\omega t}$

Movimiento circular uniformemente acelerado

	Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración α es constante. Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular ω -ω0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente. ω−ω0=α(t−t0)${\displaystyle \omega -{\omega }_0=\alpha (t-t_0)}$
	Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento θ -θ0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando θ−θ0=ω0(t−t0)+12α(t−t0)2${\displaystyle \theta -{\theta }_0={\omega }_0(t-t_0)+\frac{1}{2}\alpha {(t-t_0)}^2}$

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

α=cte  ω=ω0+α t  θ=θ0+ω0t+12α t2${\displaystyle \alpha =\text{cte}\omega ={\omega }_{\text{0}}+\alpha t\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2}$

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angularω con el desplazamiento θ-θ₀

ω2=ω20+2α(θ−θ0)