Apuntes de Cinemática

el movimiento circular

Relación entre las magnitudes angulares y lineales

Magnitudes lineales y angulares

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

θ=sr=s'r'${\displaystyle \theta =\frac{s}{r}=\frac{s\text{'}}{r\text{'}}}$

Derivando s=rθ  respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

dsdt=rdθdt  v=rω${\displaystyle \frac{ds}{dt}=r\frac{d\theta }{dt}v=r\omega }$

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial

Aceleración tangencial

Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial a_t y la aceleración angular.

dvdt=rdωdt  at=rα${\displaystyle \frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega }{dt}{a}_t=r\alpha }$

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Aceleración normal

El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme.

• En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.
• En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidad Δv=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector Δv tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación

Δsr=Δvv${\displaystyle \frac{\Delta s}{r}=\frac{\Delta v}{v}}$

Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t'

Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo Δt=t'-t

ΔvΔt=vrΔsΔt${\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v}{r}\frac{\Delta s}{\Delta t}}$

Cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, la cuerda Δs se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

an=limΔ t→0ΔvΔt=vrlimΔ t→0ΔsΔt=vrdsdt${\displaystyle a_n=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v}{r}\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{v}{r}\frac{ds}{dt}}$

La aceleración normal a_n tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

an=v2r=ω2r${\displaystyle a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r}$

Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal"

Resumiendo

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.

Un móvil tiene aceleración tangencial a_t siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial.

Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, a_n ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

Ejemplo

Una rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω₀=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s. Calcular

• La aceleración angular

ω=ω₀+αt

En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0

α=-π rad/s²

El ángulo girado hasta este instante es

θ=θ0+ω0t+12αt2θ=0+4π⋅4+12(−π)42=8π rad${\displaystyle \begin{array}{l}\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2\\ \theta =0+4\pi ·4+\frac{1}{2}(-\pi )4^2=8\pi \text{rad}\end{array}}$

• En el instante t=1 s, la posición y la velocidad angular del móvil es

θ=7π/2=2π+3π/2 rad

ω=4π+(-π)·1=3π rad/s

La velocidad lineal

v=ω·r     v=0.3π m/s

La componente tangencial de la aceleración es

a_t=α·r      a_t=-0.1π m/s²

La componente normal de la aceleración es

a_n=v²/r    a_n=0.9π² m/s²

Movimiento de la cinta de una casete

Una casete es una caja de plástico que dispone de dos pequeñas ruedas en las que se enrolla y desenrolla respectivamente una cinta magnética. Dispone de un cabezal que graba o reproduce el sonido en la cinta, tal como se muestra en la figura.

 

La casete

El radio inicial de las ruedas sin cinta es r₀=1.11 cm, y la velocidad de la cinta cuando pasa por el cabezal es constante e igual a v=4.76 cm/s. La cinta tarda un tiempo T en reproducirse completamente. Este tiempo depende de la longitud total de la cinta l=v·T.  El espesor de la cinta h es muy pequeño, y su valor lo determinaremos más adelante.

En el instante inicial t=0.

• El radio de la rueda izquierda es r₀=1.11 cm
• El radio de la rueda derecha es R₀=2.46 cm, para una cinta de duración T=46.4 minutos

La cinta se desenrolla de la rueda derecha y se enrolla en la izquierda. En un instante determinado t, la relación entre la velocidad lineal constante v de la cinta y las velocidades angulares de rotación de las ruedas serán

• El radio de la rueda izquierda será r₁ y su velocidad angular ω₁=v/r₁
• El radio de la rueda derecha será r₂ y su velocidad angular ω₂=v/r₂

Aunque la velocidad v de la cinta es constante, las velocidades angulares ω₁ y ω₂  de las ruedas  no lo son ya que sus radios r₁ y r₂ cambian con el tiempo

En cada vuelta 2π, la rueda izquierda incrementa su radio en h, el espesor de la cinta. Cuando la rueda izquierda gira un ángulo dθ₁, su radio se habrá incrementado en dr₁.

dr1=h2πdθ1=h2πω1dt=h2πvr1dt${\displaystyle d{r}_1=\frac{h}{2\pi }d{\theta }_1=\frac{h}{2\pi }{\omega }_{1}dt=\frac{h}{2\pi }\frac{v}{r_1}dt}$

La rueda derecha habrá girado un ángulo dθ₂, su radio habrá disminuido en dr₂

dr2=−h2πdθ2=−h2πω2dt=−h2πvr2dt${\displaystyle d{r}_2=-\frac{h}{2\pi }d{\theta }_2=-\frac{h}{2\pi }{\omega }_{2}dt=-\frac{h}{2\pi }\frac{v}{r_2}dt}$

Integramos estas dos ecuaciones entre el instante t=0, y en el instante t, teniendo en cuenta que en el instante t=0,

• el radio de la rueda izquierda es r₁=r₀
• el radio de la rueda derecha es r₂=R₀

r21=r20+hvπt  r22=R20−hvπt${\displaystyle r_1^2=r_0^2+\frac{hv}{\pi }t{r}_2^2=R_0^2-\frac{hv}{\pi }t}$

En el instante t=T la cinta se ha reproducido completamente.

• el radio de la rueda izquierda es r₁=R₀
• el radio de la rueda derecha es r₂=r₀

R20=r20+hvπT  r20=R20−hvπT${\displaystyle R_0^2=r_0^2+\frac{hv}{\pi }T{r}_0^2=R_0^2-\frac{hv}{\pi }T}$

Si medimos los radios r₀ y R₀, el tiempo T, y la velocidad v podemos despejar el espesor h de la cinta de la primera o de la segunda ecuación. Si la duración de la cinta es de T=46.4 minutos.

h=π(R20−r20)vT=π(2.462−1.112)4.76⋅46.4⋅60=1.14⋅10−3 cm${\displaystyle h=\frac{\pi (R_0^2-r_0^2)}{vT}=\frac{\pi ({2.46}^2-{1.11}^2)}{4.76·46.4·60}=1.14·{10}^{-3}\text{cm}}$

Los ángulos girados por las dos ruedas se calculan integrando ω₁, y ω₂, respecto del tiempo t.

∫0tω1dt=∫0tvr1dt=2πh(r20+hvπ−−−−−−−√t−r0)=2πh(r1−r0)θ2=∫0tω2dt=∫0tvr2dt=2πh(R0−R20−hvπ−−−−−−−√t)=2πh(R0−r2)${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\omega }_{1}dt=}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{v}{r_1}dt=\frac{2\pi }{h}\left(\sqrt{r_0^2+\frac{hv}{\pi }}t-r_0\right)}=\frac{2\pi }{h}(r_1-r_0)\\ {\theta }_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\omega }_{2}dt=}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{v}{r_2}dt=}\frac{2\pi }{h}\left(R_0-\sqrt{R_0^2-\frac{hv}{\pi }}t\right)=\frac{2\pi }{h}(R_0-r_2)\end{array}}$

En el instante t=T, r₁=R₀ y r₂=r₀, el ángulo total girado por ambas ruedas es el mismo,

θ=2πh(R0−r0)

Deducción de la fórmula de la aceleración normal

En esta página, se describen las deducciones más simples de la fórmula de la aceleración normal para un movimiento circular uniforme que se han encontrado

Deducción (I)

Supongamos que el cuerpo describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

El vector velocidad v es tangente a la trayectoria y es perpendicular al vector posición r.

Las componentes rectangulares del vector velocidad v son

vx=−vsinθ=−vyrvy=vcosθ=vxr${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_x=-v\sin \theta =-v\frac{y}{r}\\ v_y=v\text{cos}\theta =v\frac{x}{r}\end{array}}$

Como v/r es constante, las componentes del vector aceleración a son

ax=dvxdt=−vrdydt=−vrvy=−v2rcosθay=dvydt=vrdxdt=vrvx=−v2rsinθ${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_x=\frac{d{v}_x}{dt}=-\frac{v}{r}\frac{dy}{dt}=-\frac{v}{r}{v}_y=-\frac{v^2}{r}\text{cos}\theta \\ a_y=\frac{d{v}_y}{dt}=\frac{v}{r}\frac{dx}{dt}=\frac{v}{r}{v}_x=-\frac{v^2}{r}\sin \theta \end{array}}$

El módulo de la aceleración a en el movimiento circular uniforme es

a=a2x+a2y−−−−−−√=v2r${\displaystyle a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\frac{v^2}{r}}$

Su dirección es radial (la misma que el vector r) y su sentido es hacia el centro (de sentido contrario al vector r).

Deducción (II)

En esta sección, se describe la deducción más simple que se ha encontrado de la fórmula de la aceleración normal en un movimiento circular uniforme

El vector velocidad v se define

v=drdt${\displaystyle v=\frac{dr}{dt}}$

Su módulo para un movimiento circular uniforme es

v=2π rP${\displaystyle v=\frac{2\pi r}{P}}$

Siendo P el periodo o tiempo que tarda en completar una vuelta

Su dirección es tangente a la trayectoria, es decir, perpendicular al vector r

El vector aceleración a se define 

a=dvdt${\displaystyle a=\frac{dv}{dt}}$

El vector aceleración a se obtiene a partir del vector velocidad v, de la misma manera que el vector velocidad v se obtiene a partir del vector posición r. Su módulo será, análogamente,

a=2π vP=vrv=v2r${\displaystyle a=\frac{2\pi v}{P}=\frac{v}{r}v=\frac{v^2}{r}}$

Su dirección es tangente a la circunferencia de radio v, es decir perpendicular al vector v. Como vemos en la figura, los vectores a y r tienen la misma dirección pero sentidos contrarios.