Apuntes de Geometría

polígonos estrellados

Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua.

Se denotan por N/M, siendo N el número de vértices del polígono regular convexo y M el salto entre vértices.

N/M ha de ser fracción irreducible.

El polígono N/M es el mismo que el N/(N − M), ya que el polígono que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo.

Pentágono regular estrellado

5/2

Heptágonos regulares estrellados

7/2

7/3

Octógono regular estrellado

8/3

Eneágonos regulares estrellados

9/2

9/4 

Decágono regular estrellado

10/3

Un polígono regular estrellado puede construirse a partir del regular convexo uniendo vértices no consecutivos de forma continua.

Se denotan por N/M siendo N el numero de vértices = N del regular convexo y M el salto entre vértices.

N/M ha de ser fracción irreducible, de lo contrario no se genera el  polígono estrellado que indica la fracción.

Es fácil  ver que N/M es el mismo polígono que N/(N-M), ya que el polígono que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo.  Comportamiento similar a números combinatorios.

Para encontrar todos los polígonos regulares estrellados que se generan de un regular de N lados, basta con considerar M entero entre 2 y (N/2) con la condición de que la fracción que le denota sea irreducible.

Se presentan los polígonos estrellados que se generan de los primeros polígonos regulares.

	Es fácil ver que no se genera ningún polígono estrellado a partir del triangulo equilátero. 3/1 = 3 numero entero ...No polígono estrellado. 3/2=3/1
	Tampoco el cuadrado genera polígonos estrellados regulares. 4/1 entero. 4/2 entero.
		Polígono regular 5/2. Es claro que no puede haber más.
	El hexágono regular no genera polígonos estrellados. 6/1 pol convexo. 6/2 =entero . 6/3 entero.
	7/2	7/3	El heptágono regular genera dos estrellados, 7/2 y 7/3
	8/3	8/3 es el único estrellado que se genera partiendo del octógono regular.
	9/2	9/4	El eneágono genera dos estrellados, 9/2 y 9/4
	10/3	No hay más, ya que 10/4 = 5/2 .
	11/2	11/3	11/4	11/5

En el applet siguiente puedes generar polígonos regulares estrellados, así como comprobar algunas de sus propiedades. Si la fracción que lo denota es reducible se representa el simplificado, y si es entera mayor que 2, el regular.

Polígonos estrellados

Si se une cada vértice del polígono con el siguiente, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado.

          Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados. Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son  el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2 .

Pentágono regular estrellado El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el pentagrama o polígono regular estrellado. En él  aparece el número áureo. Si medimos con el transportador cada uno de los ángulos correspondientes a cada vértice y se suman los valores obtenidos, esta suma es aproximadamente 180º.

Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º.

Heptágonos regulares estrellados  Podemos construir dos heptágonos regulares estrellados uniendo las divisiones de 2 en 2 y otro de 3 en 3.

Octógono regular estrellado  Uniendo las divisiones de 3 en 3 obtenemos el octógono regular estrellado.

  Polígonos Estrellados.  

Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado. Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n lados (la circunferencia estará dividida en n partes iguales) uniendo las divisiones de a en a, es necesario (y suficiente) que a y n sean primos. Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n - a en n - a (es decir de a en a en sentido contrario), se podrán construir polígonos estrellados considerando los números menores que n/2, que sean primos con n.

Pentágono regular estrellado El número primo con 5 menor que 5/2 es 2; podemos construir el pentágono estrellado uniendo las divisiones de dos en dos. Obtenemos de esta forma el más popular de los polígonos estrellados y, posiblemente, el emblema de la escuela pitagórica. En él el número áureo aparece por doquier.
No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya que no existe ningún número primo con 6 menor que 6/2.

Heptágonos regulares estrellados Existen dos números primos con 7 menores que 7/2, el 2 y el 3. Podemos, por tanto, construir dos heptágonos regulares estrellados uniendo las divisiones de 2 en 2 y otro de 3 en 3.

Octógono regular estrellado 3 es el único número primo con 8 menor que 8/2. Uniendo las divisiones de 3 en 3 obtenemos el octógono regular estrellado.

Eneágonos regulares estrellados 2 y 4 son primos con 9 menores que 9/2. Podemos construir dos polígonos regulares estrellados de 9 lados uniendo las divisiones de 2 en 2 y de 4 en 4.

Decágono regular estrellado Por último, uniendo de 3 en 3 obtenemos el decágono regular estrellado. En él también "aparece" el número áureo.

El Pentagrama y el Número Áureo   El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el pentagrama o pentágono regular estrellado. En el pentágono estrellado figura el número áureo infinidad de veces.
	Veamos qué relación existe entre el pentágono regular y el pentágono regular estrellado.Si consideramos el lado del pentágono la unidad, basta aplicar el teorema del coseno al triángulo ABC y resulta que AC es igual al número áureo. El teorema del coseno afirma que en todo triágulo un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del águlo comprendido. En nuestro caso, aplicando dicho teorema al triángulo ABC, tendremos: AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB. AC. cos (108) y como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta: AC 2 = 2 - 2 cos (108) Extrayendo la raiz cuadrada: AC = 1,6180340...
	Considerando el lado del pentágono regular la unidad,(AG = 1), pueden obtenerse de forma inmediata las siguientes expresiones:

¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ?. Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional 51/2, de cuya existencia tuvieron conciencia antes que de 2 1/2, tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.Si tienes alguna duda de las relaciones del número áureo con el pentágono estrellado ... ¡mira!, y así hasta el infinito. Siempre que encuentres un pentágono regular podrás hacer lo mismo.

Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo"(Vitrubio). A partir del Renacimiento recibió el nombre de Divina Proporción.
		La Proporción Áurea fascinó como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas y perdura en nuestros días. Los pintores y escultores del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta ... y también los impresores. En el gráfico de la izquierda se puede apreciar el diseño de la caja y los márgenes de un libro según la normas de laDivina Proporción. En el de la derecha aparece la reproducción de un incunable impreso en Venecia (1495), según dichas normas. Se trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna). Exquisita tipografía romana, calidad de papel y tinta, proporciones divinas. Una joya.

Potencias del Número Áureo

Más sobre polígonos estrellados Relación entre los lados del decágono regular convexo y el estrellado Sean AB y AD los lados de los polígonos regular convexo y el estrellado respectivamente. Los ángulos ABG y AMB son iguales pues el primero es un ´ngulo inscrito en la circunferencia que vale (la mitad del arco que abarca) 72º y el segundo es un a´ngulo interior cuyo valor es Igualmente los ángulos FAD y AOB son iguales y valen 36º; por otra parte los triángulos DAO y AOM son semejantes por lo que Como AM = AB y DO = AO = r resulta De la primera igualdad tenemos r 2 = AB × AD es decir, el radio de la circunferencia circunscrita es medio proporcional entre ambos lados. Conocido el radio podemos hallar ambos lados, para lo cualdividimos el radio en media y extrema razón, es decir en la proporción áurea.