Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Tiro parabólico y movimiento circular uniforme

Un paraguas de radio R está mojado y gira alrededor de su eje fijo con velocidad angular ω, en el plano vertical. Las gotas de agua se dispersan desde los extremos de las varillas con la misma velocidad v₀= ωR pero con distinta dirección. El vector velocidad inicial tiene una dirección tangente a la circunferencia tal como se muestra en la figura.

La gota de agua situada en la posición

x₀=R·cosθ
y₀=R·sinθ

se desprende del extremo de la varilla con una velocidad inicial v₀= ωRformando un ángulo α=θ+π/2 con la horizontal.

La posición de la gota de agua en función del tiempo es:

x=x0+v0cosα⋅ty=y0+v0sinα⋅t−12gt2${\displaystyle \begin{array}{l}x=x_0+v_0\cos \alpha ·t\\ y=y_0+v_0\sin \alpha ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

o bien,

x=Rcosθ−v0sinθ⋅tx=Rsinθ+v0cosθ⋅t−12gt2${\displaystyle \begin{array}{l}x=R\cos \theta -v_0\sin \theta ·t\\ x=R\sin \theta +v_0\cos \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Alcance máximo

Si el suelo está a una distancia h por debajo el origen. El alcance de una gota que sale de la posición θ se calcula poniendo en las ecuaciones del movimiento y=-h.

x=Rcosθ−v0sinθ⋅t−h=Rsinθ+v0cosθ⋅t−12gt2${\displaystyle \begin{array}{l}x=R\cos \theta -v_0\sin \theta ·t\\ -h=R\sin \theta +v_0\cos \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Dado el ángulo θ, calculamos el tiempo de vuelo t, en la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera para calcular el alcance x.

Ahora bien, nuestra tarea será determinar la posición inicial, o el ángulo θ_m, de la gota o gotas que llegan más lejos. Como vemos en la figura, hay dos ángulos para los cuales el alcance es máximo e igual a x_m.

El alcance x es una función del tiempo de vuelo t y del ángulo θ en la primera ecuación, y el tiempo de vuelo t es una función del ángulo θ, en la segunda ecuación. No parece a primera vista, una tarea sencilla, expresar x en función del ángulo θ, y despejar θ en la ecuación que nos da la condición de extremo dx/dθ=0. Realizaremos el cálculo de los ángulos θ_m siguiendo el procedimiento descrito en el artículo citado en las referencias.

Expresamos las ecuaciones del tiro parabólico en forma vectorial

r(t)=r₀+v₀·t+gt²/2

donde

r=xi+yj, 
r₀=Rcosθ·i+ Rsinθ·j,  
v₀= -v₀sinθ·i+v₀cosθ·j 
g=-g·j

Dibujamos los tres vectores r₀,v₀·t, gt²/2, y el vector suma r, tal como se muestra en la parte izquierda de la figura. En la parte derecha, observamos dos triángulos rectángulos OAB y OBC con la hipotenusa OB común, se cumplirá que

R2+(v0t)2=x2+(12gt2−h)2${\displaystyle R^2+{(v_{0}t)}^2=x^2+{\left(\frac{1}{2}g{t}^2-h\right)}^2}$

De este modo, podemos expresar x solamente en función del tiempo t.

x2=−14g2t4+(v20+gh)t2+(R2−h2)${\displaystyle x^2=-\frac{1}{4}{g}^2{t}^4+(v_0^2+gh)t^2+(R^2-h^2)}$

El extremo (máximo) de x se calcula derivando x con respecto a t.

dxdt=−g2t3+2(v20+gh)t=0  tm=2(v20+gh)−−−−−−−−√g${\displaystyle \frac{dx}{dt}=-g^2{t}^3+2(v_0^2+gh)t=0t_m=\frac{\sqrt{2(v_0^2+gh)}}{g}}$

El alcance x_m para el instante t_m es

xm=±v40+2v20gh+g2R2−−−−−−−−−−−−−−−√g${\displaystyle x_m=\pm \frac{\sqrt{v_0^4+2v_0^{2}gh+g^2{R}^2}}{g}}$

Calculamos el ángulo θ_m de la gota cuyo punto de impacto es (-x_m, -h). Como vemos en la parte derecha de la figura θ_m=π-α-β.

θm=π−arctanvotmR−arctan12gt2m−hxmθm=π−arctanvo2(v20+gh)√gR−arctanv20v40+2v20gh+g2R2√${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_m=\pi -\arctan \frac{v_o{t}_m}{R}-\arctan \frac{\frac{1}{2}g{t}_m^2-h}{x_m}\\ {\theta }_m=\pi -\arctan \frac{v_o\sqrt{2(v_0^2+gh)}}{gR}-\arctan \frac{v_0^2}{\sqrt{v_0^4+2v_0^{2}gh+g^2{R}^2}}\end{array}}$

Calculamos el ángulo θ_m de la gota cuyo punto de impacto es (x_m, -h).

Como vemos en la parte derecha de la figura θ_m=2π-(α-β)=2π-α+β.

θm=2π−arctanvo2(v20+gh)−−−−−−−−√gR+arctanv20v40+2v20gh+g2R2−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle {\theta }_m=2\pi -\arctan \frac{v_o\sqrt{2(v_0^2+gh)}}{gR}+\arctan \frac{v_0^2}{\sqrt{v_0^4+2v_0^{2}gh+g^2{R}^2}}}$

Altura máxima

La gota que se lanza en la posición θ=0, se mueve verticalmente hacia arriba,

vy=v0−gty=v0t−12gt2${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_y=v_0-gt\\ y=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

alcanzando una altura máxima y cuando v_y=0, cuyo valor es

y=v202g${\displaystyle y=\frac{v_0^2}{2g}}$

Hay otras gotas que alcanzan una altura mayor, la que alcanza la altura máxima sale de la posición angular θ_mque vamos a calcular

La componente vertical de la velocidad de la gota que sale de la posición angular θ

vy=v0cosθ−gty=Rsinθ+v0cosθ⋅t−12gt2${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_y=v_0\cos \theta -gt\\ y=R\sin \theta +v_0\cos \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

La máxima altura se alcanza cuando v_y=0, y su valor es

y=Rsinθ+v20cos2θ2g${\displaystyle y=R\sin \theta +\frac{v_0^2{\cos }^2\theta }{2g}}$

El ángulo θ, para el cual y es un extremo se obtiene dy/dθ=0

dydθ=Rcosθ−v20gsinθ⋅cosθ=0${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }=R\cos \theta -\frac{v_0^2}{g}\sin \theta ·\cos \theta =0}$

Una solución es cosθ=0, con θ=π/2, que es cuando la gota sale horizontalmente. La solución buscada es

θm=arcsingRv20${\displaystyle {\theta }_m=\text{arcsin}\frac{gR}{v_0^2}}$

La altura máxima que alcanza la gota que parte de esta posición es

ym=gR22v20+v202g${\displaystyle y_m=\frac{g{R}^2}{2v_0^2}+\frac{v_0^2}{2g}}$

y su abscisa es x_m=0, tal como vemos en la figura, más abajo

Ecuación de la envolvente.

Como vemos en la figura, la envolvente (en color azul) es una parábola simétrica respecto del eje Y, su ecuación es y=ax²+b. Calculamos a y b sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, y_m), y pasa por el punto (x_m, -h). Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

ax2m+b=−hb=ym${\displaystyle \begin{array}{l}a{x}_m^2+b=-h\\ b=y_m\end{array}}$

La ecuación de la envolvente, para el caso v20>gR$v_0^2>gR$ , es la parábola

y=gR22v20+v202g−gx22v20${\displaystyle y=\frac{g{R}^2}{2v_0^2}+\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}}$

Ejemplo:

Sea ω=9.04 rad/s, y por tanto, v₀=9.04 m/s, y sea h=8 m la altura del eje del paraguas sobre el suelo

• Consideremos la gota situada en la posición θ=60º

La posición de la gota en función del tiempo será

x=1.0·cos60º-9.04·sen60º·t
y=1.0·sen60º+ 9.04·cos60º·t-9.8·t²/2

Llega al suelo y=-8 m, en el instante t=1.88 s, y su distancia al origen será de x=-14.24 m.

• Calculamos el alcance máximo

xm=9.044+2⋅9.042⋅9.8⋅8+9.821.02−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√9.8=±14.28 m${\displaystyle x_m=\frac{\sqrt{{9.04}^4+2·{9.04}^2·9.8·8+{9.8}^2{1.0}^2}}{9.8}=\pm 14.28\text{m}}$

El tiempo que tarda en llegar al suelo es

 tm=2(9.042+9.8⋅8)−−−−−−−−−−−−−√9.8=1.83 s${\displaystyle t_m=\frac{\sqrt{2({9.04}^2+9.8·8)}}{9.8}=1.83\text{s}}$

Las dos gotas que parten de las posiciones angulares

θm=180−arctan9.04⋅1.831.0−arctan129.8⋅1.832−814.28=63.2ºθm=360−arctan9.04⋅1.831.0+arctan129.8⋅1.832−814.28=303.7º${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_m=180-\arctan \frac{9.04·1.83}{1.0}-\arctan \frac{\frac{1}{2}9.8·{1.83}^2-8}{14.28}=63.2º\\ {\theta }_m=360-\arctan \frac{9.04·1.83}{1.0}+\arctan \frac{\frac{1}{2}9.8·{1.83}^2-8}{14.28}=303.7º\end{array}}$

 su alcance es máximo

• La gota que parte de la posición angular

θm=arcsin9.8⋅1.09.042=6.9º${\displaystyle {\theta }_m=\text{arcsin}\frac{9.8·1.0}{{9.04}^2}=6.9º}$

alcanza la altura máxima y_m

ym=9.8⋅1.022⋅9.042+9.0422⋅9.8=4.23 m${\displaystyle y_m=\frac{9.8·{1.0}^2}{2·{9.04}^2}+\frac{{9.04}^2}{2·9.8}=4.23\text{m}}$

Para comparar los cálculos realizados con los proporcionados por el programa interactivo se hace uso de los botones Pausa/Continua y Paso, para parar la partícula en el momento en el que llega al suelo.