Apuntes de Geometría

triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo está determinado por:

1. Tres segmentos de recta que se denominan lados.

2. Tres puntos no alineados que se llaman vértices.

Los vértices se escriben con letras mayúsculas.

Los lados se escriben en minúscula, con la mismas letras de los vértices opuestos.

Los ángulos se escriben igual que los vértices.

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Triángulos iguales

1Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.

2Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido.

3Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.

Clases de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

Clases de triángulos según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Perímetro de un triangulo

Triángulo Equilátero	Triángulo Isósceles	Triángulo Escaleno

Área de un triángulo

Ejemplo

Hallar el área del siguiente triángulo:

Área de un triángulo rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Ejemplo

Hallar el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

Semiperímetro

El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2.

Se denota con la letra p.

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.

Ejemplo

Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.

El triángulo es el polígono de menor número de lados, y a pesar de ello es el más importante, tanto por la gran cantidad de construcciones que se pueden plantear, como por tratarse de la figura que servirá de base para la construcción de otras más complejas, tanto planas como espaciales.

Se define como la porción de plano delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos, o como la porción común de tres semiplanos pertenecientes a un mismo plano.

                  

Nomenclatura

En la figura siguiente se puede apreciar la nomenclatura a utilizar, para designar los diferentes elementos de un triángulo.

Los vértices se designarán mediante letras mayúsculas, y los ángulos correspondientes, mediante la misma letra mayúscula, pero con acento circunflejo, o un pequeño ángulo sobre la letra. Los lados se designarán mediante la misma letra del vértice opuesto, pero en minúscula.

El orden de las letras será el inverso a las agujas del reloj, y cuando se trate de triángulos rectángulos, la hipotenusa se designará con la letra “a”.

Clasificación

Los triángulos se clasifican en función de la longitud de sus lados, o del valor de sus tres ángulos internos.

Teniendo en cuenta la longitud de sus lados, los triángulos se denominan: Equiláteros si tienen sus tres lados iguales, Isósceles si tienen dos lados iguales y uno desigual, y Escalenos si tienen los tres lados desiguales.

Teniendo en cuenta el valor de sus tres ángulos internos, los triángulos se denominan: Acutángulos si tienen sus tres ángulos agudos, Rectángulos si tienen un ángulo recto, y Obtusángulos si tienen un ángulo obtuso.

Propiedades

1. Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º.

Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que:

– Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto.
– En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º.
– Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes.

2. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia.

3. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

5. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular, y se denomina equilátero.

os triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:

• Por sus lados
• Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados).

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto (90∘). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90∘); los otros dos son agudos (menor de 90∘).

Triángulo acutángulo

Cuando sus tres ángulos son menores a 90∘; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Triángulo equiángulo

Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente.

Propiedades de los triángulos

Triángulos	Equilátero	Isósceles	Escaleno
Acutángulo
Rectángulo
Obstusángulo

Podemos ver en el esquema anterior que las clasificaciones comentadas en el apartado anterior se pueden combinar de dos a dos (una de cada apartado).

Así, tenemos las siguientes características:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45∘ cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.
• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.