Apuntes de Geometría

Definición y medidas de ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A lassemirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

Medida de ángulos

Para medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°)

Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

1º = 60' = 3600''

1' = 60''

Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

1 rad= 57° 17' 44.8''

360º = 2rad

Pasar 30º a radianes.

Pasar /3 rad a grados

Ángulos interiores de un polígono

Son los determinados por dos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígono

Si n es el número de lados de un polígono:

Suma de ángulos de un polígono = (n − 2) · 180°

Suma de los ángulos de un triángulo

(3 − 2) · 180° = 180º

Suma de los ángulos de un cuadrilátero

(4 − 2) · 180° = 360º

Ángulo diedro

Es la porción de espacio limitada por dos semiplanos que se llaman caras.

Ángulo poliedro

Es la porción de espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice.

Un ángulo diedro debe medir menos de 360º.

 ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.

En esta figura podemos observar la abertura creada por las dos rectas (simbolizada por los puntos discontinuos) y que representaría el ángulo formado.

Tipo de ángulos

Observaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:

• Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.

• Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.

• Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.

• Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo recto.

• Ángulo completo: es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.

• Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.

Medida de ángulos

Los ángulos los medimos con grados y se simboliza con el signo ∘ (por ejemplo: 93 grados lo expresamos como 93∘).

Para establecer esta medida dividimos lo que seria un ángulo completo en 360 grados, y a partir de esta definición podemos saber cuanto mide un grado.

Para entenderlo mejor recordemos que un ángulo completo es el ángulo formado por dos rectas que estén superpuestas:

Un ángulo completo es un ángulo de 360 grados.

Una vez establecida esta medida, podemos observar que:

• Un ángulo recto mide 90∘.
• Un ángulo agudo mide entre 0∘ y 90∘.
• Un ángulo llano mide 180∘.
• Un ángulo obtuso mide entre 90∘ y 180∘.
• Un ángulo completo mide 360∘.
• Un ángulo cóncavo mide entre 180∘ y 360∘.

y también observamos que:

• Dos ángulos rectos forman uno llano (90∘+90∘=180∘).
• Dos ángulos llanos forman uno completo (180∘+180∘=360∘).
• Cuatro ángulos rectos forman uno completo (90∘+90∘+90∘+90∘=360∘).

Suma de ángulos

Como podemos ver, tenemos libertad para sumar ángulos, pero, ¿qué pasa si al sumarlos superamos un ángulo de 360grados?

Pues bien, nosotros hemos definido los ángulos desde el ángulo de 0∘ hasta el de 360∘ y si nos fijamos, la posición relativa de dos rectas en posiciones de 0∘ y de 360∘ son semejantes:

 

Esto nos viene a decir que si al sumar dos ángulos superamos los 360∘ podemos buscar un ángulo de entre 0∘ y 360∘ y que sea semejante al de la suma.

Por ejemplo,

Ejemplo

Si sumamos un ángulo de 90∘ más uno de 360∘, obtenemos uno de 450∘, que es semejante a uno de 90∘

 más  = 

Metódicamente, si hacemos una suma de ángulos y supera los 360∘, para obtener el ángulo semejante situado entre 0∘ y 360∘tenemos que restar sucesivamente 360∘ hasta encontrar un ángulo de como máximo 360∘.

Ejemplo

Realicemos la suma de los ángulos 90∘,180∘,66∘,25∘,300∘,21∘ y 80∘:

90∘+180∘+66∘+25∘+300∘+21∘+80∘=762∘

y ahora restemos 360∘ sucesivamente hasta encontrar un ángulo no mayor a 360∘:

762∘−360∘=402∘

402∘−360∘=42∘

Por consiguiente, la suma de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 42 grados.

Resta de ángulos

De la misma manera que hemos definido la suma de ángulos definimos la resta de ángulos.

Por ejemplo,

Ejemplo

Un ángulo llano menos un ángulo recto resulta un ángulo recto:

 menos  = 

Veamos qué sucede si al restar varios ángulos obtenemos un valor negativo.

Pero de la misma manera que con la suma, el valor de un ángulo negativo es semejante al valor de un ángulo de entre 0∘ y 360∘ y para encontrarlo bastará con ir sumando 360∘ hasta situarnos en el rango deseado (entre 0∘ y 360∘).

Ejemplo

Realicemos la resta de los ángulos 0∘,25∘,36∘,152∘,180∘,36∘ y 90∘:

0∘−25∘−36−152∘−180∘−36∘−90∘=−519∘

y sucesivamente, iremos sumando 360∘ hasta llegar a un valor entre 0∘ y 360∘:

−519∘+360∘=−159∘

+360∘=201∘

Por consiguiente, la resta de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 201 grados.

Bisectriz de un ángulo

Diremos que la bisectriz de un ángulo formado por dos rectas es el ángulo formado por una tercera recta que divide el ángulo original en dos ángulos idénticos:

En este dibujo podemos ver que la recta roja divide el ángulo formado por las otras dos rectas por la mitad.

Para calcular el ángulo formado por la recta bisectriz, simplemente se tendrá que dividir por dos el valor del ángulo inicial.

Ejemplo

Dado un ángulo de 42∘ encontrar el ángulo bisectriz.

Dividimos por dos 42 y encontramos que:

42∘2=21∘

Por consiguiente, la recta bisectriz tiene un ángulo de 21 grados.

Sexagesimal

Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes le llaman grado sexagesimal. y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por 90º.

Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo notaron por 1''.

Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''.

Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radian. Sexagesimal Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes le llaman grado sexagesimal. y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por 90º. Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo notaron por 1''. Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''. Recordemos como se opera con grados sexagesimales. Suma : Diferencia: Producto: División: Centesimal La medida de ángulos centesimal se adopto con el sistema métrico decimal. El ángulo completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se notan por 100 g. Y le llama gradian. A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota por 1m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1s. Las operaciones son análogas a las sexagesimales pero más fáciles al usar un sistema de base 100. Radianes Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco coincide con el radio. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) Como la longitud de la circunferencia es 2 p r, la medida en radianes de un ángulo completo será 2pr/r = 2 p. Por lo que podemos escribir: 360º = 400g =2 p Equivalencia que nos permite pasar de un sistema de medida a otro, utilizaremos los grados sexagesimales y el radian. Ejemplo.- ¿Cuántos radianes son 45º? Solución. Ejemplo.- ¿Cuántos grados son p/3 radianes? Solución. Ejercicio.- Completa la siguiente tabla: grados sexagesimales 180º 225º 60º 45º radianes p/2 3p/2 p/6 OBSERVACIÓN.- El radian es la medida natural de los ángulos, al utilizarla se pueden definir las funciones trigonométricas, funciones reales de variable real, así por ejemplo tenemos que: limx®0 sen(x)/x=1 La derivada de sen(x)=cos(x). Si la unidad de medida que utilizamos fuese sexagesimal la derivada de sen(xº)= p/180º cos(xº), etc. Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad que se usa con más frecuencia es el grado, que es la unidad de medida angular delsistema sexagesimal. Un grado: Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados. Por ejemplo 90° significa 90 grados Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. 1º = 60' = 3600'' (un grado equivale a 60 minutos y a 3600 segundos) 1' = 60'' (un minuto equivale a 60 segundos)