Historia de los matemáticos más famosos

Liu Hui

Liu Hui (en chino tradicional, 劉徽; en chino simplificado, 刘徽; pinyin, Liú Huī) fue un matemático chino que vivió en el reino Wei durante el período de los Tres Reinos. En el año 263 editó un libro que había sido compuesto en torno al inicio de nuestra era, conocido comoJiuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático, junto con comentarios enormemente importantes. Esta obra estaba llamada a ser uno de los libros chinos más famosos en el dominio de las matemáticas, el gran clásico sobre el que trabajaron las generaciones posteriores.

Diagrama de la desigualdad de Liu Hui para el número pi

En estos comentarios Liu presenta (entre otras cosas): una estimación del número π (capítulo 1) a 3,14159 obtenida con un algoritmo que aplica iteradamente,¹ y la sugerencia de que 3,14 es una muy buena representación de esta constante (su estimación fue realizada de forma similar aArquímedes, considerando un polígono de 192 lados); el resultado de que el área de un círculo es la mitad de su circunferencia multiplicado por la mitad del diámetro; la regla de doble falsa posición; análisis de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas; y resultados sobre el área de figuras como el prisma, la pirámide, el tetraedro, el cilindro o el cono. No logró determinar el volumen de la esfera, pero escribió: "dejemos el problema a quienquiera pueda descubrir la verdad".

De hecho, lo único que sabemos realmente es que lo escribió “en el cuarto año del reino Jingyuan del príncipe Chenliu de los Wei”². El hecho de conocer el autor de estos dos tratados es importante porque, con anterioridad al siglo tercero de nuestra era, la mayoría de los textos de matemática china que se han conservado son anónimos.

Atendiendo a los estudios cada vez más detallados y especializados de la matemática oriental, realizados durante la segunda mitad del siglo XX, conviene matizar las palabras de Dirk J. Struik:

No hubo nadie en la matemática oriental de la antigüedad que intentara hallar lo que actualmente conocemos como una demostración. No se da nunca una argumentación, sólo se prescriben ciertas reglas. Esto es todo³.

Y, más aún, debemos afirmar con rotundidad que esta percepción es errónea. En China, por ejemplo, debemos considerar a Liu Hui como la figura de un matemático que procuró ofrecer presentaciones razonadas de las reglas del Jiuzhang suanshu⁴.

Algunas de sus contribuciones o comentarios a los capítulos del Jiuzhang suanshu las detallaremos más adelante⁵. Además, en la Introducción, nos ofrece una nota histórica importante:

En el pasado, el tirano Qin [∼221–207]⁶ mandó quemar los libros. Ello comportó la destrucción del conocimiento clásico [chino]. Después [entre 260 aC–150 aC], Zhang Cang [?–152 aC], marqués de Bei Ping y el ministro de agricultura y finanzas, Geng Shouchang [siglo I aC] fueron famosos por su gran talento para efectuar cálculos. Y, puesto que los textos antiguos habían sido destruídos, Zhang Cang y su equipo, trabajando con los restos incompletos de los textos, los reconstruyeron completando las partes que se habían perdido. La consecuencia fue que los textos que obtuvieron, comparándolos con los de los antiguos y atendiendo a los títulos, tenían diferencias notables con aquellos que pretendían reconstruir y estaban escritos en una terminología mucho más moderna⁷.

Ahora, dedicaremos las dos secciones siguientes al análisis breve, pero suficiente, del Haidao suanjing, original de Liu Hui, y al Jiuzhang suanshu.

1.2. Liu Hui y el Haidao suanjing. Es una obra breve que consta solamente de nueve problemas. Lo escribió originalmente como parte de sus comentariosal Jiuzhang suanshu, pero, con posterioridad, fue desgajado del resto y presentado como un texto independiente⁸.

Se trata, de hecho, de un texto sobre el teorema Gougu [teorema de Pitágoras]. Pero, a diferencia del uso que, de él, se hace en el capítulo noveno del Jiuzhang suanshu, aquí su utiliza para medir alturas y distancias de objetos que no pueden ser medidos directamente.

De hecho son problemas que hoy consideraríamos como problemas de trigonometría, en los cuales hay que determinar el lado de un triángulo rectángulo recurriendo a la relación entre otras medidas preestablecidas, o quizás más simplemente a la semejanza de triángulos o teorema de Tales.

Se pretende determinar la altura y la distancia de una isla en el mar, de una torre, o de un árbol situados en la cima de un cerro, o la distancia a la que nos hallamos de una ciudad cuadrada, la profundidad de una garganta de la naturaleza, la anchura de un río, la profundidad de un valle con un lago en la parte inferior, la anchura de una fortaleza en la cima de un montículo, y las medidas de una ciudad que observamos desde lo alto de un cerro.

Para ver lo que, en realidad, se hace en el texto nada mejor que analizar alguno de sus problemas. Sólo analizaremos el primero, que trata de la altura y distancia de una isla en el mar —y que da nombre al libro⁹.

Problema 1. Se trata de una isla en el mar. Clavamos en el suelo dos palos de la misma altura, 3 zhang, que se hallan separados entre si 100 bu. Se hallan alineados con la cima más alta de la isla. Si nos retiramos 123 bu del palo más próximo a la isla, vemos que el extremo superior de dicho palo y la cima más alta de la isla están en línea recta. Si nos retiramos 127 bu del palo más alejado de la isla, vemos que el extremo superior de dicho palo y la cima más alta de la isla están en línea recta. Díme: ¿Cuál es la altura de la isla y la distancia que la separa del palo más próximo?

Respuesta. La altura de la isla es de 4 li 55 bu, y se halla a 102 li 150 bu del palo más próximo.

La isla del mar

Método de resolución. Multiplica la distancia que separa los palos [en la figura d := P₁P₂ = 1000 bu] por la altura de los palos [que es de 3 zhang]. Divide este producto por la diferencia que hay entre los palos y el respectivo punto de intersección [en la figura δ := P₂Y − P₁X = 127 − 123 bu]. Suma a este cociente la altura del palo y tendrás la altura de la isla. Para hallar la distancia de la isla al palo más próximo, multiplica la distancia entre los dos palos [en la figura d := P₁P₂] por la distancia que te has desplazado del primer palo [en la figura e₁ := P₁X], y divídelo por [δ], la diferencia de las distancias movidas¹⁰.

Una síntesis breve del Jiuzhang suanshu. Todo el saber de la matemática china precedente a la época de Liu Hui se recoge en el Jiuzhang suanshu, y él, como veíamos en la sección anterior, añade un décimo capítulo que data del año 260 dC¹¹.

Nadie duda de este hecho, que podemos sintetizar con las primeras palabras de la Introducción de la traducción inglesa:

El Nueve Capítulos de la Arte Matemática juega, en la matemática oriental, un papel análogo al que, en la occidental, ha jugado el Elementos de Euclides. Sin embargo, el Nueve Capítulos se preocupa siempre muchísimo más de la determinación de algoritmos que resuelvan los problemas. Por ello, su influencia ha sido pedagógica y de aplicación práctica. En vez de los teoremas que los lectores occidentales están acostumbrados a encontrar en las obras escritas en la tradición euclídea, el Nueve Capítulos proporciona reglas algorítmicas¹².[... ] Es imposible entender el desarrollo de la matemática china, desde sus inicios hasta nuestros días, sin efectuar un estudio substancial de los contenidos del Jiuzhang suanshu¹³.

Las palabras que acabamos de citar son un reflejo de un convencimiento que han defendido los estudiosos de la matemática china, como refleja la opinión de Ougura Kinnosuke:

El Nueve Capítulos de la Arte Matemática es la obra fundamental de las matemáticas chinas. Contiene métodos matemáticos excelentes. Si se compara con las matemáticas griegas, es inferior en todo lo que se refiere a la geometría y la teoría de números; en cambio, por lo que a la aritmética y el álgebra (anterior a Diofanto —de aproximadamente el 275 de nuestra era) se refiere, estoy convencido de que las sobrepasan¹⁴.

Y para ejemplificarlo, Kinnosuke se refiere a la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales.

Es interesante, además, fijarse en la distinción que establece, en el texto citado, entre la aritmética y la teoría de números. En cierto modo, corresponde a la distinción griega entre logística y aritmética. Aquella estudiaría el uso concreto de los números naturales —su representación y algoritmos de cálculo—; ésta, más teorizante, se preocuparía de establecer las propiedades de los números enteros positivos.

A tenor de las palabras que acabamos de leer parece razonable hacer una presentación, aunque sea somera, del Jiuzhang suanshu puesto que constituye el tronco de la matemática china. Sin embargo, conviene indicar, como ya apuntábamos en el preámbulo, que el objetivo de este pequeño texto de matemática china no consiste en un estudio detallado y pormenorizado de este insigne texto sino que pretende ser —y así se presenta— un análisis más amplio de la matemática china, exponiendo las cuestiones y resultados más notables obtenidos por los matemáticos chinos antes de la llegada de Ricci¹⁵.

De entre todos los textos que componen los Shibu suanjing de los Tang, el Jiuzhang suanshu es el mejor de todos. En él hallamos los rasgos específicos de las matemáticas chinas. Constituye, como indica el texto citado, el arquetipo —el texto paradigmático— de las obras matemáticas chinas. Es, pues, el momento de examinarlo de más de cerca.

El Jiuzhang suanshu contiene 246 problemas que se distribuyen de acuerdo con la taxonomía siguiente. Problemas relativos a:

• Campos rectangulares, 38.
• Mijo y arroz sin cáscara, 46.
• Repartos proporcionales según el rango, 20.
• Disminución de la longitud, 24.
• Discusiones de los trabajos públicos, 28.
• Taxación equitativa, 28.
• Excesos y déficits, 20.
• Comparación de disposiciones, 18.
• Base-altura, 24.

El texto de Ogura Kinnosuke, que hemos citado, analiza el Jiuzhang suanshu como un documento sobre la sociedad y clasifica su contenido de acuerdo con las siguientes rúbricas: terrenos y trabajos agrícolas, trabajos públicos, intercambios de grano y de alimentos, artesanía, precio de las mercancías, intereses, transporte e impuestos, tarifas aduaneras, anécdotas relativas a los burócratas, etc.

Esta taxonomía recuerda —oh, eco lejano!— las palabras del papiro Rhind [∼1800 aC]:

Estudio completo y profundo de todas las cosas, penetración de todo lo que existe, penetración de todos los secretos...¹⁶

Sin embargo, este estudio completo y profundo, como ya hemos indicado, se expone en base a problemas que podríamos considerar “problemas concreto”, del quehacer cotiano, aún cuando esto sería un error.

Los problemas se hallan estructurados como el del texto de Liu Hui, Haidao suanjing que hemos indicado con anterioridad: enunciado, solución, cálculo, sin ninguna explicación razonada de dicho cálculo.

Es natutal que los matemáticos se hicieran las siguientes preguntas: El por qué del algorismo? Su validez es general o, en cambio, es sólo es aceptable en dicho caso particular? Cabe un método general, justificable desde algún tipo de raciocinio?

Tales son, de hecho, las preguntas que se plantearon los matemáticos chinos, en general, y también Liu Hui. Lo que hace de este insigne erudito es la cantidad de algorismos, razones, generalizaciones, explicaciones que da a cada uno de los problemas, como podemos constatar en las ediciones ingles y francesa del Nueve Capítulos, citados a lo largo del texto y en la bibliografía.

1.4. Citas del propio Liu Hui. Para terminar esta presentación de Liu Hui y de su obra, recordemos que los entendidos afirman que fue un gran matemático que, además, tenía un conocimiento muy profundo y rico de la lengua y del lenguaje chinos.

Así pues, a pesar de la falta total de información acerca de la vida de Liu Hui, como ya hemos indicado en la §1.1, su obra nos dice algo de él porque él mismo, en sus reflexiones, abre la puerta para que le conozcamos mejor.

En la introducción de sus comentarios al Jiuzhang suanshu, dice:

[... ] Además las matemáticas forman parte de las seis artes. Nuestros antepasados las usaban para seleccionar las personas que tenían talento, para instruir a los hijos de los altos dignatarios [del reino]. A pesar de que se denominen “las nueve partes de la matemática”, proporcionan la capacidad de alcanzar lo sutil y de penetrar lo ínfimo, explorando sus límites. Por lo que a la transmisión de sus métodos se refiere, se pueden establecer conocimientos comunes, con el uso de la regla, el compás, los números y las medidas. No hay nada que sea extremadamente difícil.

En la actualidad, sin embargo, los que aprecian estas cuestiones son pocos y ello se debe a que, aunque las personas con un grado amplio y profundo de cultura son muchas, no está claro que sean capaces de alcanzar los distintos puntos de vista y de penetrarlos¹⁷.

Una doble reflexión —que no puede dejarnos indiferentes y que además nos es familiar. Si bien son fáciles, se pueden asimilar porque gozan de metodologías comunes fácilmente asimilables. Sin embargo, de hecho, no consiguen despertar el interés de las personas con cultura, quizás porque no tiene capacidad para “penetrarlas”.

Y, por encima de todo, es un matemático que, si bien en el pasaje anterior, nos puede haber parecido algo engreído por el hecho de atribuirse unas capacidades —indudablemente las tenía— que no todas las personas cultas alcanzan, también es capaz de mostrarnos su humildad cuando un problema se escapa a su comprensión:

[... ] Desearía, con mis pingües conocimientos, aplicarme a resolver este problema, pero me parece de carezco del principio exacto para ello. No osaría, en absoluto, tratarlo a la ligera. Esperaré a que alguien logre hablar de él con conocimeinto y verdad¹⁸.

Con esta presentación quedan claros, creo, tanto el contenido del Jiuzhang suanshu, la originalidad y enjundia del texto de Liu, Haidao suanjing y su propia valía como matemático.

Liu Hui vive en el Reino de Wei lo que es probable que trabajó en lo que hoy es la provincia de Shansi en el norte-central de China. El Reino de Wei había producido después de que el Imperio Han, que duró alrededor de 200 aC a 220 dC, se derrumbó. Sin embargo, el colapso del Imperio Han dado lugar a tres reinos que entran en existencia para, además de el Reino de Wei, dos ex generales Han creado reinos, uno al sur del Yangtze y uno en el oeste de China en el presente La provincia de Szechwan. Esta situación duró unos sesenta años, de 220 a 280, que debe haber sido casi exactamente el período de Liu Hui la vida.

El período de los Tres Reinos es uno de guerra casi constante y la intriga política. Sin embargo, este período es fascinante pensamiento de ahora como el más romántico de toda la historia de China. ¿Cómo influyen los acontecimientos del período en Liu Hui se desconoce, para nada se sabe de su vida, salvo que él escribió dos obras. Uno de ellos fue un comentario muy importante en el Jiuzhang suanshu o, como más comúnmente se llama Nueve capítulos sobre el Arte Matemáticas, y el otro es un trabajo mucho más corto llamado Haidao suanjing o Sea Island Manual de Matemáticas. Que ningún registro de Liu Hui la vida ha sido escrito , O, al menos, si se no se consideró un valor de la conservación, no quiere decir que él era particularmente oscuro durante su vida. Aunque las matemáticas es un tema importante en China, no obstante ser un matemático parece haber sido considerada como una ocupación de menor importancia. Como consecuencia muchos matemáticos chinos obras son anónimas.

La única información precisa acerca de Liu Hui proviene de una obra posterior que se dice que escribió su comentario en los nueve capítulos en los Art Matemáticas en el cuarto año de la era del reinado de Jingyuan Príncipe Chenliu de los Wei, lo que da una fecha de 263 AD. Él no la fecha de su comentario, sin embargo, por lo que incluso este "hecho" es no confirmados. Una pieza de información que nos da sobre su vida en el Prefacio del libro es:

He leído los nueve capítulos como un niño, y estudiado con todo detalle cuando yo era más.

¿Qué es exactamente el texto que Liu Hui está comentando? Se trata de un manual práctico de las matemáticas por objeto proporcionar métodos que deben utilizarse para resolver problemas cotidianos de la ingeniería, topografía, el comercio y la fiscalidad. ¿Qué edad tenía el texto original? Esta es una pregunta difícil para que los historiadores no han encontrado respuesta definitiva. Liu Hui él mismo cree que el texto que fue en commentating fue originalmente escrito alrededor de 1000 aC, pero la incorporación de mucho material de épocas posteriores. Él escribe en el Prefacio:

En el pasado, el tirano Qin quemado documentos escritos, lo que condujo a la destrucción de los conocimientos clásicos. Más tarde, Zhang CANG, el marqués de Peiping y Shouchang Geng, Vicepresidente del Ministerio de Agricultura, se hizo famoso a través de su talento para el cálculo. Debido a que los textos antiguos se ha deteriorado, CANG Zhang y su equipo elaboró una nueva versión eliminando los pobres y rellenar las partes desaparecidas. De este modo, revisado algunas partes, con el resultado de que estos eran diferentes de las antiguas partes ...

Vamos a dar algunas fechas de los acontecimientos Liu Hui describe. La dinastía Qin precedidos la dinastía Han y fue el gobernante Qin Shih Huang Ti, que trató de reformar la educación por la destrucción de todas las anteriores de aprendizaje. Ordenó a todos los libros se quemaron en 213 a. de C. y Zhang CANG, Liu Hui que se refiere a, ¿su reconstrucción alrededor de 170 aC La mayoría de los historiadores, sin embargo, no cree que el texto original de los nueve capítulos es casi tan antigua como Liu Hui cree . Se discuten cuestiones tales en el artículo sobre los nueve capítulos en los matemáticos de Arte De hecho la mayoría de los historiadores creen que Liu Hui fue bastante mal en lo que él escribió, por ahora se piensa que el texto se originó alrededor de 200 aC después de la quema de los libros de Shih Huang Ti.

Vamos a examinar la matemática contribuciones que Liu Hui hacerse por escrito su comentario. En primer lugar es necesario tener en cuenta que presenta un enfoque diferente al de las matemáticas de que el texto sobre el que fue commentating. El texto original daba métodos para resolver diversos problemas, pero los métodos no son más que recetas sin justificación alguna. Liu Hui ¿Qué es un añadido más enfoque matemático en la prestación de, al menos, principios en los que los cálculos se basan. Sus métodos no son exactamente "pruebas" en nuestra comprensión de una demostración matemática de hoy. Ellos son el tipo más breve explicación de que un matemático le dará a convencerte de que si quería le podía construir una prueba. Liu Hui también muestra que él tiene entendido que algunos de los métodos del texto original son aproximaciones, y que investiga la exactitud de las aproximaciones. También hay pruebas de que está empezando a comprender conceptos relacionados con principios de trabajo en el cálculo diferencial e integral.

Como ejemplo veamos la contribución Liu Hui hizo para encontrar una buena aproximación. Esto aparece en el primer capítulo de los nueve capítulos. Él encontró una recurrencia relación a expresar la longitud del lado de un polígono regular con 3 2 ⁿ lados en términos de la longitud del lado de un polígono regular con 3 2 ^n -1 lados. Esto se logra con una aplicación de Pitágoras' s teorema, que Liu Hui conocía como el teorema de Gougu. 

En el diagrama tenemos un círculo de radio r con centro O. Sabemos AB, es p _n -1, la longitud del lado de un polígono regular con 3 2 ^n -1 lados, por lo que ha AY longitud _n p _-1 / 2. Así ha longitud OY

√ (r ² - _(n p _-1 / 2) ^2).

Luego YX ha longitud r - √ [r ² - _(n p _-1 / ²⁾ 2].

Pero ahora sabemos AY YX y para que podamos calcular AX utilizando el teorema de Gougu (Pitágoras), que se

√ (r [r + 1 - √ (4 r - _n p _-1 ^2)]).

A continuación, p _n = AX es la longitud de un lado de un polígono regular con 3 2 ⁿ lados.

Poniendo r = 1 y tomando n = 6 da un hexágono regular de lado p ₆ = 1. Entonces el perímetro del hexágono es de 6 p ₆ = ₆ dando un valor aproximado de π como 6p ₆ / 2 = 3 (suponiendo que la circunferencia del círculo es de aproximadamente el perímetro del hexágono y el uso de la circunferencia = π / diámetro).

En general se obtiene un valor aproximado de π como np _n / 2. Más grandes valores de n dar más precisa los valores de π. Liu Hui utiliza la aproximación 3,14 que obtuvo de tomar n = 96, en otras palabras, utilizando un polígono regular de 96 lados. Él no, al igual que Arquímedes, encontrar límites por medio de un inscrito, así como un círculo circunscrito.

Estamos iterar Liu Hui del procedimiento utilizando un moderno programa de álgebra computacional para obtener:

n = 6, p _n = 1, np _n / 2 = 3

n = 12, p _n = 0,5176380900, np _n / 2 = 3,105828540

n = 24, p _n = 0,2610523842, np _n / 2 = 3,132628610

n = 48, p _n = 0,1308062584, np _n / 2 = 3,139350202

n = 96, p _n = 0,06543816562, np _n / 2 = 3,141031950

n = 192, p _n = 0,03272346325, np _n / 2 = 3,141452472

n = 384, p _n = 0,01636227920, np _n / 2 = 3,141557606

n = 768, p _n = 0,008181208047, np _n / 2 = 3,141583890

n = 1536, p _n = .004090612582, np _n / 2 = 3,141590463

n = 3072, p _n = 0,002045307359, np _n / 2 = 3,141592104

n = 6144, p _n = 0,001022653813, np _n / 2 = 3,141592514

De hecho Liu Hui dejado un paso corto de nuestro ordenador de cálculo, para que también obtuvo la mejor aproximación de n = 3072, a saber 3,14159. Así como el valor aproximado sobre la base de una aproximación de π, Liu fue capaz de demostrar que:

... multiplicando la mitad del diámetro y la mitad de la circunferencia, se obtiene la zona.

Debemos subrayar que, por supuesto, Liu Hui no usar la notación algebraica como lo hemos hecho anteriormente, ni utilizar el sistema numérico que hemos utilizado. Sin embargo, el procedimiento que presentó demuestra que entiende el proceso iterativo que hemos descrito. También comprende la noción de un límite.

Otros ejemplos interesantes de Liu Hui las contribuciones a los nueve capítulos en el arte es Matemáticas en el capítulo 5 en obras de ingeniería, donde se calcula el volumen de sólidos diversos como un prisma, pirámide, tetraedro, cuña, cilindro, cono y frustum de un cono . Él falla, sin embargo, para encontrar el volumen de una esfera que dice que deja a un futuro matemático para calcular. En el capítulo 8 mira a ecuaciones lineales simultáneas y calcula con números positivos y negativos.

El otro tipo de trabajo que hemos mencionado más arriba por Liu Hui es Haidao suanjing o Sea Island Manual de Matemáticas. Este es un pequeño trabajo, compuesto por nueve problemas y fue originalmente escrito como parte de su comentario sobre el capítulo nueve de los nueve capítulos, pero más tarde y se eliminan en un trabajo de los editores más tarde. Muestra cómo usar la Gougu teorema (teorema de Pitágoras) para calcular las alturas de los objetos y las distancias a objetos que no pueden medirse directamente. El primer problema, que ilustra el estilo, se refiere a la altura y la distancia a una isla en el mar. Se le da nombre al libro. 

P ₁ y P ₂ son 5 postes de alta pu pu y 1000 de separación. Cuando se considera a partir de X a nivel del suelo, 123 pu detrás P _1, S la cumbre de la isla está en línea con la parte superior de P _1. Del mismo modo visto desde Y a nivel del suelo, 127 pu detrás de P _2, la parte superior de la isla está en línea con la parte superior de P _2. Calcular la altura de la isla y la distancia de P _1.
[Nota: 1 pu es de aproximadamente 2 metros.]

Supongamos que los polos son de altura h y la distancia entre los polos es d. Liu Hui da a la altura de la isla como h d (P ₂ Y - P ₁ X) + h y la distancia a que se P ₁ X d / (P ₂ Y - P ₁ X).
A continuación, da: altura de la isla: 1255 pu; distancia de P ₁ a la isla: PU 30750.

Otros problemas en este trabajo son la altura de un árbol en la ladera de una montaña, la distancia a una casilla ciudad, el fondo de un barranco, la altura de una torre en una colina, la anchura de un río, la profundidad de un valle con un lago en la parte inferior, el ancho de un vado, vista desde una colina, y el tamaño de una ciudad vista desde una montaña.

Dado que no tenemos ninguna información sobre Liu Hui la vida, podemos deducir, al menos, alguna información sobre él de su trabajo? En primer lugar podemos ver que él es un destacado matemático con una profunda comprensión de conceptos difíciles. También es muy original, viene con ideas que él rango entre los principales matemáticos de todos los tiempos. Sin embargo, podemos deducir más: como los autores de escribir:

Liu Las técnicas empleadas son típicas de un profesor de habilidad, paciencia e incansable celo.

Liu Hui fue un hombre aprendió, no sólo tiene grandes conocimientos en matemáticas, pero también está familiarizado con el campo literario e histórico clásicos de China. Él podría escribir con claridad y también con estilo, citando de una amplia variedad de fuentes.

También podemos ver que él era un hombre modesto que nunca alegó resultados de la cual no se confía plenamente, prefiriendo escribir a:

Dejemos el problema a quien puede decir la verdad.

También muestra a sí mismo a alguien que se preocupa por las condiciones de la gente y también sobre la economía del país. Esto sugiere que puede haber celebrado alto cargo en la administración de su país, y si lo hizo a continuación, sus comentarios nos quiere hacer creer que él era muy justo en sus políticas.