Regresión lineal
En esta página, se describe el procedimiento de ajuste de los datos experimentales a una línea recta denominado regresión lineal, que se usa en el laboratorio en varias situaciones:
- Para calcular la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo
- Para calcular la constante elástica de un muelle, colocando pesas en un platillo que cuelga de su extremo libre y midiendo la deformación del muelle
- etc.
El programa interactivo al final de esta página, está diseñado para que sea usado, en el Laboratorio de Física para cualquier experiencia que lo requiera. Nos proporciona los valores de:
- La pendiente a de la recta de regresión y el error cometido Δa
- La ordenada en el origen b
- El índice de correlación r. Este índice mide el grado de ajuste de los datos experimentales a la recta
Descripción
Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo. Si el móvil está libre de fuerzas, esperamos que la relación entre la posición del móvil y el tiempo sea linealx=x0+vt. Donde x0 es la posición del móvil en el instante t=0.
Si medimos las posiciones del móvil x1 y x2 en los instantes t1 y t2, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podemos determinar las cantidades desconocidas x0 y v. Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores.
Si efectuamos n medidas de la posición del móvil, el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura más abajo, los puntos de color azul representan los datos experimentales. La relación entre las ordenadas y y las abscisas x de dichos puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas.
Si tomamos únicamente dos puntos para definir la recta el resultado tendría un importante error. Para una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes buscadas, se deberán utilizar las n medidas tomadas.
Supongamos una magnitud física y, relacionada con otra x, mediante la función y=ax+b. Una recta de pendientea cuya ordenada en el origen es b. Las desviaciones ε de los valores de y, véase la figura, serán
- ε1=y1-(ax1+b)
- ε2=y2-(ax2+b)
- ...................
- εi=yi-(axi+b)
- ...................
- εn=yn-(axn+b)
Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de todas estas desviaciones
E(a,b)=(y1-ax1-b)2+(y2-ax2-b)2+...(yi-axi-b)2+...+(yn-axn-b)2
Los valores que minimizan a E(a,b) son aquellos para los que
Se obtiene así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b cuya solución es
Expresiones más elaboradas nos permiten determinar el error de a, Δa y el error de b, Δb
La pendiente de la recta se escribirá a±Δa, y la ordenada en el origen b±Δb. Véase las reglas para expresar una medida y su error de una magnitud.
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.
El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.
- Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa.
- Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversa
- Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de los valores X e Y
Regresión lineal
Expresándolo en forma simple, la regresión lineal es una técnica que permite cuantificar la relación que puede ser observada cuando se grafica un diagrama de puntos dispersos correspondientes a dos variables, cuya tendencia general es rectilínea (Figura la); relación que cabe compendiar mediante una ecuación “del mejor ajuste” de la forma:
y = a + bx
| (1) |
En esta ecuación, “y” representa los valores de la coordenada a lo largo del eje vertical en el gráfico (ordenada); en tanto que “x” indica la magnitud de la coordenada sobre el eje horizontal (absisa). El valor de “a” (que puede ser negativo, positivo o igual a cero) es llamado el intercepto; en tanto que el valor de “b” (el cual puede ser negativo o positivo) se denomina la pendiente ocoeficiente de regresión.
Número | Valores de x | Valores de y | Número | Valores de x | Valores de y |
---|---|---|---|---|---|
1 |
9,0
|
0,50
| 7 |
6,7
|
1,00
|
2 |
9,4
|
0,50
| 8 |
8,4
|
0,50
|
3 |
7,4
|
1,23
| 9 |
8,0
|
0,50
|
4 |
9,7
|
1,00
| 10 |
10,0
|
0,50
|
5 |
10,4
|
0,30
| 11 |
9,2
|
0,50
|
6 |
5,0
|
1,50
| 12 |
6,2
|
1,00
|
13 |
7,7
|
0,50
|
El procedimiento para obtener valores de “a” y “b” para una serie de pares de datos de “x” y de “y” (tal como la presentada en la Figura 1 y/o en la Tabla 1) es como sigue:
Paso 1 | Calcule, para cada par de valores de “x” e “y”, las cantidades “x²”, “y²”, y “x.y”. |
Paso 2 | Obtenga las sumas (∑) de estos valores para todos los pares de datos de “x” e “y”, así como las sumas del total de los valores de “x” e “y”. Los resultados de los Pasos 1 y 2 aparecerán en forma similar a la siguiente: |
Número de pares de datos | x | x² | y | y² | x.y |
---|---|---|---|---|---|
1 | … | … | … | … | … |
2 | … | … | … | … | … |
3 | … | … | … | … | … |
· | |||||
· | |||||
· | |||||
n | … | … | … | … | … |
Monto de las sumas | ∑x | ∑x² | ∑y | ∑y² | ∑x·y |
Paso 3 | Estime la pendiente (b) por medio de la relación: |
Paso 4 | Estime el intercepto (a) por medio de la relación: |
A partir de esos valores de “a” y de “b” obtenidos mediante las Ecuaciones 2 y 3, es posible trazar a lo largo de los puntos dispersos de un gráfico la línea recta mejor ajustada a los mismos, y verificar visualmente si tales puntos están bien “expresados” por la línea (Figura 1b).
Estudio práctico del movimiento rectilíneo uniforme
El objetivo de esta práctica simulada, es la medida de la velocidad de un carrito que desliza sin rozamiento a lo largo de un raíl.
Descripción
Disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para.
Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea situada en el extremo derecho de la regla. Una pesa que se cambiar pulsando el botón titulado Nuevo, cuelga de la cuerda.
Cuando el carrito pasa por el origen, se deja de acelerar, haciendo que la pesa se detenga sobre un tope. La cuerda deja de actuar sobre el carrito, desde este momento el carrito se mueve con velocidad constante.
Cambiando la pesa cambiamos la fuerza sobre el carrito y su aceleración durante el trayecto que va desde su posición inicial hasta el origen, por tanto, se modifica la velocidad final justo cuando pasa por el origen, que es a su vez la velocidad constante con que realiza el resto del trayecto.
- El cronómetro se pone en marcha cuando el carrito pasa por la flecha que marca el origen de la regla
- El cronómetro se para cuando el carrito pasa por la segunda flecha .
De este modo, el cronómetro mide el tiempo que tarda el móvil en desplazarse entre las dos flechas.
La flecha que marca el origen está fija, no se puede cambiar.
La segunda flecha se puede desplazar a lo largo de la regla del siguiente modo:
- Se pulsa el botón izquierdo del ratón, cuando el puntero está sobre la flecha.
- Sin dejar de pulsar el botón izquierdo del ratón, se desplaza el ratón.
- Cuando la flecha está situada en la posición deseada se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón.
Para poner en marcha el carrito se pulsa el botón titulado Empieza
Fundamentos físicos
Si el carrito se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme la su posición x en el instante t es proporcional a t de acuerdo a la ecuación
x=x0+vt
Poniendo en el eje de las ordenadas las medidas de x y en el eje de abscisas los tiempos t, la pendiente de la recta que mejor ajusta nos dará la medida de la velocidad v.
ESTUDIO DE UN MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO.(Caída de una bola por un plano inclinado) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Estudio práctico del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
El objetivo de esta práctica simulada es la medida de la aceleración de un carrito que desliza impulsado por una fuerza constante a lo a lo largo de un raíl.
Descripción
Disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para.
Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea situada en el extremo derecho de la regla. Una pesa que se puede cambiar pulsando el botón titulado Nuevo, cuelga de la cuerda.
En esta práctica, el carrito se sitúa en el origen y la fuerza que se ejerce sobre el carrito actúa durante todo su recorrido. El movimiento es uniformemente acelerado. El resto de la práctica es semejante a la anterior.
De este modo, el cronómetro mide el tiempo que tarda el móvil en desplazarse entre las dos flechas.
La flecha que marca el origen está fija, no se puede cambiar.
La segunda flecha se puede desplazar a lo largo de la regla del siguiente modo:
Para poner en marcha el carrito se pulsa el botón titulado Empieza
Fundamentos físicos
En las ecuaciones del movimiento es uniformemente acelerado la velocidad es una función lineal del tiempo, pero no así la posición del móvil. Por lo que solamente se puede aplicar el procedimiento de la regresión lineal a una tabla de datos tiempo-velocidad, pero la experiencia nos suministra una tabla de datos tiempo-desplazamiento. Por tanto, tenemos que obtener una tabla tiempo-velocidad, a partir de una tabla de datos tiempo-desplazamiento.
Si suponemos que el movimiento es uniformemente acelerado, vamos a demostrar que la velocidad media
La velocidad media del móvil entre los instantes t1 y t2 es
Podemos expresar la posición x2 en términos de la posición inicial x1 y de la velocidad inicial v1.
La velocidad media vale entonces
Que como podemos comprobar es la velocidad en el instante intermedio entre t1 y t2
La velocidad media en el intervalo comprendido entre el instante t1 y t2 es igual a la velocidad en el instante (t1+t2)/2 intermedio en entre dichos instantes.
Por tanto, para transformar una tabla tiempo-desplazamiento en otra tiempo-velocidad, procedemos del siguiente modo:
Ejemplo:
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