Apuntes de Geometría

Operaciones con ángulos

Suma de ángulos

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.

Resta de ángulos

La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

Multiplicación de un número por un ángulo

La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.

División de un ángulo por un número

La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.

:4 =

SUMAR ÁNGULOS

Si nos dicen que sumemos los ángulos A= 32º0’19’’ y B=74º44’42’’ que los tenemos en la figura siguiente no tenemos más poner uno a continuación del otro girando el ángulo B (agregamos, sumamos, ponemos uno a continuación del otro) y el resultado será la suma de ambos valores:

15.37 Calcula la suma:

Respuesta: 105º50’49”

Solución:
Sumamos la columna de los segundos: 58+12+44+55 = 169”.
Calculo cuántos minutos hay en 169” dividiendo entre 60:
Obtengo 2 como cociente y 49 como resto, es decir, que tengo 2’ y 49”.
Sumamos los minutos: 34+45+34+55 = 168’
A estos 168’ tengo que sumar los 2’ que proceden de la suma de los segundos: 168+2 = 170’

170’ divido entre 60 para ver cuántos grados hay, el resto de la división serán los minutos que quedan, 50’ y el cociente, 2 los grados que debo añadir a la suma de los grados de los 4 ángulos:
Sumamos los grados: 12+23+35+33 = 103º a los que debo añadir los 2º procedentes de la suma de la columna de los minutos, es decir, 103+2 = 105º

15.38 Calcula la suma:

Respuesta: 149º59’21’’

15.39 Calcula la suma:

Respuesta: 100º

RESTAR ÁNGULOS

Dados los ángulos A y B de la figura que tienes a continuación verás que hemos restado los valores de los ángulos y su diferencia la tienes en color rosa:

15.40 Calcula la diferencia:  

Respuesta: 1º50’49’’

Solución:
Comienzo a restar a partir de los segundos y veo que en el sustraendo (55’’) tengo más segundos que en el minuendo (44”). Para poder restar, de los 24’ del minuendo quito 1’, o 60” y se los paso a los 44” con lo que me quedan: 60+44 = 104” y a esta cantidad ya puedo restarle 55” quedándome 49”.
Ahora resto la columna de los minutos teniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 24’ sino 23’.
Como en el sustraendo tengo 33’, es decir, una cantidad superior a los 23 del minuendo debo quitar 1º de la columna de los grados del minuendo (13º). Ahora me quedan, en el minuendo, 12º y 60+23 = 83’. A esta cantidad le resto 33’ y me quedan: 83 – 33 = 50’.
Solo me quedan restar los grados, teniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 13º sino 12º: 13-12 = 1º.

15.41 Calcula la diferencia: 

Respuesta: 3º50’19”

15.42 Calcula la diferencia: 95º34’55’’ – 50º50’50’’=

Respuesta: 44º44’05’’

PRODUCTO DEL VALOR DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL:

Si a un ángulo de 30º multiplicamos por el número natural 5 obtendremos un ángulo de 150º tal como lo ves en la figura de más abajo:

15.43 Multiplica: 

Respuesta: 94º58’48”

Solución:
Si multiplico 4x42” obtengo: 168”. En 168” tengo 2’ y me quedan 48 como resto al dividir 168 entre 60.
Multiplico 4x44’ y obtengo: 176’ a los que debo añadir los 2’ que obtuve del producto de los segundos: 176+2 = 178’.
Esta cantidad la divido entre 60 para saber los grados que contiene:

Por fin, multiplico 4x23º obteniendo: 92º a los que debo añadir los 2º procedentes del producto de los minutos:92+2=94º

15.44 Multiplica: 

Respuesta: 169º59’40”

15.45 Multiplica: 

Respuesta: 113º03’36’’

COCIENTE DEL VALOR DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL:

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número, seguidamente, pasamos a minutos el resto que nos haya quedado (multiplicando por 60) sumándolos a los que tengamos en el dividendo y continuamos con la división. Si nos queda un resto (dividiendo los minutos), lo transformamos en segundos (multiplicándolo por 60) y sumándolos a los que haya en el dividendo. Seguimos dividiendo por el número natural y damos por concluida la división.

Ejemplo:

15.46 Calcula el cociente de:

Respuesta: 9º21’25’’ y el resto 1’’

15.47 Calcula el cociente y el resto de la división:

Respuesta: 13º24’59” y el resto 4”

15.48 ¿El ángulo convexo y el ángulo obtuso tienen algún parecido?

Respuesta: Sí, los dos valen más 90º.

15.49 ¿En qué se diferencia un ángulo obtuso de un ángulo convexo?

Respuesta: Un ángulo obtuso vale más de 90º y menos 180º y el ángulo convexo está comprendido entre 0º y 180º.

15.50 ¿Puede decirse que todos los ángulos agudos son también convexos?

Respuesta: Sí porque los agudos están comprendidos entre 0º y 90º y los convexos entre 0º y 180º.

15.51 ¿Puede decirse que todos los ángulos convexos son también ángulos agudos?

Respuesta: No porque los agudos valen menos de 90º y son convexos los que están comprendidos entre 0º y 180º.

15.52 ¿Todos los ángulos obtusos son convexos?

Respuesta: No (comprueba el ejercicio 15.49)

15.53 Un ángulo llano es igual a dos rectos?

Respuesta: Sí porque un ángulo llano equivale a 180º o dos ángulos rectos.

15.54 Realiza una tabla en la que podamos comprobar el valor del ángulo y el nombre que recibe.

Respuesta: Representando por  el ángulo que forman las semirrectas Ay B con vértice en O podemos hacer la tabla siguiente:

Suma de ángulos

Para sumar dos ángulos expresados en grados y minutos, se suman por separado los grados y los minutos. Después, si el número de minutos es mayor que 60, se pasan a grados:

 

Resta de ángulos

Si el minuendo es mayor que el del sustraendo, se procede de modo inmediato. En caso contrario se procede del siguiente modo:

 

  

Producto de un ángulo por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural, se multiplica por separado dicho número por los minutos y por los grados. Si el resultado de los minutos es mayor de 60, se pasan a grados.

 

  

División de un ángulo por un número natural

Para dividir un ángulo por un número natural, se dividen los grados y el resto se pasa a minutos, para añadirlos con los que ya había. Después se dividen los minutos.

 

Concepto de ángulo.      Se denomina ángulo a la sección del plano que queda comprendida entre dos semirrectas que se originan en un mismo punto, y están colocadas en distintas direcciones. El punto en que se inician las semirrectas de denomina vértice del ángulo; en tanto que cada una de las semirrectas que lo delimitan, se denominan lados del ángulo. Ir al principio Operaciones con ángulos.  Un ángulo es una magnitud; es decir que constituye una entidad con existencia física y espacial, por lo cual es susceptible de ser comparada con sus similares, y de que se realicen con los ángulos las operaciones aritméticas.  La verdadera índole de la magnitud que constituye un ángulo está conformada por el grado de inclinación existente entre sus lados, a partir del vértice. Esa magnitud se mide con una unidad que se denomina grado, que se representa con el signo °; cuyos submúltiplos son 60 minutos y de éstos, 60 segundos. Los minutos y los segundos, se representan escrituralmente con los signos ’ y ”; de modo que la medida de un ángulo asume la forma: 48°15’20”, lo cual se lee 48 grados, quince minutos, veinte segundos. Convencionalmente, la medida máxima de un ángulo es de 360°; que conceptualmente sería la correspondiente al ángulo determinado por una única semirrecta. De tal manera, el ángulo determinado por dos semirrectas trazadas sobre una misma recta, mide 180°; y cada uno de los 4 ángulos determinados por las perpendiculares que se cruzan, mide 90°.  Entre los instrumentos que se emplean en el estudio de la geometría, se utiliza para la medición de ángulos el que se denomina semicírculo graduado; precisamente porque es una pieza — actualmente construída en material plástico transparente, lo que facilita mucho su uso — con forma de medio círculo, sobre cuya curvatura se trazan las divisiones que corresponden de 0° a 180° y sus subdivisiones. Como este instrumento permite medir un ángulo trazado sobre papel y trasladarlo o trazarlo sobre otro, también suele denominársele transportador. Ir al principio Igualdad de ángulos.      De acuerdo a lo anterior, la medida de un ángulo está dada por los grados, minutos y segundos que proyecte sobre el semicírculo graduado, colocando el centro o punto medio de su base sobre el vértice, y un lado sobre la base recta del semicírculo graduado; con lo cual el otro lado cruzará la curvatura del instrumento de medida, en el punto que suministre su abertura, sobre la escala graduada. Por consiguiente, la igualdad de dos o más ángulos, resultará de tener la misma magnitud de apertura entre sus lados; sin que incida en forma alguna la longitud de los segmentos que constituyan sus lados.  La igualdad de dos ángulos puede expresarse por medio de la igualación de sus medidas, en cuanto si el ángulo A,B,C = 30° y el ángulo D,E,F = 30°, podrá escribirse que ABC = DEF. Ir al principio Suma de ángulos.      La suma de dos o más ángulos puede realizarse ya sea en forma gráfica, o en forma aritmética. En el primer caso, se dibujan los ángulos sumandos uno a continuación del otro, con el mismo vértice; y el resultado de la suma será un nuevo ángulo comprendido entre los lados exteriores del trazado. Para sumar ángulos en forma aritmética, deben sumarse por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un minuto, y cada 60 minutos forman un grado, debe hacerse el correspondiente ajuste del resultado: ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53” Suma: 30° + 42° = 72° 45’ + 45’ = 90’ 13” + 53” = 66” Reducción: 66” = 1’, 6” 90+1’ = 1°, 31’ Total: ABF = 72+1=73°, 31’, 6” Ir al principio Resta de ángulos.      La resta — diferencia o sustracción — entre dos o más ángulos también puede realizarse ya sea en forma gráfica, o en forma aritmética. En el primer caso, se dibuja el ángulo minuendo (el mayor) y, dentro de él, el ángulo sustraendo (el menor), igualmente con el mismo vértice; y el resultado de la resta será un nuevo ángulo comprendido entre el lado superior (A-B) y el lado interior del trazado (A-E). Para restar ángulos en forma aritmética, debe procederse en forma similar a la suma, restando por separado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego reducir el resultado como se hiciera en la suma.  Pero como puede ocurrir que los minutos o segundos del sustraendo sean más que los del minuendo, habrá que tomar 60 del nivel superior, reduciendo éste: ABC = 42° 45’ 13” — DEF = 30° 55’ 53” Conversión de ABC: 42° 45’ 13” 42° 45’=41°, 105° 105’ 13”=104°, 73°  Resta: 42° – 30° = 12° 104’ – 55’ = 49’ 73” – 53” = 20” Reducción: No se requiere Resultado: ABE = 12°, 49’, 20” Ir al principio Multiplicación de ángulos.  La multiplicación respecto de un ángulo, — al igual que la división — puede realizarse respecto de un número natural; pero es una operación que tiene sentido lógico en cuanto el resultado no sea superior a la medida máxima posible para un ángulo, que son 360°. Como operación por método gráfico, la multiplicación de un ángulo determinado, por un número natural, no se diferencia de la suma; en cuanto se trata de sumar el ángulo a sí mismo, tantas veces como requiere el multiplicador: 2 veces para multiplicarlo por dos, 3 veces para multiplicarlo por 3, y sucesivamente. De la misma manera que para su multiplicación aritmética, es fácil advertir que esa operación gráfica queda limitada hasta que una nueva adición del ángulo a la resultante de las anteriores, determine que quede superpuesto con el primero de ellos.  La multiplicación aritmética de ángulos en la forma indicada — por un número natural, no necesariamente un entero — se realiza en forma similar a las operaciones anteriores; teniendo en cuenta la reducción de la resultante a un número de segundos y minutos no superior a 60, y asimismo que el resultado final no puede superar 360°, 0’, 0”: ABC = 12° 45’ 13” × 5 Multiplicación: 12° × 5 = 60° 45’ × 5 = 225’ 13” – 5 = 65” Reducción: 225’ = 3°, 45” 65” = 1’, 5” Resultado: 60°+3°=63°, 45’+1°=46’ Total: 63°, 46’, 5” Ir al principio División de ángulos.  Lo expresado para la multiplicación es aplicable en cierta forma a la división aritmética de ángulos. La división de un ángulo en varias partes iguales, correspondientes a un número natural, puede realizarse subdividiéndolo en forma gráfica en la cantidad resultante de ángulos iguales.  La división aritmética de ángulos se realiza por el mismo procedimiento que la multiplicación, procediendo por separado con grados, minutos y segundos; con la particularidad de que para obtener resultados adecuados, deberán dividirse primero los segundos, llevándolos a un valor adecuado a partir de tomar minutos; y del mismo modo con los minutos, tomando grados. Finalmente, habrá de procederse a la reducción de la resultante a un número de segundos y minutos no superior a 60: ABC = 125° 46’ 0” ÷ 5 Conversión previa: 46’, 0” = 45’, 60” División: 60” ÷ 5 = 12” 45’ ÷ 5 = 9’ 125° ÷ 5 = 25° Reducción: No se requiere Resultado: 25°, 9’, 12” Ir al principio Trazado de la bisectriz.      Se denomina bisectriz de un ángulo, a la línea que partiendo de su vértice, lo divide en dos ángulos iguales: bi-sectriz, dos sectores. Para trazar en forma gráfica la bisectriz de un ángulo, se traza un arco con el compás haciendo centro en el vértice a una distancia aproximada de la mitad de la longitud de los lados, delimitando así dos segmentos de lado iguales. Luego, con la misma medida de arco en el compás, haciendo centro alternativamente en cada uno de los extremos de los sectores de lado antes marcados, se trazan dos arcos en la zona aproximada de la mitad del ángulo, de forma que se crucen. La bisectriz es la recta que une el vértice con el punto determinado por el cruce de estos dos últimos arcos.