viernes, 29 de abril de 2016

Apuntes de Geometría

el pentágono
El pentágono regular es una figura geométrica plana cuyos cinco lados y ángulos son iguales.

Ángulos de un pentágono

Suma de ángulos interiores de un pentágono = (5 − 2) · 180° = 540°
El valor de un ángulo interior del pentágono regular es: 540º : 5 = 108º
El ángulo central del pentágono regular mide: 360º : 5 = 72º

Diagonales de un pentágono

Número de diagonales = 5 · (5 − 3) : 2 = 5

Apotema de un pentágono regular

dibujo


Perímetro de un pentágono regular

Perímetro = 5 · l
`pentágono

Área de un pentágono regular

fórmulas


Dibujo de un pentágono
Un pentágono es un polígono de cinco lados (L1, L2, L3, L4 y L5). Los lados confluyen dos a dos en cinco puntos, llamados vértices.

Elementos del pentágono

En un pentágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:
Dibujo de los elementos del pentágono
  • Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 5 vértices.
  • Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del pentágono y que delimitan su perímetro. Tiene 5 lados.
  • Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un pentágono convexo hay 5 diagonales (¿por qué hay cinco diagonales?).
  • Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 5 ángulos interiores. Los ángulos interiores del pentágono suman 540º (¿por qué suman 540º?).
  • Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 5 ángulos exteriores.

Tipos de pentágono

Según las características de los lados y ángulos del pentágono, se clasifica en dos tipos:
  • Pentágono regular: figura geométrica con cinco lados y ángulos iguales (todos sus ángulos interiores son de 108º, resultado de dividir 540º entre 5 ángulos).
  • Pentágono irregular: figura geométrica cuyos cinco lados y ángulos no son iguales entre sí.

Dibujo de la diferencia entre pentágono regular e irregular

Área del pentágono

El cálculo del área de un pentágono es diferente dependiendo de si el pentágono es regular o irregular.

Área del pentágono regular

El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap). Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Dibujo del área del pentágono regular

Fórmula del área del pentágono regular

Área del pentágono irregular

El cálculo del área de un pentágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el pentágono en cinco triángulos y calcular el área sumando las cinco áreas de los triángulos.
Dibujo del área del pentágono irregular

Fórmula del área del pentágono irregular

Podemos calcular el área del pentágono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del pentágono irregular

Pentágono irregular
Sea P un pentágono irregular. Se desea calcular su área (A).
El método de triangulación consiste en dividir el pentágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en cinco triángulos y el área del pentágono será la suma del área de esos cinco triángulos.
    Pentágono irregular dividido en cinco triángulos.
  1. Se divide el pentágono en cinco triángulos (T1, T2, T3, T4 y T5) . Estostriángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del pentágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del pentágono.

    2. Pentágono irregular dividido en cinco triángulos y con la altura de ellos.
  2. Se miden las alturas (h1, h2,…, h5) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del pentágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

    3. Primer triángulo del pentágono irregular dividido en cinco triángulos.
  3. Se calculan las áreas de los cinco triángulos. El área del primer triángulo es:
    Fórmula del área del primer triángulo del pentágono irregular.
    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros cuatro triángulos.
  4. Sumamos las cinco áreas y obtenemos el área del pentágono irregular:
    Fórmula del área del pentágono irregular

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.
Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.
Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del pentágono irregular para el determinante de Gauss.
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.
Sean los vértices del pentágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x5,y5). La fórmula es la siguiente:
Fórmula del área del pentágono irregular mediante el Determinante de Gauss
Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del pentágono irregular.
Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavoscomo en los convexos.

Perímetro del pentágono

La fórmula del perímetro del pentágono es diferente dependiendo si el pentágono es regular o irregular.

Perímetro del pentágono regular

El pentágono regular tiene sus cinco lados iguales, por lo que su perímetro es cinco veces uno de sus lados:
Dibujo del perímetro del pentágono regular

Fórmula del perímetro del pentágono regular

Perímetro del pentágono irregular

El pentágono irregular no tiene una fórmula que generalice su perímetro, ya que todos sus lados pueden ser diferentes.
Su perímetro es la suma de la longitud de sus cinco lados.
Dibujo del perímetro del pentágono irregular


Fórmula del perímetro del pentágono irregular






 pentágono (del griego πεντάγωνον, de πέντε pénte "cinco" y γωνία gōnía "ángulo") a un polígonode cinco lados y cinco vértices.
Un pentágono regular es aquél que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes.

Propiedades

A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1,72048 a^2
De forma general si tenemos que el radio de la circunferencia circunscrita es ru
A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}
o también:
A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ}

Perímetro

Siempre que supongamos que el pentágono tiene lado a:
a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ
ó también:
a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}
Para obtener el perímetro P de un pentágono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por cinco (el número de lados n del polígono).
P = n\cdot t = 5\ t

Fórmula para calcular los ángulos interiores

La suma de los ángulos internos de un pentágono es de 540°.
La fórmula general para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular (en el caso del pentágono n = 5) es:
\sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ
El ángulo comprendido entre dos lados de un pentágono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula (en el pentágono, n = 5):
\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ

Construcción de un pentágono regular

Pentagon construction.svg
Secuencia gráfica usando regla y compás
Podemos construir con regla y compás un pentágono regular, inscrito en una circunferencia (véase la figura) de la siguiente manera:
Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.
Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.
Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.

Relaciones geométricas del pentágono regular

Relación con el número áureo

Pentagrama y pentágono
Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón aúrea o número áureo, por ejemplo que
CE = \left(\frac{1 + \sqrt5}2\right)CD
Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que
\frac{MC}{AN} = \frac{FC}{AF}
Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto
\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CE-CD}= \frac{1}{CE/CD - 1}
Sustituyendo CE/CD por \phi tenemos
\phi = \frac{1}{\phi-1}\qquad\,(1)
en otras palabras \phi-1=1/\phi. Esta ecuación describe la razón dorada. \phi es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.
De la discusión anterior se desprende: Si en un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base vale 108°, la razón de la base del triángulo y uno de los otros lados es la razón dorada.

Algunas consideraciones sobre triángulos

Pentagon discussion.svg
Consideremos a un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita a dicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia El ángulo AOB mide 360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que
  1. La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferencia es la razón dorada
  2. \ang BMO = (180^\circ - 108^\circ)/2 = 72^\circ/2 = 36^\circ
Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos
\frac{PM}{OM} = \frac{1}{\phi} = \frac{MB-PB}{OM} = \phi - 1
Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuación (1).
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