Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría".
Biografía
Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (ciudad situada al norte de Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:
- Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió los Elementos y otras obras atribuidas a él.
- Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir lasobras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
- Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Mégara, que había vivido unos cien años antes.
Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo de Cnido en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares.
Obra
Su obra Elementos, es una de las producciones científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el ámbito académico de entonces. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de Los elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía Los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
En los libros VII, VIII y IX de Los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad.
La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tiene ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.
De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menos evidente. Diversos matemáticos intentaron sin éxito prescindir de dicho axioma intentándolo deducir del resto de axiomas. Pretendieron presentarlo como un teorema, sin lograrlo.
Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las "geometrías no euclidianas". Dichas geometrías tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados.
Euclides de Alejandría. Nació alrededor de 325 AC y murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto. Euclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad mejor conocido por su tratado sobre matemáticas llamado Los Elementos. La vigencia de Los Elementos hace de Euclides el principal maestro de matemáticas de todos los tiempos.
No obstante, se sabe poco de la vida de Euclides excepto que enseñó en Alejandría en Egipto. Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, que vivió alrededor de 450 AC escribió (véase [1] o [9] o muchas otras fuentes):-
Euclides, sin ser mucho más joven que éstos [discípulos de Platón], elaboró los "Elementos", poniendo orden en muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos de los de Teteto, y también dando demostraciones irrefutables para hechos probados sin rigor por sus predecesores. Este hombre fue contemporáneo del primer Tolomeo; para Arquímedes, quien se apegó al primer Tolomeo, menciona a Euclides, y se dice que alguna vez Tolomeo le preguntó si había un camino más corto para estudiar geometría que los Elementos, a lo cual replicó que no había camino real a la geometría.. Él es, por tanto, más joven que el círculo de Platón, pero mayor que Eratóstenes y Arquímedes; ya que éstos eran contemporáneos, como Eratóstenes afirma en alguna parte. En su visión, era platónico, ya que simpatizaba con su filosofía, puesto que su objetivo de todos los "Elementos" fue la construcción de los llamados sólidos platónicos.
Hay otra información acerca de Euclides dada por ciertos autores, pero no parece ser confiable. Existen dos tipos distintos de información adicional. El primer tipo de información adicional es la dada por autores árabes que afirman que Euclides era hijo de Naucrates y que había nacido en Tiro. Sin embargo, otros historiadores de las matemáticas creen que esto es meramente ficticio y solamente inventado por sus autores.
El segundo tipo de información es que Euclides nació en Megara. Esto se debe a un error de parte de los autores que dieron por vez primera esta información. En efecto, hubo un Euclides de Megara, quien fue filósofo y vivió unos 100 años antes del matemático Euclides de Alejandría. No es mera coincidencia que parezca haber habido dos eruditos de nombre Euclides. Euclides era un nombre muy común por este período y esto implica una mayor dificultad para descubrir información concerniente a Euclides de Alejandría ya que hay referencias a numerosos hombres llamados Euclides en la literatura de este período.
Volviendo a la cita de Proclo dada arriba, hay que señalar que no hay inconsistencia en las fechas dadas. Sin embargo, aunque no sabemos con exactitud a que referencia a Euclides en la obra de Arquímedes se refiere Proclo, hasta donde sabemos hay sólo una referencia a Euclides que ocurre en Sobre la esfera y el cilindro. La obvia conclusión, por tanto, es que todo está correcto en el argumento de Proclo y siempre se había aceptado hasta que fue rebatido por Hjelmslev en [48]. Argüía que la referencia a Euclides había sido añadida al libro de Arquímedes en fecha posterior y, en efecto, es una referencia bastante sorprendente. No era la tradición en aquella época hacer tales referencias, más aún, hay muchas otras partes de la obra de Arquímedes, donde debería hacerse referencia a Euclides y no hay tales referencias. No obstante, Hjelmslev insiste en que el pasaje fue añadido posteriormente, Bulmer-Thomas escribe en [1]:-
Aunque ya no es posible confiar en esta referencia, una consideración general de las obras de Euclides ... aún muestra que debe de haber escrito posteriormente a tales discípulos de Platón como Eudoxo y antes de Arquímedes.
Para una mayor discusión sobre las fechas de Euclides véase, por ejemplo, [8]. Esto aún dista del final de las argumentaciones sobre Euclides el matemático. El mejor sumario de la situación la da Itard [11], quien plantea tres posibles hipótesis.
(i) Euclides fue un personaje histórico que escribió Elementos y las otras obras a él atribuidas.
(ii) Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajó en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a la escritura de las ‘obras completas de Euclides’, incluso escribiendo libros a nombre de Euclides después de su muerte.
(iii) Euclides no fue un personaje histórico y las ‘obras completas de Euclides’ fueron escritas por un equipo de matemáticos en Alejandría, que asumieron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, quien vivió alrededor de 100 años antes.
Vale la pena señalar que Itard, que acepta las propuestas de Hjelmslev, de que el pasaje sobre Euclides fue agregado por Arquímedes, está a favor de la segunda de las tres posibilidades anotadas arriba. No obstante, hemos de comentar sobre cada una de las tres posibilidades, las cuales, es justo decir, resumen bastante bien todas las teorías existentes posibles.
Hay algunas evidencias fuertes para admitir (i). Ésta fue aceptada sin cuestionamientos por todo el mundo por más del 2000 años y hay poca evidencia que sea inconsistente con esta hipótesis. Es cierto que hay diferencias en estilo entre algunos de los libros de los Elementos pero también es cierto que muchos autores varían su estilo. Otra vez, el hecho de que Euclides indudablemente haya basado los Elementos en obras previas sería bastante notable si no se hubiera mantenido alguna traza del estilo del autor original.
Incluso, si aceptamos (i), entonces hay poca duda de que Euclides construyó una vigorosa escuela de matemáticas en Alejandría. Por lo tanto, debería de haber tenido algunos discípulos capaces que hubieran colaborado en la escritura de sus libros. Sin embargo, la hipótesis (ii) va más allá y sugeriría que libros diferentes fueron escritos por matemáticos diferentes. Más que las diferencias en estilo señaladas antes, hay poca evidencia de esto.
Aunque ante lo dicho la hipótesis (iii) podría parecer la más fantasiosa de las tres, el ejemplo del siglo veinte de Bourbaki muestra que está lejos de ser imposible. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley y Alexander Grothendieck escribieron en forma colectiva bajo el nobre de Nicolás Bourbaki y los Eléments de mathématiques de Bourbaki contienen más de 30 volúmenes. Por supuesto, si (iii) fuese la hipótesis correcta, entonces Apolonio, quien estudió con los discípulos de Euclides en Alejandría, debería de haber sabido que no hubo la persona ‘Euclides’, pero el hecho de que haya escrito:
.... Euclides no elaboraba la síntesis del locus con respecto a tres y cuatro rectas, sino sólo una porción aleatoria de él...
ciertamente no prueba que Euclides haya sido un carácter histórico, ya que hay referencias similares a Bourbaki por matemáticos que saben perfectamente bien que Bourbaki es ficticio. No obstante, los matemáticos que formaron el equipo Bourbaki son todos bien conocidos por derecho propio y éste podría ser el principal argumento contra la hipótesis (iii), ya que el ‘equipo Euclides’ debería de haber constado de matemáticos sobresalientes. ¿Quiénes fueron ellos entonces?
En este artículo aceptaremos la hipótesis (i) como cierta, y al no tener conocimiento de Euclides, habremos de concentrarnos en sus obras después de hacer algunos comentarios sobre posibles eventos históricos. Euclides debe de haber estudiado en la Academia de Platón en Atenas para haber aprendido la geometría de Eudoxo y Teteto con la que estaba muy familiarizado.
Ninguna de las obras de Euclides tiene un prólogo, o al menos ninguno ha sobrevivido hasta nuestros días, por lo que es poco probable que los haya habido; así no podemos ver nada de su carácter, como sí lo podemos ver en algunos otros matemáticos griegos a partir de la naturaleza de sus prólogos. Pappus escribe (véase [1], por ejemplo) que Euclides era:-
... de lo más justo y bien dispuesto hacia todos aquéllos que en alguna medida eran capaces de hacer avanzar las matemáticas, cuidadoso de no ofender en modo alguno, y sin embargo un erudito exacto que no se jacta de sí mismo.
Algunos afirman que estas palabras le fueron añadidas a Pappus, y ciertamente el punto de este pasaje (en una parte posterior que no hemos citado) es hablar mal (y de seguro casi injustamente) de Apolonio. La imagen de Euclides trazada por Pappus va, sin embargo, en línea con la evidencia de sus textos matemáticos. Otra historia es la que cuenta Stobaeus [9], a saber:-
... alguien que había empezado a aprender geometría con Euclides, cuando había aprendido el primer teorema, le preguntó a Euclides “¿de qué me sirve aprender estas cosas?” Euclides llamó a su esclavo y le dijo “Dale tres peniques pues debe sacar provecho de lo que aprende”.
La obra más famosa de Euclides es su tratado sobre matemáticas Los Elementos. El libro era una compilación del conocimiento que se convirtió en el centro de la enseñanza matemática por 2000 años. Probablemente ninguno de los resultados en Los Elementos fueron probados por primera vez por Euclides, pero la organización del material y su exposición son con seguridad obra de él. Hay, de hecho, amplia evidencia de que Euclides usa textos previos cuando escribe los Elementos ya que introduce un buen número de definiciones que nunca se usan como la de un oblongo, un rombo y un romboide.
Los Elementos comienzan con definiciones y cinco postulados. Los primeros tres son postulados de construcción, por ejemplo, el primero establece que es posible dibujar una recta entre cualesquiera dos puntos. Estos postulados también suponen implícitamente la existencia de puntos, rectas y círculos, y entonces la existencia de otros objetos geométricos se deduce de la existencia de aquéllos. Hay otras hipótesis en los postulados que no son explícitas. Por ejemplo, se supone que hay una única recta que une dos puntos cualesquiera. Análogamente, los postulados dos y tres, sobre producir rectas y trazar círculos, respectivamente, suponen la unicidad de los objetos cuya construcción se postula.
El cuarto y el quinto postulado son de naturaleza diferente. El cuarto establece que todos los ángulos rectos son iguales. Esto puede parecer “obvio”, pero esto presume que el espacio es homogéneo, es decir, que una figura será independiente de la posición en el espacio en la cual se coloca. El famoso quinto postulado, o de las paralelas, establece que puede dibujarse una y sólo una recta que pase por un punto y sea paralela a una recta dada. La decisión de Euclides de formular este postulado condujo a la geometría euclidiana. No fue hasta el siglo diecinueve que se eliminó este postulado y se estudiaron geometrías no euclidianas.
También hay axiomas que Euclides llama ‘nociones comunes’. Estas no son propiedades geométricas específicas, sino suposiciones bastante generales que permiten a las matemáticas proceder como en una ciencia deductiva. Por ejemplo:-
Objetos que son iguales al mismo objeto son iguales entre sí.
Zenón de Sidón, alrededor de 250 años después de que Euclides escribió los Elementos, parece haber sido el primero que probó que las proposiciones de Euclides no se deducían solamente de los postulados y axiomas, y que Euclides no hace otras suposiciones sutiles.
Los Elementos están divididos en 13 libros. Del I al VI tratan la geometría plana. En particular, los libros I y II formulan las propiedades básicas de los triángulos, paralelas, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. El libro III estudia propiedades del círculo, mientras que el IV trata problemas sobre círculos y está pensado en gran parte para presentar la obra de los pitagóricos. El libro V establece las bases de la obra de Eudoxo sobre proporciones aplicadas a magnitudes conmensurables e inconmensurables. Heath dice [9]:-
Las matemáticas griegas no pueden presumir de un descubrimiento mejor que esta teoría, que colocó sobre una base sólida toda la geometría que depende del uso de las proporciones.
El libro VI busca aplicaciones de los resultados del libro V a la geometría plana.
Los libros VII a IX tratan la teoría de los números. En particular el VII es una introducción completa a la teoría de los números y contiene el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números. El libro VIII ve los números en progresión pero van der Waerden escribe en [2] que contiene:-
... enunciados engorrosos, repeticiones innecesarias e incluso falacias lógicas. Aparentemente la exposición de Euclides sólo es excelente en aquellas partes para las que tuvo a su disposición excelentes fuentes.
El libro X versa sobre la teoría de los números irracionales y es en esencia la obra de Teteto. Euclides modificó las pruebas de varios teoremas en este libro para que se ajustaran a la nueva definición de proporción dada por Eudoxo.
Los libros del XI al XIII tratan sobre geometría tridimensional. En el XIII se dan las definiciones básicas necesarias para los tres libros. Los teoremas siguen después un patrón bastante similar a sus análogos bidimensionales dados previamente en los libros I y IV. Los resultados principales del libro XII versan sobre que las áreas de los círculos son unas a otras, como los cuadrados de sus diámetros y sobre que los volúmenes de las esferas son unos a otros como los cubos de sus diámetros. Estos resultados son con certeza debidos a Eudoxo. Euclides prueba estos teoremas usando el “método exhaustivo” inventado por Eudoxo. Los Elementos terminan con el libro XIII que discute las propiedades de los cinco poliedros regulares y demuestra que son precisamente cinco. Este libro parece estar basado en gran parte en un tratado anterior de Teteto.
Los Elementos de Euclides son notables por la claridad con la que se formulan y demuestran los teoremas. El nivel de rigor fue visto como una meta por los creadores del cálculo muchos siglos después. Heath escribe en [9]:-
Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que en realidad son pocas tomando en cuenta la fecha de su aparición, es y seguirá siendo sin duda el máximo texto de matemáticas de todos los tiempos. ... Incluso en tiempos de los griegos los matemáticos más brillantes se ocuparon de él: Herón, Pappus, Porfirio, Proclo y Simplicio escribieron comentarios; Teón de Alejandría lo reeditó, alterando el lenguaje en algunas partes, en buena parte para hacerlo más claro y consistente...
Es una fascinante historia cómo los Elementos han sobrevivido desde la época de Euclides, como lo cuenta muy bien Fowler en [7]. Describe el material más antiguo relacionado con los Elementos que ha sobrevivido:-
Nuestro más antiguo vistazo al material euclidiano será durante mil años el más notable, seis ostraca fragmentarios que contienen texto y una figura... hallados en la Isla Elefantina en 1906/07 y 1907/08... Estos textos son antiguos, aunque más de 100 años posteriores a la muerte de Platón (están datados sobre bases paleográficas en el tercer cuarto del tercer siglo AC); avanzados (tratan resultados que se encuentran en los "Elementos" [libro XIII] ... sobre el pentágono, hexágono, decágono y el icosaedro);y no siguen el texto de los Elementos. ... Así que dan evidencia de alguien en el tercer siglo AC, localizado más de 800km al sur de Alejandría, que manejaba este difícil material...éste puede ser un intento de entender las matemática y no una mera copia...
El siguiente fragmento que tenemos data de 75 - 125 DC y de nuevo parece tratarse de notas de alguien intentando comprender el material de los Elementos.
Más de mil ediciones de Los Elementos han sido publicadas desde su primera impresión en 1482. Heath [9] discute muchas de las ediciones y describe los probables cambios al texto a través de los años.
B L van der Waerden estima la importancia de los Elementos en [2]:-
Casi desde que se escribieron y casi hasta la actualidad los Elementos han ejercido un influencia continua e intensa en los asuntos humanos. Ha sido la fuente primaria de razonamiento, teoremas y métodos geométricos, al menos hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana en el siglo diecinueve. A veces se dice que después de la Biblia, son quizás “Los Elementos” la obra más traducida, publicada y estudiada de todos los libros producidos en el mundo occidental.
Euclides también escribió los siguientes libros que han sobrevivido: Data (con 94 proposiciones), que trata las propiedades de las figuras que se deducen de otras propiedades dadas; Sobre Divisiones que trata las construcciones para dividir una figura en dos partes con proporción dada; Óptica que es la primera obra griega sobre perspectiva, y Fenómenos que es una introducción a astronomía matemática y da resultados sobre las horas a las que las estrellas en ciertas posiciones salen y se ponen. Los siguientes libros de Euclides se perdieron: Lugares geométricos de superficies (dos libros), Porismos (una obra de tres libros, que según Pappus, contenía 171 teoremas y 38 lemas), Cónicas (cuatro libros), El libro de las falacias y Elementos de la música. Proclo [1] describe El libro de las falacias:-
Ya que muchas cosas parecen ser conformes a la verdad y seguir de principios científicos, pero desvían de los principios y engañan a los más superficiales, [Euclides] también ha diseñado métodos para el claro entendimiento de estos temas ... El trabajo en el que nos legó esta maquinaria se titula Falacias, que enumera en orden los varios tipos, ejercitando nuestra inteligencia en cada caso por teoremas de toda suerte, poniendo lado a lado lo cierto con lo falso y combinando la refutación del error con ilustración práctica.
Los elementos la música es una obra atribuida a Euclides por Proclo. Tenemos dos tratados sobre música que han sobrevivido y que algunos autores han atribuido a Euclides, pero ahora se piensa que no son la obra sobre música a la que se refiere Proclo.
Puede ser que Euclides no haya sido un matemático de primera línea, pero la durabilidad de Los elementos lo convierte en el principal maestro de matemáticas de la antigüedad o quizás de todos los tiempos. Como nota personal final, déjenme añadir que mi [EFR] propia introducción a las matemáticas en la escuela en los cincuentas fue a través de una edición parcial de los Elementos de Euclides, y la obra proporcionó una base lógica para las matemáticas y el concepto de demostración que parece estar ausente de las matemáticas escolares hoy en día.
Euclides, sin ser mucho más joven que éstos [discípulos de Platón], elaboró los "Elementos", poniendo orden en muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos de los de Teteto, y también dando demostraciones irrefutables para hechos probados sin rigor por sus predecesores. Este hombre fue contemporáneo del primer Tolomeo; para Arquímedes, quien se apegó al primer Tolomeo, menciona a Euclides, y se dice que alguna vez Tolomeo le preguntó si había un camino más corto para estudiar geometría que los Elementos, a lo cual replicó que no había camino real a la geometría.. Él es, por tanto, más joven que el círculo de Platón, pero mayor que Eratóstenes y Arquímedes; ya que éstos eran contemporáneos, como Eratóstenes afirma en alguna parte. En su visión, era platónico, ya que simpatizaba con su filosofía, puesto que su objetivo de todos los "Elementos" fue la construcción de los llamados sólidos platónicos.
Hay otra información acerca de Euclides dada por ciertos autores, pero no parece ser confiable. Existen dos tipos distintos de información adicional. El primer tipo de información adicional es la dada por autores árabes que afirman que Euclides era hijo de Naucrates y que había nacido en Tiro. Sin embargo, otros historiadores de las matemáticas creen que esto es meramente ficticio y solamente inventado por sus autores.
El segundo tipo de información es que Euclides nació en Megara. Esto se debe a un error de parte de los autores que dieron por vez primera esta información. En efecto, hubo un Euclides de Megara, quien fue filósofo y vivió unos 100 años antes del matemático Euclides de Alejandría. No es mera coincidencia que parezca haber habido dos eruditos de nombre Euclides. Euclides era un nombre muy común por este período y esto implica una mayor dificultad para descubrir información concerniente a Euclides de Alejandría ya que hay referencias a numerosos hombres llamados Euclides en la literatura de este período.
Volviendo a la cita de Proclo dada arriba, hay que señalar que no hay inconsistencia en las fechas dadas. Sin embargo, aunque no sabemos con exactitud a que referencia a Euclides en la obra de Arquímedes se refiere Proclo, hasta donde sabemos hay sólo una referencia a Euclides que ocurre en Sobre la esfera y el cilindro. La obvia conclusión, por tanto, es que todo está correcto en el argumento de Proclo y siempre se había aceptado hasta que fue rebatido por Hjelmslev en [48]. Argüía que la referencia a Euclides había sido añadida al libro de Arquímedes en fecha posterior y, en efecto, es una referencia bastante sorprendente. No era la tradición en aquella época hacer tales referencias, más aún, hay muchas otras partes de la obra de Arquímedes, donde debería hacerse referencia a Euclides y no hay tales referencias. No obstante, Hjelmslev insiste en que el pasaje fue añadido posteriormente, Bulmer-Thomas escribe en [1]:-
Aunque ya no es posible confiar en esta referencia, una consideración general de las obras de Euclides ... aún muestra que debe de haber escrito posteriormente a tales discípulos de Platón como Eudoxo y antes de Arquímedes.
Para una mayor discusión sobre las fechas de Euclides véase, por ejemplo, [8]. Esto aún dista del final de las argumentaciones sobre Euclides el matemático. El mejor sumario de la situación la da Itard [11], quien plantea tres posibles hipótesis.
(i) Euclides fue un personaje histórico que escribió Elementos y las otras obras a él atribuidas.
(ii) Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajó en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a la escritura de las ‘obras completas de Euclides’, incluso escribiendo libros a nombre de Euclides después de su muerte.
(iii) Euclides no fue un personaje histórico y las ‘obras completas de Euclides’ fueron escritas por un equipo de matemáticos en Alejandría, que asumieron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, quien vivió alrededor de 100 años antes.
Vale la pena señalar que Itard, que acepta las propuestas de Hjelmslev, de que el pasaje sobre Euclides fue agregado por Arquímedes, está a favor de la segunda de las tres posibilidades anotadas arriba. No obstante, hemos de comentar sobre cada una de las tres posibilidades, las cuales, es justo decir, resumen bastante bien todas las teorías existentes posibles.
Hay algunas evidencias fuertes para admitir (i). Ésta fue aceptada sin cuestionamientos por todo el mundo por más del 2000 años y hay poca evidencia que sea inconsistente con esta hipótesis. Es cierto que hay diferencias en estilo entre algunos de los libros de los Elementos pero también es cierto que muchos autores varían su estilo. Otra vez, el hecho de que Euclides indudablemente haya basado los Elementos en obras previas sería bastante notable si no se hubiera mantenido alguna traza del estilo del autor original.
Incluso, si aceptamos (i), entonces hay poca duda de que Euclides construyó una vigorosa escuela de matemáticas en Alejandría. Por lo tanto, debería de haber tenido algunos discípulos capaces que hubieran colaborado en la escritura de sus libros. Sin embargo, la hipótesis (ii) va más allá y sugeriría que libros diferentes fueron escritos por matemáticos diferentes. Más que las diferencias en estilo señaladas antes, hay poca evidencia de esto.
Aunque ante lo dicho la hipótesis (iii) podría parecer la más fantasiosa de las tres, el ejemplo del siglo veinte de Bourbaki muestra que está lejos de ser imposible. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley y Alexander Grothendieck escribieron en forma colectiva bajo el nobre de Nicolás Bourbaki y los Eléments de mathématiques de Bourbaki contienen más de 30 volúmenes. Por supuesto, si (iii) fuese la hipótesis correcta, entonces Apolonio, quien estudió con los discípulos de Euclides en Alejandría, debería de haber sabido que no hubo la persona ‘Euclides’, pero el hecho de que haya escrito:
.... Euclides no elaboraba la síntesis del locus con respecto a tres y cuatro rectas, sino sólo una porción aleatoria de él...
ciertamente no prueba que Euclides haya sido un carácter histórico, ya que hay referencias similares a Bourbaki por matemáticos que saben perfectamente bien que Bourbaki es ficticio. No obstante, los matemáticos que formaron el equipo Bourbaki son todos bien conocidos por derecho propio y éste podría ser el principal argumento contra la hipótesis (iii), ya que el ‘equipo Euclides’ debería de haber constado de matemáticos sobresalientes. ¿Quiénes fueron ellos entonces?
En este artículo aceptaremos la hipótesis (i) como cierta, y al no tener conocimiento de Euclides, habremos de concentrarnos en sus obras después de hacer algunos comentarios sobre posibles eventos históricos. Euclides debe de haber estudiado en la Academia de Platón en Atenas para haber aprendido la geometría de Eudoxo y Teteto con la que estaba muy familiarizado.
Ninguna de las obras de Euclides tiene un prólogo, o al menos ninguno ha sobrevivido hasta nuestros días, por lo que es poco probable que los haya habido; así no podemos ver nada de su carácter, como sí lo podemos ver en algunos otros matemáticos griegos a partir de la naturaleza de sus prólogos. Pappus escribe (véase [1], por ejemplo) que Euclides era:-
... de lo más justo y bien dispuesto hacia todos aquéllos que en alguna medida eran capaces de hacer avanzar las matemáticas, cuidadoso de no ofender en modo alguno, y sin embargo un erudito exacto que no se jacta de sí mismo.
Algunos afirman que estas palabras le fueron añadidas a Pappus, y ciertamente el punto de este pasaje (en una parte posterior que no hemos citado) es hablar mal (y de seguro casi injustamente) de Apolonio. La imagen de Euclides trazada por Pappus va, sin embargo, en línea con la evidencia de sus textos matemáticos. Otra historia es la que cuenta Stobaeus [9], a saber:-
... alguien que había empezado a aprender geometría con Euclides, cuando había aprendido el primer teorema, le preguntó a Euclides “¿de qué me sirve aprender estas cosas?” Euclides llamó a su esclavo y le dijo “Dale tres peniques pues debe sacar provecho de lo que aprende”.
La obra más famosa de Euclides es su tratado sobre matemáticas Los Elementos. El libro era una compilación del conocimiento que se convirtió en el centro de la enseñanza matemática por 2000 años. Probablemente ninguno de los resultados en Los Elementos fueron probados por primera vez por Euclides, pero la organización del material y su exposición son con seguridad obra de él. Hay, de hecho, amplia evidencia de que Euclides usa textos previos cuando escribe los Elementos ya que introduce un buen número de definiciones que nunca se usan como la de un oblongo, un rombo y un romboide.
Los Elementos comienzan con definiciones y cinco postulados. Los primeros tres son postulados de construcción, por ejemplo, el primero establece que es posible dibujar una recta entre cualesquiera dos puntos. Estos postulados también suponen implícitamente la existencia de puntos, rectas y círculos, y entonces la existencia de otros objetos geométricos se deduce de la existencia de aquéllos. Hay otras hipótesis en los postulados que no son explícitas. Por ejemplo, se supone que hay una única recta que une dos puntos cualesquiera. Análogamente, los postulados dos y tres, sobre producir rectas y trazar círculos, respectivamente, suponen la unicidad de los objetos cuya construcción se postula.
El cuarto y el quinto postulado son de naturaleza diferente. El cuarto establece que todos los ángulos rectos son iguales. Esto puede parecer “obvio”, pero esto presume que el espacio es homogéneo, es decir, que una figura será independiente de la posición en el espacio en la cual se coloca. El famoso quinto postulado, o de las paralelas, establece que puede dibujarse una y sólo una recta que pase por un punto y sea paralela a una recta dada. La decisión de Euclides de formular este postulado condujo a la geometría euclidiana. No fue hasta el siglo diecinueve que se eliminó este postulado y se estudiaron geometrías no euclidianas.
También hay axiomas que Euclides llama ‘nociones comunes’. Estas no son propiedades geométricas específicas, sino suposiciones bastante generales que permiten a las matemáticas proceder como en una ciencia deductiva. Por ejemplo:-
Objetos que son iguales al mismo objeto son iguales entre sí.
Zenón de Sidón, alrededor de 250 años después de que Euclides escribió los Elementos, parece haber sido el primero que probó que las proposiciones de Euclides no se deducían solamente de los postulados y axiomas, y que Euclides no hace otras suposiciones sutiles.
Los Elementos están divididos en 13 libros. Del I al VI tratan la geometría plana. En particular, los libros I y II formulan las propiedades básicas de los triángulos, paralelas, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. El libro III estudia propiedades del círculo, mientras que el IV trata problemas sobre círculos y está pensado en gran parte para presentar la obra de los pitagóricos. El libro V establece las bases de la obra de Eudoxo sobre proporciones aplicadas a magnitudes conmensurables e inconmensurables. Heath dice [9]:-
Las matemáticas griegas no pueden presumir de un descubrimiento mejor que esta teoría, que colocó sobre una base sólida toda la geometría que depende del uso de las proporciones.
El libro VI busca aplicaciones de los resultados del libro V a la geometría plana.
Los libros VII a IX tratan la teoría de los números. En particular el VII es una introducción completa a la teoría de los números y contiene el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números. El libro VIII ve los números en progresión pero van der Waerden escribe en [2] que contiene:-
... enunciados engorrosos, repeticiones innecesarias e incluso falacias lógicas. Aparentemente la exposición de Euclides sólo es excelente en aquellas partes para las que tuvo a su disposición excelentes fuentes.
El libro X versa sobre la teoría de los números irracionales y es en esencia la obra de Teteto. Euclides modificó las pruebas de varios teoremas en este libro para que se ajustaran a la nueva definición de proporción dada por Eudoxo.
Los libros del XI al XIII tratan sobre geometría tridimensional. En el XIII se dan las definiciones básicas necesarias para los tres libros. Los teoremas siguen después un patrón bastante similar a sus análogos bidimensionales dados previamente en los libros I y IV. Los resultados principales del libro XII versan sobre que las áreas de los círculos son unas a otras, como los cuadrados de sus diámetros y sobre que los volúmenes de las esferas son unos a otros como los cubos de sus diámetros. Estos resultados son con certeza debidos a Eudoxo. Euclides prueba estos teoremas usando el “método exhaustivo” inventado por Eudoxo. Los Elementos terminan con el libro XIII que discute las propiedades de los cinco poliedros regulares y demuestra que son precisamente cinco. Este libro parece estar basado en gran parte en un tratado anterior de Teteto.
Los Elementos de Euclides son notables por la claridad con la que se formulan y demuestran los teoremas. El nivel de rigor fue visto como una meta por los creadores del cálculo muchos siglos después. Heath escribe en [9]:-
Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que en realidad son pocas tomando en cuenta la fecha de su aparición, es y seguirá siendo sin duda el máximo texto de matemáticas de todos los tiempos. ... Incluso en tiempos de los griegos los matemáticos más brillantes se ocuparon de él: Herón, Pappus, Porfirio, Proclo y Simplicio escribieron comentarios; Teón de Alejandría lo reeditó, alterando el lenguaje en algunas partes, en buena parte para hacerlo más claro y consistente...
Es una fascinante historia cómo los Elementos han sobrevivido desde la época de Euclides, como lo cuenta muy bien Fowler en [7]. Describe el material más antiguo relacionado con los Elementos que ha sobrevivido:-
Nuestro más antiguo vistazo al material euclidiano será durante mil años el más notable, seis ostraca fragmentarios que contienen texto y una figura... hallados en la Isla Elefantina en 1906/07 y 1907/08... Estos textos son antiguos, aunque más de 100 años posteriores a la muerte de Platón (están datados sobre bases paleográficas en el tercer cuarto del tercer siglo AC); avanzados (tratan resultados que se encuentran en los "Elementos" [libro XIII] ... sobre el pentágono, hexágono, decágono y el icosaedro);y no siguen el texto de los Elementos. ... Así que dan evidencia de alguien en el tercer siglo AC, localizado más de 800km al sur de Alejandría, que manejaba este difícil material...éste puede ser un intento de entender las matemática y no una mera copia...
El siguiente fragmento que tenemos data de 75 - 125 DC y de nuevo parece tratarse de notas de alguien intentando comprender el material de los Elementos.
Más de mil ediciones de Los Elementos han sido publicadas desde su primera impresión en 1482. Heath [9] discute muchas de las ediciones y describe los probables cambios al texto a través de los años.
B L van der Waerden estima la importancia de los Elementos en [2]:-
Casi desde que se escribieron y casi hasta la actualidad los Elementos han ejercido un influencia continua e intensa en los asuntos humanos. Ha sido la fuente primaria de razonamiento, teoremas y métodos geométricos, al menos hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana en el siglo diecinueve. A veces se dice que después de la Biblia, son quizás “Los Elementos” la obra más traducida, publicada y estudiada de todos los libros producidos en el mundo occidental.
Euclides también escribió los siguientes libros que han sobrevivido: Data (con 94 proposiciones), que trata las propiedades de las figuras que se deducen de otras propiedades dadas; Sobre Divisiones que trata las construcciones para dividir una figura en dos partes con proporción dada; Óptica que es la primera obra griega sobre perspectiva, y Fenómenos que es una introducción a astronomía matemática y da resultados sobre las horas a las que las estrellas en ciertas posiciones salen y se ponen. Los siguientes libros de Euclides se perdieron: Lugares geométricos de superficies (dos libros), Porismos (una obra de tres libros, que según Pappus, contenía 171 teoremas y 38 lemas), Cónicas (cuatro libros), El libro de las falacias y Elementos de la música. Proclo [1] describe El libro de las falacias:-
Ya que muchas cosas parecen ser conformes a la verdad y seguir de principios científicos, pero desvían de los principios y engañan a los más superficiales, [Euclides] también ha diseñado métodos para el claro entendimiento de estos temas ... El trabajo en el que nos legó esta maquinaria se titula Falacias, que enumera en orden los varios tipos, ejercitando nuestra inteligencia en cada caso por teoremas de toda suerte, poniendo lado a lado lo cierto con lo falso y combinando la refutación del error con ilustración práctica.
Los elementos la música es una obra atribuida a Euclides por Proclo. Tenemos dos tratados sobre música que han sobrevivido y que algunos autores han atribuido a Euclides, pero ahora se piensa que no son la obra sobre música a la que se refiere Proclo.
Puede ser que Euclides no haya sido un matemático de primera línea, pero la durabilidad de Los elementos lo convierte en el principal maestro de matemáticas de la antigüedad o quizás de todos los tiempos. Como nota personal final, déjenme añadir que mi [EFR] propia introducción a las matemáticas en la escuela en los cincuentas fue a través de una edición parcial de los Elementos de Euclides, y la obra proporcionó una base lógica para las matemáticas y el concepto de demostración que parece estar ausente de las matemáticas escolares hoy en día.
Euclides
Euclides nació alrededor del año 325 a.C. en Alejandría, Egipto. Fue uno de los más prominentes matemáticos de la Edad Antigua. Su vida se conoce muy poco. Enseñó matemáticas la mayor parte de su vida en Alejandría y fue en esta ciudad donde fundó su escuela. Al no conocerse mucho de su vida, ha habido diferentes opiniones acerca de él; autores árabes creen que era hijo de Náucrates y que nació en Tiro. Otros insisten en que Euclides no era más que un ser ficticio y que se le han atribuido muchos tratados que no le corresponden. En lo que concuerdan diferentes autores es que era un hombre justo y dispuesto a que las matemáticas avanzaran en cualquier circunstancia. Murió aproximadamente en el año 265 a.C. en Alejandría.
La formación de Euclides estuvo asociada a la Academia de Platón, y esto es un punto de referencia esencial para entender la naturaleza y los límites de su obra matemática.
Euclides, detalle pintura de Rafael.
Es interesante que tanto Euclides como Apolonio (todos los expertos consideran su trabajo fundamental en las Secciones Cónicas, esencialmente por su método, como parte del periodo clásico) serían considerados paradigmas de las matemáticas clásicas griegas, y sin embargo vivieran en la época cronológica alejandrina.
Esto de las relaciones genéticas y las influencias entre los diferentes intelectuales griegos es un asunto muy interesante. Thales fue maestro de Pitágoras. Existió una relación entre los pitagóricos y Zenón y Parménides. Los pitagóricos ejercieron la suya sobre Platón, que a su vez fue maestro de Aristóteles. Eudoxo fue influenciado por las ideas de Platón directamente en laAcademia. Euclides se educó en la Academia de Platón y varios discípulos de Euclides, luego, ejercieron su influencia sobre Apolonio.
Euclides.
Esto hace referencia a los métodos de la construcción del conocimiento, tanto de sus contenidos, como de su naturaleza y fronteras: hay lazos, puentes, conexiones como en toda actividad humana. No es un mundo abstracto absoluto infalible, impoluto, al que se llega por vías solo racionales, protagoniza y concurre lo social y lo histórico con todas sus poderosas propiedades.
La relación de Euclides con los platónicos ha sido firmemente establecida: en los Elementos, según Proclus, Euclides incluyó varios resultados de Eudoxo, así como de Teeteto, vinculados a la Academia.
Todos los escritos que tenemos de Euclides han tenido que ser reconstruidos a partir de recensiones, comentarios, críticas u observaciones de otros escritores.
Los Elementos
Euclides y los Elementos son referencias inseparables.
Bien dice Sarton: "Euclides es como Homero; así como todo el mundo conoce la Ilíada y la Odisea, del mismo modo todo el mundo conoce los Elementos. ¿Quién es Homero? El autor de laIlíada. ¿Y Euclides? El autor de los Elementos.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 29]. Es aquí donde Euclides plantea 5 postulados y cinco nociones comunes, estas últimas llamadas por Proclus axiomas.
Proclus llegó afirmar, esto es interesante, que todas las matemáticas son hipotéticas.
A lo largo de la historia, las matemáticas después de Euclides, tanto los postulados como las nociones comunes fueron considerados verdades infalibles. Esta escogencia de postulados es relevante:
"La parte más asombrosa del Libro I es la selección de postulados que hizo Euclides. Por supuesto, que el maestro de Euclides en esta materia fue Aristóteles; éste había prestado mucha atención a los principios matemáticos, demostrando cómo no se puede prescindir de los postulados y probando la necesidad de reducirlos a un mínimo; pero la selección de los postulados es obra de Euclides.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 33]
Es interesante que Euclides en este libro establece que la existencia de algunos de los conceptos a utilizar se garantiza por la posibilidad de construir rectas y círculos (regla y compás). Es decir, no hay identidad entre definición y existencia, hay que asegurar la existencia a través de un mecanismo: la construcción.
Los Elementos contiene trece libros o capítulos (aunque se le añadieron 2 libros más escritos por autores posteriores). Los primeros 6 son sobre geometría plana, los tres siguientes sobre teoría de números, el décimo sobre inconmensurables, y los tres últimos sobre geometría de sólidos.
Los Libros del I al IV consideran las propiedades de las figuras rectilíneas y los círculos.
El Libro I, por ejemplo, incluye teoremas sobre congruencia, rectas paralelas, el teorema de Pitágoras, construcciones elementales, figuras equivalentes y paralelogramos.
El libro empieza con 23 definiciones, dos de las cuales son:
- "un punto es lo que no tiene parte'',
- "una recta es una longitud sin anchura''.
Los postulados de Euclides también se encuentran en el Libro I. Se suele hacer una distinción entre postulados y nociones comunes o axiomas.
Postulados
Nociones comunes
- 4. Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
- 5. El todo es mayor que la parte.
Euclides sigue a Aristóteles: mientras que las nociones comunes se aplican a todas las ciencias, los postulados solo a la geometría.
Los dos primeros postulados son abstracciones derivadas de nuestra experiencia con una regla.
El tercer postulado se obtiene de nuestra experimentación con un compás.
El cuarto postulado es tal vez menos obvio y más abstracto, pero se deduce de nuestra experiencia midiendo ángulos con un transportador (donde la suma de ángulos suplementarios es 180, tal que ángulos suplementarios son congruentes entre sí).
La noción cuarta se refiere a la "superposición'' de figuras y es geométrica en su carácter; por eso debería Euclides haberla colocado más bien como un postulado.
En el Libro I de los Elementos de Euclides se consigna el Teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Esto se realiza con base en la siguiente figura.
Teorema de Pitágoras.La demostración del Teorema de Pitágoras que aparece en el Libro I de los Elementos de Euclides, muestra la igualdad entre las áreas sombreadas.
El Libro II es de álgebra geométrica.
El Libro III tiene 37 proposiciones, inicia con definiciones sobre círculos, luego cuerdas, tangentes, secantes, ángulos inscritos y centrales, y esos conceptos de la geometría básica que se enseña en escuelas y colegios. Con base en una traducción al español que ofreció la UNAM de México [Euclides: Elementos de Geometría III, IV y V], vamos a citar los principales resultados de los Libros III, IV y V.
El Libro III inicia con las siguientes definiciones:
D.III.2. Dícese que una recta es tangente al círculo, cuando toca el círculo y prolongada no lo corta.
D.III.9. Cuando las rectas que forman el ángulo cortan alguna periferia, dícese que el ángulo consiste en ella.
Y contiene, por ejemplo, los siguientes teoremas:
Teorema III.1
Encontrar el centro de un círculo dado.
Teorema III.2
La línea trazada entre dos puntos, tomados al acaso sobre la periferia del círculo, caerá dentro del círculo.
Teorema III.3
Si una recta por el centro del círculo divide a otra (que) no (pasa) por el centro en dos partes iguales, también la corta en ángulos rectos, y, si la corta en ángulos rectos, también la corta en dos partes iguales.
Teorema III.4
Si en un círculo se cortan dos rectas que no pasan por el centro, no se cortan en dos partes iguales.
Teorema III.5
Si dos círculos se cortan entre sí, no tienen el mismo centro.
El Libro IV tiene 16 proposiciones. Aquí hay figuras inscritas y circunscritas en círculos. Sus definiciones:
El Libro V está basado en el trabajo de Eudoxo, y se considera el principal resultado de la geometría euclidiana. Incluye la teoría de las proporciones con las razones inconmensurables, por supuesto, evitando los números irracionales. Mientras que los Libros del I al IV evitan las magnitudes inconmensurables, el Libro V las incluye a partir de la teoría de la magnitud atribuida aEudoxo.
Este libro comienza con las siguientes definiciones:
D.V.1. Entre dos magnitudes, la menor se llama parte (alícuota) de la mayor, cuando la mide (exactamente).
D.V.2. Una magnitud es múltipla de la menor cuando es medida por ella (exactamente).
D.V.3. Razón es cualquier relación entre dos magnitudes del mismo género según su cantidad.
D.V.4. Dícese que dos magnitudes tiene razón entre sí, cuando cada una puede ser multiplicada en modo de superar a la otra.
D.V.5. Dícese que la razón de una primera magnitud a una segunda es igual a la de una tercera a una cuarta, cuando las primeras y las terceras igualmente multiplicadas o al mismo tiempo superan, o al mismo tiempo son iguales o al mismo tiempo son inferiores que las segundas y cuartas igualmente multiplicadas.
D.V.6. Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcionales.
D.V.7. Cuando entre (cantidades) igualmente multiplicadas, el múltiplo de la primera supera al múltiplo de la segunda, pero el múltiplo de la tercera no supera al múltiplo de la cuarta, se dice que la primera tiene a la segunda una razón mayor que la tercera a la cuarta.
D.V.8. La proporción mínima es entre tres términos.
D.V.9. Cuando tres magnitudes son (continuamente) proporcionales, se dice que la primera con la tercera tiene una razón duplicada de la que tiene con la segunda.
D.V.10. Si cuatro magnitudes son (continuamente) proporcionales, se dice que la primera tiene a la cuarta una razón triplicada de la que tiene a la segunda, y siempre del mismo modo en adelante, cualquiera que sea la proporción.
D.V.11. Se llaman homólogos los antecedentes con los antecedentes y los consiguientes con los consiguientes.
D.V.12. La razón se llama conmutada cuando se toma el antecedente con el antecedente y el consiguiente con el consiguiente.
D.V.13. La razón se llama inversa cuando se toma el consiguiente en lugar del antecedente y el antecedente en lugar del consiguiente.
D.V.14. Componer la razón es tomar el antecedente junto con el consiguiente como una sola cosa para el mismo consiguiente.
D.V.15. Substraer la razón es tomar el exceso del antecedente sobre el consiguiente al mismo consiguiente.
D.V.16. Convertir la razón es tomar el antecedente con la diferencia que hay entre el antecedente y el consiguiente.
D.V.17. Dícese razón igual cuando, dado un número cualquiera de magnitudes, de tal manera que de dos en dos sean respectivamente proporcionales a otras magnitudes, en las primeras magnitudes la primera es a la última como también en las segundas la primera es a la última; o, de otra manera, cuando se consideran los términos exteriores sin considerar los medios.
D.V.18. Razón perturbada se llama cuando, dadas tres magnitudes y otras tres, en las primeras magnitudes el antecedente está al consiguiente como en las segundas el antecedente está al consiguiente, y como en las primeras el consiguiente es a otra cosa en las segundas otra cosa es al antecedente.
Sus teoremas son relevantes, los citamos todos al final de este capítulo, para beneficio del lector. Aquí mencionamos los dos primeros.
Teorema V1
Dado un número cualquiera de magnitudes, que sean respectivamente equimúltiplos de otras magnitudes cualquiera, cuantas veces es múltiplo una magnitud de otra, otras tantas lo serán todas de todas las otras.
Teorema V2
Si una primera magnitud es múltiplo de una segunda el mismo número de veces que una tercera es múltiplo de una cuarta y una quinta es múltiplo de la segunda el mismo número de veces que una sexta es múltiplo de la cuarta, entonces también la primera y la quinta juntas serán múltiplos de la segunda el mismo número de veces que la tercera y la sexta lo son de la cuarta.
Algunos se han preguntado si esta teoría de las magnitudes y proporciones era suficiente para sostener lógicamente una teoría de los números reales, a pesar de que la mayor parte de matemáticos a lo largo de la historia de las matemáticas sólo la concibió como un fundamento para la geometría. La opinión más generalizada es negativa y tiende a subrayar que el Libro V y su teoría de las proporciones no podía servir como sustento más allá de la geometría.
Los Libros VII, VIII, y IX, tratan de la teoría de números o, mejor dicho, acerca de las propiedades de los números enteros y de las razones de números enteros. Sólo estos libros de losElementos tratan la aritmética. Si bien Euclides usa segmentos de recta para representar números y rectángulos para el producto de los números, sus resultados no dependen enteramente de la geometría.
Euclides.
En ningún momento hay rastro en esta obra, debe decirse, de simbolismo.
El Libro X de los Elementos trata de clasificar diferentes tipos de números irracionales, o sea magnitudes inconmensurables. Los Libros X, XI, y XIII tratan de la geometría sólida y del método de exhausción. Este último libro contiene 18 teoremas sobre áreas y volúmenes, en especial de figuras curvilíneas o acotadas por superficies. Sobre el Libro X, nos comenta Sarton:
"Los algebristas babilónicos no conocían las cantidades irracionales, en tanto que el Libro X de los Elementos (el más extenso de los trece, todavía más que el Libro I) está dedicado exclusivamente a ellas. En este caso, una vez más, Euclides edificó sus teorías sobre cimientos más antiguos, pero éstos, ahora, fueron únicamente griegos. Podemos creer el relato que atribuye a los primitivos pitagóricos el conocimiento de las cantidades irracionales y el amigo de Platón, Teeteto (IV-1 a.C.), formuló una amplia teoría de ellas, así como de los cinco sólidos regulares. Nada prueba mejor el genio matemático griego (opuesto al babilónico) que la teoría de las irracionales tal como fue expuesta por Hipaso de Metaponto, Teodoro de Cirene, Teeteto de Atenas y, finalmente, por Euclides. Es imposible decir con exactitud qué parte del Libro X se debe a Teeteto y cuál a Euclides.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna,p. 39]
La idea básica del método de exhausción es, por ejemplo, para probar relaciones entre áreas de círculos, inscribir polígonos regulares en los círculos y utilizar las propiedades o verdades de los polígonos para demostrar las de los círculos. Se trata de inscribir sucesivamente polígonos con un mayor número de lados, de tal manera que se aproxime mejor el área de los círculos.
El término "exhausción'' fue consignado hasta el siglo XVII.
Un asunto muy importante es que este método da la impresión de un acercamiento casi completo al concepto de límite, como un método de aproximación. La realidad es que no es así. En todas estas pruebas, al final, en algún momento de los procedimientos usados para la demostración, todo descansa en el método indirecto, sin utilizar elemento alguno en la dirección del concepto de límite.
Es curioso que, desde el punto de vista de la deducción lógica, el trabajo de Euclides en torno a las áreas y volúmenes es más riguroso que el de Newton y Leibniz (más bien basado en el álgebra y los sistemas numéricos que en la deducción geométrica).
Los Elementos de Euclides contienen 467 proposiciones. Los Libros XIV y XV tratan de sólidos regulares, pero no fueron escritos por Euclides. El XV es poco claro e impreciso, el XIV se supone escrito por Hipsicles (c. 150 a.C.) y algunas de sus partes escritas en el siglo VI d.C.
En general, se sabe que la presentación de las proposiciones en los Elementos no es original de Euclides, pero la forma de presentación de toda la obra aparentemente sí es original (axiomas, definiciones explícitas, cadena de teoremas y la estructura lógica de lo simple a lo complejo en los teoremas). Hay, además, una selección, un escogimiento deliberado, de los teoremas.
Nadie puede negar el magistral trabajo de ordenamiento, sistematización, organización lógica, que aparece en los Elementos de Euclides. Hay un orden lógico decisivo: "Este orden es lo que constituye la esencia y la grandeza de los Elementos, pero los sabios medievales no vieron esto, o al menos no lo vieron hasta que los comentaristas musulmanes les abrieron los ojos.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 43]
Sin embargo, este modelo de rigor que fue asumido como paradigma durante toda la historia de las matemáticas, poseía algunos problemas que son importantes de mencionar. Por ejemplo, según señalan algunos historiadores, el uso de la superposición, así como las explicaciones en busca de significados en las definiciones iniciales de punto, línea y superficies (las que son innecesarias puesto que, en esencia, se trata de términos indefinidos).
Debe mencionarse que, a pesar de la organización lógica y comprensiva de los contenidos de los Elementos, estos 13 libros no forman una unidad, más bien se trata de una compilación de libros previos. De hecho, hay resultados que se repiten en varios libros. Algunos historiadores consideran que los Libros X, XI y XII fueron escritos más bien por Teeteto.
Aunque a veces no se conoce el hecho, Euclides escribió otros libros además de los Elementos: la Óptica, la Catóptrica, los Datos, Pseudaria, Sobre las divisiones, Porismas, los Fenómenosy Superficies-Lugares.
¿Cómo valorar la obra de Euclides? Sarton nos ofrece un juicio bastante equilibrado:
"Si tuviéramos en cuenta, como deberíamos, la obra de los egipcios y de los babilonios, veríamos que los Elementos de Euclides representan la culminación de un esfuerzo de más de mil años. Se podría objetar que Euclides merece ser llamado el padre de la geometría por otra razón. Aun concediendo que se hicieron muchos descubrimientos antes que él, Euclides fue el primero que reunió en una síntesis todos los conocimientos alcanzados por los demás y por él mismo, y que puso a todas las proposiciones conocidas en un sólido orden lógico. Esta afirmación no es enteramente verdadera. Algunas de esas proposiciones habían sido demostradas antes de Euclides y se habían establecido ya series de ellas. Además, Hipócrates de Quío (V-1 a.C.) León (IV-1 a.C.) y Teudio de Magnesia (IV-2 a.C.) habían escrito 'Elementos' antes que Euclides. El tratado de Teudio, que Euclides conocía muy bien, había sido preparado para la Academia y es posible que en el Liceo estuviese en uso uno semejante. Sea como fuere, Aristóteles conocía la teoría de las proporciones de Eudoxo y el método exhaustivo, que luego Euclides amplió en los Libros V, VI y XII de los Elementos. En resumen, bien consideremos los teoremas particulares, o los métodos, o el orden de los Elementos, Euclides rara vez fue un completo innovador; hizo mucho mejor y en mayor escala lo que otros geómetras habían hecho antes que él.''
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