Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Composición de movimientos

Se propone al lector la resolución de  ejercicios que ponen de manifiesto que el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

• Un movimiento uniforme a largo del eje horizontal X
• Un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.

Un blanco en caída libre

Una botella se deja caer desde el reposo en el instante en que una piedra es lanzada desde el origen.

Determinar los valores del ángulo y de la velocidad de disparo para que la piedra rompa la botella. (Tómese g=9.8 m/s²)

Si la altura de la botella es cero. Es decir, la piedra y la botella están a la misma altura en el instante inicial. ¿Cuál será el ángulo de tiro?. Contestar a esta pregunta sin resolver numéricamente el problema

El movimiento curvilíneo de la piedra se realiza bajo la aceleración constante de la gravedad, es decir, es la composición de dos movimientos

• Uniforme a lo largo del eje horizontal
  a_x=0
  v_x=v_0·cosθ
  x=v₀·cosθ·t

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical.
  a_y=-g
  v_y=v_0·sinθ-g·t
  y=v₀·sinθ·t-gt²/2

La botella se mueve verticalmente bajo la aceleración constante de la gravedad

a=-g
v=-g·t
y=y₀-gt²/2

Cuando se produce el choque, la posición de la piedra y de la botella coinciden

x0=v0cosθ ty0−12gt2=v0sinθ t−12gt2${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_0=v_0\cos \theta t\\ y_0-\frac{1}{2}g{t}^2=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Dividimos la segunda ecuación entre la primera.

tanθ=y0x0${\displaystyle \tan \theta =\frac{y_0}{x_0}}$

Para romper la botella debemos de apuntarla directamente y en el instante en el que se deja caer, se debe lanzar la piedra.

Ejemplo:

• Posición de la botella x₀=50 m e y₀=30 m
• Velocidad de disparo  v₀=20 m/s

El ángulo con el que tenemos que lanzar la piedra es tanθ=30/50, θ=31º

El impacto tiene lugar en la posición x= 50 m y en el instante

20·cos31º·t=50, donde t=2.92 s

En este tiempo la botella se encuentra en

y=y₀-gt²/2, es decir, y=30-9.8·2.92²/2=-11.65 m

Si la velocidad de disparo fuese de v₀=40 m/s, el impacto se produciría cuando la botella se encontrase en y=19.2 m sobre el suelo.

Apuntar un cañón para dar en el blanco.

En este programa se va a resolver un problema típico de balística: dadas las coordenadas del blanco y la velocidad de disparo, determinar el ángulo de tiro.

En el programa interactivo, al pulsar sobre el botón Nuevo aparece un terreno cuyo perfil está trazado por una función cuyos coeficientes son números aleatorios. Sobre dicho terreno se sitúa el blanco también de forma aleatoria.

Antes de proceder a resolver numéricamente el problema, se usará el programa como un juego: dar en el blanco en el menor número de intentos posibles. Esto constituye una primera aproximación a la resolución del problema, ya que nos proporciona un conocimiento intuitivo de la situación física,  permitiéndonos determinar el ángulo aproximado de tiro que acierta en el blanco. Además, se comprobará que existen dos posibles soluciones, dos ángulos de tiro que dan en el blanco. A veces, por el perfil del terreno, sólo es posible el ángulo que corresponde a la trayectoria más alta.

Descripción

El movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos, uniforme a lo largo del eje X, y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la velocidad de disparo v₀, se despejará el ángulo de tiro θ.

Las componentes de la velocidad inicial son

v0x=v0cosθv0y=v0sinθ${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=v_0\cos \theta \\ v_{0y}=v_0\sin \theta \end{array}}$

Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

x=v0cosθ ty=y0+v0sinθ t−12gt2${\displaystyle \begin{array}{l}x=v_0\cos \theta t\\ y=y_0+v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y θ. Eliminando t, y empleando la relación trigonométrica

1cos2θ=1+tan2θ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }=1+{\tan }^2\theta }$

nos queda una ecuación de segundo grado en tanθ  

(gx22v20)tan2θ−xtanθ+(gx22v20+y)=0${\displaystyle \left(\frac{g{x}^2}{2v_0^2}\right){\tan }^2\theta -x\tan \theta +\left(\frac{g{x}^2}{2v_0^2}+y\right)=0}$

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por tanto, dos ángulos de tiro dan en el blanco

Ejemplo

El applet nos proporciona los datos de la posición del blanco y la velocidad de disparo.

• Posición del blanco x=159.7, y=151.7 m
• Velocidad de disparo v₀=89.9 m/s

Con estos datos, la ecuación de segundo grado se escribe

13.46 tan²θ -159.7 tanθ +167.16=0

Las soluciones son

tanθ =9.15, θ =83.8º
tanθ =1.18, θ =49.8º

Introduciendo estos valores en el control de edición titulado ángulo de tiro daremos en el blanco.

Bombardear un blanco móvil desde un avión.

El objetivo del programa es el de bombardear un blanco desde un avión en vuelo horizontal a velocidad constante.

La intuición juega un papel importante en la búsqueda de la solución de este problema. Algunos estudiantes, sitúan el avión justo encima del blanco en el momento en el que dejan caer la bomba. Tras el primer error, se dan cuenta que la bomba se ha de dejar caer cuando el avión está a una determinada distancia del blanco, que dependerá de la velocidad del avión y también, de su altura sobre el blanco.

Para complicar el juego, en vez de un blanco fijo se ha puesto un blanco móvil, de manera que se combine el tiro parabólico y el movimiento relativo.

Una vez probado el programa como juego, se ha de intentar resolver el problema, es decir, se ha de hallar la posición del avión en el momento del disparo. Se proporcionan los datos de: altura y velocidad del avión, posición inicial del blanco y su velocidad.

Descripción

Cuando el avión deja caer la bomba, esta sale con la misma velocidad horizontal que el avión, de modo que las componentes de su velocidad inicial son v_0x=v₀ yv_0y=0

Conocida la altura a la que vuela el avión y su velocidad mediante las ecuaciones del tiro parabólico se puede hallar fácilmente el alcance horizontal de la bomba, es decir, la distancia desde el punto en que la dejó caer el piloto y el impacto sobre el suelo

La composición de movimientos nos indica que mientras la bomba cae, se desplaza horizontalmente una distancia igual al producto de la velocidad del avión por el tiempo que tarda en caer. Como podemos observar, el avión y la bomba están siempre en la misma vertical.

¿Cómo cambia el resultado si el blanco se mueve con velocidad constante en la misma dirección que el avión?. En la figura tenemos el esquema.

Sea x_a la posición del avión y sea x_b la posición del móvil en el momento en el que el piloto suelta la bomba. Para destruirlo, la distancia entre el avión y el blanco deberá ser

x_a+v_at=x_b+v_bt

tal como se ve en la figura. Donde t es el tiempo que tarda la bomba en descender la altura h

h=gt²/2

La bomba se suelta en el instante t'.  Las posiciones del aviónx_a y del blanco x_b en dicho instante serán respectivamente,

x_a=v_at'
x_b=x_0b+v_bt' 

A partir de estas relaciones, obtenemos la posición del avión x_a en el momento en el que tiene que soltar la bomba para acertar en el blanco, conocidos los datos de la altura h,  velocidad del avión v_a, la posición inicial del blanco x_0b  y su velocidad v_b. 

xa=vax0b−(va−vb)tva−vb  t=2hg−−−√${\displaystyle x_a=v_a\frac{x_{0b}-(v_a-v_b)t}{v_a-v_b}t=\sqrt{\frac{2h}{g}}}$

Ejemplo:

El blanco parte de la posición x_0b=542.5 m

y su velocidad es v_b=17.4 m/s

El avión sale del origen, su altura h=191.3 m y velocidad v_a=89.4 m/s se mantienen constantes

Se pulsa el botón que deja caer la bomba, que tarda en llegar al suelo un tiempo

t=2hg−−−√  t=2⋅191.39.8−−−−−−−√ s${\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{g}}t=\sqrt{\frac{2·191.3}{9.8}}\text{s}}$

La posición del avión en el momento en el que suelta la bomba para acertar en el blanco deberá ser

xa=vax0b−(va−vb)tva−vb  xa=89.4542.5−(89.4−17.4)6.2589.4−17.4=115.0 m