Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Alcance máximo en un plano inclinado

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil cuando el blanco está sobre un plano inclinado, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Alcance

Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un  plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

v_x=v₀·cosθ
v_y=v₀·sinθ-g·t

La posición en función del tiempo es

x= v₀·cosθ·t
y= v₀·sinθ·t-g·t²/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelot, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

T=2v0g(tanθ−tanα)cosθ${\displaystyle T=\frac{2v_0}{g}(\tan \theta -\tan \alpha )\cos \theta }$

El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es

R=xcosα=2v20g(tanθ−tanα)cos2θcosα=2v20gsin(θ−α)cosθcos2α${\displaystyle R=\frac{x}{\cos \alpha }=\frac{2v_0^2}{g}\frac{(\tan \theta -\tan \alpha ){\cos }^2\theta }{\cos \alpha }=\frac{2v_0^2}{g}\text{sin}(\theta -\alpha )\frac{\cos \theta }{{\cos }^2\alpha }}$

Cambio de Sistema de Referencia

Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v₀ se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

x=v₀·cos(θ-α)·t-g·sinα·t²/2
y=v₀·sin(θ-α)·t-g·cosα·t²/2

El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.

T=2v0sin(θ−α)g⋅cosα${\displaystyle T=\frac{2v_0\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·\cos \alpha }}$

Sustituimos el valor de t en la primera ecuación

R=2v20sin(θ−α)g⋅cos2α(cos(θ−α)⋅cosα−sin(θ−α)⋅sinα)=2v20sin(θ−α)g⋅cos2αcosθ${\displaystyle R=\frac{2v_0^2\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·{\cos }^2\alpha }\left(\cos (\theta -\alpha )·\cos \alpha -\text{sin}(\theta -\alpha )·\text{sin}\alpha \right)=\frac{2v_0^2\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·{\cos }^2\alpha }\cos \theta }$

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para θ>α

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θ_m para el cual el alcance es máximo.

dRdθ=2v20gcos2αcos(2θ−α)=0${\displaystyle \frac{dR}{d\theta }=\frac{2v_0^2}{g{\cos }^2\alpha }\cos (2\theta -\alpha )=0}$

El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale

θm=π4+α2${\displaystyle {\theta }_m=\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}}$

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θ_m, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos²θ=1+tan²θ)

y=xtanθ−gx22v20(1+tan2θ)${\displaystyle y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2}(1+{\tan }^2\theta )}$

Las coordenadas x₀ e y₀ del punto de impacto están relacionadas y₀=x₀·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.

gx202v20tan2θ−x0⋅tanθ+x0tanα+gx202v20=0${\displaystyle \frac{g{x}_0^2}{2v_0^2}{\tan }^2\theta -x_0·\tan \theta +x_0\tan \alpha +\frac{g{x}_0^2}{2v_0^2}=0}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado son

tanθ=v20gx0(1±1−2gx0v20tanα−g2x20v40−−−−−−−−−−−−−−−−−−√)${\displaystyle \tan \theta =\frac{v_0^2}{g{x}_0}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2g{x}_0}{v_0^2}\tan \alpha -\frac{g^2{x}_0^2}{v_0^4}}\right)}$

Tenemos dos ángulos de tiro θ₁ y el ángulo θ₂ que dan lugar al mismo alcance Rm

, tal como apreciamos en la figura.

Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0

x1+x2=−ba  x1⋅x2=ca${\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}{x}_1·x_2=\frac{c}{a}}$

tanθ1+tanθ2=2v20gx0  tanθ1⋅tanθ2=1+2v20gx0tanα${\displaystyle \tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2=\frac{2v_0^2}{g{x}_0}\tan {\theta }_1·\tan {\theta }_2=1+\frac{2v_0^2}{g{x}_0}\tan \alpha }$

Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ₁ y el ángulo θ₂.

tanθ1⋅tanθ2=1+(tanθ1+tanθ2)tanα−cos(θ1+θ2)=sin(θ1+θ2)⋅tanα−1tan(θ1+θ2)=tanα  θ1+θ2=α+π2${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\theta }_1·\tan {\theta }_2=1+(\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2)\tan \alpha \\ -\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=\text{sin}({\theta }_1+{\theta }_2)·\tan \alpha \\ -\frac{1}{\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)}=\tan \alpha {\theta }_1+{\theta }_2=\alpha +\frac{\pi }{2}\end{array}}$

Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ₁ y θ₂ se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θ_m=θ₁=θ₂.

2θm=α+π2${\displaystyle 2{\theta }_m=\alpha +\frac{\pi }{2}}$

Sustituyendo θ_m por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página

Rm=2v20gsin(π/4−α/2)cos(π/4+α/2)cos2α=v20g11+sinα${\displaystyle R_m=\frac{2v_0^2}{g}\frac{\text{sin}\left(\pi /4-\alpha /2\right)\cos \left(\pi /4+\alpha /2\right)}{{\cos }^2\alpha }=\frac{v_0^2}{g}\frac{1}{1+\text{sin}\alpha }}$

Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,

tanθm=v20gx0=v20gRmcosα${\displaystyle \tan {\theta }_m=\frac{v_0^2}{g{x}_0}=\frac{v_0^2}{g{R}_m\cos \alpha }}$

Despejamos R_m y sustituimos θ_m por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para R_m.

El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θ_m vale

Tm=2v0g(sin(π4+α2)−cos(π4+α2)tanα)=2√v0g((cosα2+sinα2)−(cosα2−sinα2)2sin(α/2)cos(α/2)cos2(α/2)−sin2(α/2))${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_m=\frac{2v_0}{g}\left(\text{sin}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)\tan \alpha \right)=\\ \frac{\sqrt{2}{v}_0}{g}\left(\left(\cos \frac{\alpha }{2}+\text{sin}\frac{\alpha }{2}\right)-\left(\cos \frac{\alpha }{2}-\text{sin}\frac{\alpha }{2}\right)\frac{2\text{sin}(\alpha /2)\cos (\alpha /2)}{{\cos }^2(\alpha /2)-{\text{sin}}^2(\alpha /2)}\right)\end{array}}$

Simplificamos esta expresión hasta llegar a

Tm=2√v0g1cos(α/2)+sin(α/2)${\displaystyle T_m=\frac{\sqrt{2}{v}_0}{g}\frac{1}{\cos (\alpha /2)+\text{sin}(\alpha /2)}}$

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es

tanϕ=vyvx=v0sinθ−gTv0cosθ=v0sinθ−2v0(tanθ−tanα)cosθv0cosθ=2tanα−tanθ${\displaystyle \tan \varphi =\frac{v_y}{v_x}=\frac{v_0\sin \theta -gT}{v_0\cos \theta }=\frac{v_0\sin \theta -2v_0(\tan \theta -\tan \alpha )\cos \theta }{v_0\cos \theta }=2\tan \alpha -\tan \theta }$

Para el ángulo de disparo θ_m=π/4+α/2

tanϕm=4sin(α/2)cos(α/2)cos2(α/2)−sin2(α/2)−sin(π/4+α/2)cos(π/4+α/2)=−cos(α/2)−sin(π/4)cos(α/2)+sin(π/4)=−cos(π/4+α/2)sin(π/4+α/2)=−1tanθmtanϕm=−1tanθm  θm=ϕm+π2${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\varphi }_m=\frac{4\sin (\alpha /2)\cos (\alpha /2)}{{\cos }^2(\alpha /2)-{\sin }^2(\alpha /2)}-\frac{\sin (\pi /4+\alpha /2)}{\cos (\pi /4+\alpha /2)}=-\frac{\cos (\alpha /2)-\sin (\pi /4)}{\cos (\alpha /2)+\sin (\pi /4)}=\\ -\frac{\cos (\pi /4+\alpha /2)}{\sin (\pi /4+\alpha /2)}=-\frac{1}{\tan {\theta }_m}\\ \tan {\varphi }_m=-\frac{1}{\tan {\theta }_m}{\theta }_m={\varphi }_m+\frac{\pi }{2}\end{array}}$

El vector velocidad inicial v₀ y el vector velocidad final v_f son perpendiculares.

Ejemplo

• La velocidad de disparo v₀=60 m/s
• La pendiente del plano inclinado α=20º
• El ángulo de disparo θ₁=60º

El alcance vale

R=2⋅6029.8sin(60−20)cos60cos220=267.4   m${\displaystyle R=\frac{2·{60}^2}{9.8}\text{sin}(60-20)\frac{\cos 60}{{\cos }^{2}20}=267.4\text{m}}$

El tiempo de vuelo vale

T=2⋅609.8(tan60−tan20)cos60=8.38   s${\displaystyle T=\frac{2·60}{9.8}(\tan 60-\tan 20)\cos 60=8.38\text{s}}$

• El ángulo de disparo θ₁=50º

El alcance vale

R=2⋅6029.8sin(50−20)cos50cos220=267.4   m${\displaystyle R=\frac{2·{60}^2}{9.8}\text{sin}(50-20)\frac{\cos 50}{{\cos }^{2}20}=267.4\text{m}}$

El tiempo de vuelo vale

T=2⋅609.8(tan50−tan20)cos50=6.52   s${\displaystyle T=\frac{2·60}{9.8}(\tan 50-\tan 20)\cos 50=6.52\text{s}}$

• El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es

θm=20º2+45º=55º${\displaystyle {\theta }_m=\frac{20º}{2}+45º=55º}$

El alcance para este ángulo vale

Rm=6029.811+sin20=273.7   m${\displaystyle R_m=\frac{{60}^2}{9.8}\frac{1}{1+\text{sin20}}=273.7\text{m}}$

El tiempo de vuelo es

Tm=2√609.81cos(10)+sin(10)=7.47   s${\displaystyle T_m=\frac{\sqrt{2}60}{9.8}\frac{1}{\cos (10)+\text{sin}(10)}=7.47\text{s}}$

• Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.

Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<R_m, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

x₀=R·cosα, x₀=200·cos20º=187.9 m

tanθ=6029.8⋅187.9(1±1−2⋅9.8⋅187.9602tan20−9.82187.92604−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√)${\displaystyle \tan \theta =\frac{{60}^2}{9.8·187.9}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2·9.8·187.9}{{60}^2}\tan 20-\frac{{9.8}^2{187.9}^2}{{60}^4}}\right)}$

θ₁=37.7º, θ₂=72.3º,  Como vemos θ₁+θ₂=90+20=110º, y θ₁<θ_m<θ₂

Otros máximos en el tiro parabólico

En esta página, vamos a estudiar otras propiedades de la trayectoria parabólica que describe un proyectil disparado desde el origen con velocidad v₀ haciendo un ángulo θ con la horizontal.

• La longitud de la trayectoria
• El área que encierra la trayectoria y el eje horizontal
• La distancia entre le origen y la posición del proyectil en el instante t.

Ecuación de la trayectoria

Se dispara un proyectil con velocidad v₀ haciendo un ángulo θ con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son

 

{ax=0ay=−g  {vx=v0cosθvy=v0sinθ−gt  {x=v0cosθ ty=v0sinθ t−12gt2${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cos \theta \\ v_y=v_0\text{sin}\theta -gt\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cos \theta t\\ y=v_0\text{sin}\theta t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria

y=xtanθ−12gv20cos2θx2${\displaystyle y=x\tan \theta -\frac{1}{2}\frac{g}{v_0^2{\cos }^2\theta }{x}^2}$

Alcance

La abscisa R del punto de impacto, denominada alcance se obtiene poniendo  y=0 en la ecuación de la trayectoria

R=2v20sinθcosθg=v20sin(2θ)g${\displaystyle R=\frac{2v_0^2\text{sin}\theta \cos \theta }{g}=\frac{v_0^2\text{sin(2}\theta )}{g}}$

El máximo valor de R se obtiene para θ=45º

Tiempo de vuelo

Poniendo y=0, y despejando t, tenemos dos soluciones t=0, que corresponde al disparo del proyectil y

T=2v0sinθg${\displaystyle T=\frac{2v_0\text{sin}\theta }{g}}$

El valor máximo de T se obtiene para θ=90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje Y.