sábado, 30 de abril de 2016

Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Alcance máximo en un plano inclinado

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.
En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil cuando el blanco está sobre un plano inclinado, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.
Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Alcance

Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un  plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθ
vy=v0·
sinθ-g·t
La posición en función del tiempo es
x= v0·cosθ·t
y= v0·
sinθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición y del proyectil.
Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelot, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
T=2v0g(tanθtanα)cosθ
El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es
R=xcosα=2v02g(tanθtanα)cos2θcosα=2v02gsin(θα)cosθcos2α
Cambio de Sistema de Referencia
Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.
La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v0 se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son
x=v0·cos(θ-α)·t-g·sinα·t2/2
y=v0
·sin(θ-α)·t-g·cosα·t2/2
El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.
T=2v0sin(θα)g·cosα
Sustituimos el valor de t en la primera ecuación
R=2v02sin(θα)g·cos2α(cos(θα)·cosαsin(θα)·sinα)=2v02sin(θα)g·cos2αcosθ
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para θ>α

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.
dRdθ=2v02gcos2αcos(2θα)=0
El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale
θm=π4+α2
El alcance máximo sin cálculo de derivadas
Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:
Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)
y=xtanθgx22v02(1+tan2θ)
Las coordenadas x0 e y0 del punto de impacto están relacionadas y0=x0·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.
gx022v02tan2θx0·tanθ+x0tanα+gx022v02=0
Las raíces de la ecuación de segundo grado son
tanθ=v02gx0(1±12gx0v02tanαg2x02v04)
Tenemos dos ángulos de tiro θ1 y el ángulo θ2 que dan lugar al mismo alcance Rm
, tal como apreciamos en la figura.
Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0
x1+x2=bax1·x2=ca
tanθ1+tanθ2=2v02gx0tanθ1·tanθ2=1+2v02gx0tanα
Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ1 y el ángulo θ2.
tanθ1·tanθ2=1+(tanθ1+tanθ2)tanαcos(θ1+θ2)=sin(θ1+θ2)·tanα1tan(θ1+θ2)=tanαθ1+θ2=α+π2
Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ1 y θ2 se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θm=θ1=θ2.
2θm=α+π2
Sustituyendo θm por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página
Rm=2v02gsin(π/4α/2)cos(π/4+α/2)cos2α=v02g11+sinα
Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,
tanθm=v02gx0=v02gRmcosα
Despejamos Ry sustituimos θm por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para Rm.
El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θm vale
Tm=2v0g(sin(π4+α2)cos(π4+α2)tanα)=2v0g((cosα2+sinα2)(cosα2sinα2)2sin(α/2)cos(α/2)cos2(α/2)sin2(α/2))
Simplificamos esta expresión hasta llegar a
Tm=2v0g1cos(α/2)+sin(α/2)

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es
tanϕ=vyvx=v0sinθgTv0cosθ=v0sinθ2v0(tanθtanα)cosθv0cosθ=2tanαtanθ
Para el ángulo de disparo θm=π/4+α/2
tanϕm=4sin(α/2)cos(α/2)cos2(α/2)sin2(α/2)sin(π/4+α/2)cos(π/4+α/2)=cos(α/2)sin(π/4)cos(α/2)+sin(π/4)=cos(π/4+α/2)sin(π/4+α/2)=1tanθmtanϕm=1tanθmθm=ϕm+π2
El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares.

Ejemplo

  • La velocidad de disparo v0=60 m/s
  • La pendiente del plano inclinado α=20º
  • El ángulo de disparo θ1=60º
El alcance vale
R=2·6029.8sin(6020)cos60cos220=267.4   m
El tiempo de vuelo vale
T=2·609.8(tan60tan20)cos60=8.38   s
  • El ángulo de disparo θ1=50º
El alcance vale
R=2·6029.8sin(5020)cos50cos220=267.4   m
El tiempo de vuelo vale
T=2·609.8(tan50tan20)cos50=6.52   s
  • El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es
θm=20º2+45º=55º
El alcance para este ángulo vale
Rm=6029.811+sin20=273.7   m
El tiempo de vuelo es
Tm=2609.81cos(10)+sin(10)=7.47   s
  • Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.
Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ
x0=R·cosαx0=200·cos20º=187.9 m
tanθ=6029.8·187.9(1±12·9.8·187.9602tan209.82187.92604)
θ1=37.7º, θ2=72.3º,  Como vemos θ12=90+20=110º, y θ1m2




Otros máximos en el tiro parabólico

En esta página, vamos a estudiar otras propiedades de la trayectoria parabólica que describe un proyectil disparado desde el origen con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal.
  • La longitud de la trayectoria
  • El área que encierra la trayectoria y el eje horizontal
  • La distancia entre le origen y la posición del proyectil en el instante t.

Ecuación de la trayectoria

Se dispara un proyectil con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son
 
{ax=0ay=g{vx=v0cosθvy=v0sinθgt{x=v0cosθty=v0sinθt12gt2
Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria
y=xtanθ12gv02cos2θx2

Alcance

La abscisa R del punto de impacto, denominada alcance se obtiene poniendo  y=0 en la ecuación de la trayectoria
R=2v02sinθcosθg=v02sin(2θ)g
El máximo valor de R se obtiene para θ=45º

Tiempo de vuelo

Poniendo y=0, y despejando t, tenemos dos soluciones t=0, que corresponde al disparo del proyectil y
T=2v0sinθg
El valor máximo de T se obtiene para θ=90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje Y.





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