Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Movimiento curvilíneo

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY. Situamos un origen y unos ejes y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado Δr=r’-r en el intervalo de tiempo Δt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Δr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Δt.

<v>=r'−rt'−t=ΔrΔt${\displaystyle <v>=\frac{r\text{'}-r}{t\text{'}-t}=\frac{\Delta r}{\Delta t}}$

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P₁cuando se calcula la velocidad media <v₁> entre los instantes ty t₁.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

v=limΔ t→0ΔrΔt=drdt${\displaystyle v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{dr}{dt}}$

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P₁, P₂....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidadv cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

 

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Δv=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Δv y el intervalo de tiempoΔt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

<a>=v'−vt'−t=ΔvΔt${\displaystyle <a>=\frac{v\text{'}-v}{t\text{'}-t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}}$

Y la aceleración a en un instante

a=limΔ t→0ΔvΔt=dvdt${\displaystyle a=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}}$

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

x=x(t)  vx=dxdt  ax=dvxdty=y(t)  vy=dydt  ay=dvydt${\displaystyle \begin{array}{l}x=x(t)v_x=\frac{dx}{dt}{a}_x=\frac{d{v}_x}{dt}\\ y=y(t)v_y=\frac{dy}{dt}{a}_y=\frac{d{v}_y}{dt}\end{array}}$

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Ejemplo 1:

Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t³-3t², y=t²-2t+1 m. Calcular:

• Las componentes de la velocidad en cualquier instante.

v_x=dx/dt=6t²-6t  m/s
v_y=dy/dt=2t-2 m/s

• Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

a_x=dv_x/dt=12t-6 m/s²
a_y=dv_y/dt=2 m/s²

Ejemplo 2:

Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: v_x=4t³+4t, v_y=4t m/s. Si en el instante inicial t₀=0 s, el móvil se encontraba en la posición x₀=1, y₀=2 m. Calcular:

• Las componentes de la aceleración en cualquier instante

ax=dvxdt=12t2+4 m/s2ay=dvydt=4 m/s2${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_x=\frac{d{v}_x}{dt}=12t^2+4{\text{m/s}}^{\text{2}}\\ a_y=\frac{d{v}_y}{dt}=4{\text{m/s}}^{\text{2}}\end{array}}$

• Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.

Dada la velocidad v_x=4t³+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

[Math Processing Error]

Dada la velocidad v_y=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

[Math Processing Error]

Ejemplo 3:

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s²Calcular:

1. La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
2. La altura máxima
3. Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

• Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba.
• Se determinan los signos de las velocidades iniciales v_0x=0 y v_0y=20 y de la aceleración a_y=-10.
• Se escriben las ecuaciones del movimiento:

1. Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X

a_x=2   
v_x=2t
x=2t²/2

2. Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos)
   a_y=-10
   v_y=20+(-10)t
   y=20t+(-10)t²/2

• El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se obtiene el valor de t y luego el valor de x.
  y=-50 m
  t=1.74 s
  x=3.03 m

• La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero
  v_y=0 m/s
  t=2 s
  y=20 m
  La altura desde el suelo es 20+50=70 m.

• El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuación de segundo grado tiene dos raíces
  10=20t+(-10)t²/2
  t₁=0.59 s y t₂=3.41 s.

Para describir un movimiento que tiene lugar en el plano XY, situamos un origen y unos ejes.

En la figura se señala el vector posición r del móvil en el instante t y el vector velocidad v, cuya dirección es tangente a la trayectoria.

Vector posición	x(t)	y(t)
Vector velocidad	vx=dxdt${\displaystyle v_x=\frac{dx}{dt}}$	vy=dydt${\displaystyle v_y=\frac{dy}{dt}}$
Vector aceleración	ax=dvxdt${\displaystyle a_x=\frac{d{v}_x}{dt}}$	ay=dvydt${\displaystyle a_y=\frac{d{v}_y}{dt}}$

Podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Para calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante:.

• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: a_t=a cosθ  y  a_n=a sinθ

Tiro parabólico

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ  con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son

v0x=v0cosθv0y=v0sinθ${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=v_0\cos \theta \\ v_{0y}=v_0\sin \theta \end{array}}$

Como el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

• movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X
• uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad son:

{ax=0ay=−g  {vx=v0⋅cosθvy=v0⋅sinθ−g⋅t  {x=v0⋅cosθ⋅ty=y0+v⋅0sinθ⋅t−12g⋅t2${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cdot \cos \theta \\ v_y=v_0\cdot \text{sin}\theta -g\cdot t\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cdot \cos \theta \cdot t\\ y=y_0+v{}_0\cdot \text{sin}\theta \cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2\end{array}}$.