Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Se dispara un proyectil contra un blanco móvil

En esta página, se describe un problema de artillería que no tiene una solución sencilla.

Un cañón dispara un proyectil con velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Un carro de combate situado a una distancia d del cañón, en el momento del disparo, se mueve con velocidad constante u hacia el cañón. Se tratará de determinar el ángulo (o los ángulos) de disparo que hacen que el proyectil impacte en el carro de combate.

 

Descripción

El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos: Uniforme a lo largo del eje horizontal X y uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

{ax=0ay=−g  {vx=v0cosθvy=v0sinθ−gt  {x=v0cosθ ty=v0sinθ t−12gt2${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cos \theta \\ v_y=v_0\text{sin}\theta -gt\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cos \theta t\\ y=v_0\text{sin}\theta t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es

x=d-u·t

El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·sinθ/g

En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles

d−u2v⋅sinθg=vcosθ2v⋅sinθg${\displaystyle d-u\frac{2v·\text{sin}\theta }{g}=v\cos \theta \frac{2v·\text{sin}\theta }{g}}$

Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.

1. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad u del carro de combate.

u=dg2vsinθ−vcosθ${\displaystyle u=\frac{dg}{2v\sin \theta }-v\cos \theta }$

2. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v

v=−u+u2+2dgcotθ−−−−−−−−−−−√2cosθ${\displaystyle v=\frac{-u+\sqrt{u^2+2dg\cot \theta }}{2\cos \theta }}$

3. El caso más interesante, es aquél en el que se conoce la separación inicial d, la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ

Ángulos de disparo

Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente

v²·sin(2θ)+2u·v·sinθ-d·g=0

Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)

z=v²·sin(2θ)+2u·v·sinθ-d·g

y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura. 

El máximo de la función z se produce

dzdθ=2v2cos(2θ)+2uvcosθ=0${\displaystyle \frac{dz}{d\theta }=2v^2\cos (2\theta )+2uv\cos \theta =0}$

para un ángulo θ_m independiente de la distancia d

cosθm=−u+u2+8v2−−−−−−−√4v${\displaystyle \cos {\theta }_m=\frac{-u+\sqrt{u^2+8v^2}}{4v}}$

Los dos ángulos buscados θ₁ y θ₂ están en los intervalos (0, θ_m) y (θ_m, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente

Existe una distancia d_m para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θ_m. El máximo de la funciónf(θ_m) es z=0.

dm=v2sin(2θm)+2uvsinθmg${\displaystyle d_m=\frac{v^2\sin (2{\theta }_m)+2uv\sin {\theta }_m}{g}}$

Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que d_m, no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.

Un trozo de barro que se desprende de una rueda

Una rueda de radio R se mueve con velocidad constante v₀ a lo largo de un plano horizontal, un trozo de barro situado en su borde se desprende. Determinar la altura máxima que alcanza.

En la figura, observamos la trayectoria de este cuerpo, desde la posición de desprendimiento hasta que llega al suelo.

Este problema es interesante, ya que la altura máxima que alcanza el cuerpo depende del ángulo, siempre que su valor sea mayor que un valor crítico.

Velocidad inicial del cuerpo

Como estudiaremos con más detalle en el capítulo Sólido rígido. El movimiento de rodar sin deslizar es la composición de dos movimientos:

• Movimiento de traslación del centro de masas con velocidad v₀
• Movimiento de rotación con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a la rueda y que pasa por el c.m.

El punto de contacto de la rueda con el suelo está en reposo, su velocidad es cero. La relación entre la velocidad de traslación del c.m. v₀ y de rotación ω alrededor del eje que pasa por el c.m. es v₀=ω·R

Para describir el movimiento del trozo de barro que se desprende del borde de la rueda establecemos un sistema de referencia de modo que en el instante inicial la posición de dicho cuerpo es x=0, y=0.

Posición y velocidad del cuerpo en el instante t₀

Al cabo de un cierto tiempo t=t₀, el cuerpo se ha trasladado v₀·t₀ y ha girado un ángulo φ=ω·t₀. Su posición en el instante en el que desprende de la rueda es

x0=v0t0−Rsinϕy0=R−Rcosϕ${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_0=v_0{t}_0-R\sin \varphi \\ y_0=R-R\cos \varphi \end{array}}$

Las componentes de la velocidad inicial del cuerpo son

v0x=v0−v0cosϕv0y=v0sinϕ${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=v_0-v_0\cos \varphi \\ v_{0y}=v_0\sin \varphi \end{array}}$

El módulo y la dirección de la velocidad inicial son, respectivamente

v=v20x+v20y−−−−−−−√=v02(1−cosϕ)−−−−−−−−−−√tanθ=v0yv0x=−sinϕ1−cosϕ${\displaystyle \begin{array}{l}v=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}=v_0\sqrt{2(1-\cos \varphi )}\\ \tan \theta =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=-\frac{\sin \varphi }{1-\cos \varphi }\end{array}}$

Ejemplo:

• Cuando φ=0, v=0
• Cuando φ=π/2, v=2√v0$v=\sqrt{2}{v}_0$ , θ=π/4
• Cuando φ=π, v=2v₀, θ=0

Un trozo de barro que se desprende de una rueda

Una rueda de radio R se mueve con velocidad constante v₀ a lo largo de un plano horizontal, un trozo de barro situado en su borde se desprende. Determinar la altura máxima que alcanza.

En la figura, observamos la trayectoria de este cuerpo, desde la posición de desprendimiento hasta que llega al suelo.

Este problema es interesante, ya que la altura máxima que alcanza el cuerpo depende del ángulo, siempre que su valor sea mayor que un valor crítico.

Velocidad inicial del cuerpo

Como estudiaremos con más detalle en el capítulo Sólido rígido. El movimiento de rodar sin deslizar es la composición de dos movimientos:

• Movimiento de traslación del centro de masas con velocidad v₀
• Movimiento de rotación con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a la rueda y que pasa por el c.m.

El punto de contacto de la rueda con el suelo está en reposo, su velocidad es cero. La relación entre la velocidad de traslación del c.m. v₀ y de rotación ω alrededor del eje que pasa por el c.m. es v₀=ω·R

Para describir el movimiento del trozo de barro que se desprende del borde de la rueda establecemos un sistema de referencia de modo que en el instante inicial la posición de dicho cuerpo es x=0, y=0.

Posición y velocidad del cuerpo en el instante t₀

Al cabo de un cierto tiempo t=t₀, el cuerpo se ha trasladado v₀·t₀ y ha girado un ángulo φ=ω·t₀. Su posición en el instante en el que desprende de la rueda es

x0=v0t0−Rsinϕy0=R−Rcosϕ${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_0=v_0{t}_0-R\sin \varphi \\ y_0=R-R\cos \varphi \end{array}}$

Las componentes de la velocidad inicial del cuerpo son

v0x=v0−v0cosϕv0y=v0sinϕ${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=v_0-v_0\cos \varphi \\ v_{0y}=v_0\sin \varphi \end{array}}$

El módulo y la dirección de la velocidad inicial son, respectivamente

v=v20x+v20y−−−−−−−√=v02(1−cosϕ)−−−−−−−−−−√tanθ=v0yv0x=−sinϕ1−cosϕ${\displaystyle \begin{array}{l}v=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}=v_0\sqrt{2(1-\cos \varphi )}\\ \tan \theta =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=-\frac{\sin \varphi }{1-\cos \varphi }\end{array}}$

Ejemplo:

• Cuando φ=0, v=0
• Cuando φ=π/2, v=2√v0$v=\sqrt{2}{v}_0$ , θ=π/4
• Cuando φ=π, v=2v₀, θ=0

Posición y velocidad en el instante t

Las componentes de la velocidad del cuerpo en el instante t son

vx=v0−v0sinϕvy=−v0cosϕ−g(t−t0)${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_x=v_0-v_0\sin \varphi \\ v_y=-v_0\cos \varphi -g(t-t_0)\end{array}}$

La posición del cuerpo en el instante t es

x=x0+v0x(t−t0)=v0t0+Rcosϕ+v0(1−sinϕ)(t−t0)y=y0+v0y(t−t0)−12g(t−t0)2=R−Rsinϕ−v0cosϕ(t−t0)−12g(t−t0)2${\displaystyle \begin{array}{l}x=x_0+v_{0x}(t-t_0)=v_0{t}_0+R\cos \varphi +v_0(1-\sin \varphi )(t-t_0)\\ y=y_0+v_{0y}(t-t_0)-\frac{1}{2}g{\left(t-t_0\right)}^2=R-R\sin \varphi -v_0\cos \varphi (t-t_0)-\frac{1}{2}g{\left(t-t_0\right)}^2\end{array}}$

Alcance y altura máxima

El cuerpo llega al suelo cuando y=0.

t−t0=−v0cosϕ+v20cos2ϕ+2gR(1−sinϕ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√g  ϕ=v0Rt0${\displaystyle t-t_0=\frac{-v_0\cos \varphi +\sqrt{v_0^2{\cos }^2\varphi +2gR(1-\sin \varphi )}}{g}\varphi =\frac{v_0}{R}{t}_0}$

Una vez calculado (t-t₀) se obtiene el alcance horizontal x_m

x_m= v₀·t₀-R·sinφ+ v₀(1-cosφ) ·(t-t₀)

La altura máxima se alcanza cuando v_y=0

t−t0=v0sinϕg${\displaystyle t-t_0=\frac{v_0\sin \varphi }{g}}$

Para que este cociente sea positivo, el ángulo φ debe estar en el intervalo 0<φ<π. El cuerpo se lanza hacia arriba si el ángulo φ está en este intervalo

ym=R−Rcosϕ+v20sin2ϕ2g${\displaystyle y_m=R-R\cos \varphi +\frac{v_0^2{\sin }^2\varphi }{2g}}$

La altura y_m también se puede calcular aplicando el principio de conservación de la energía.

En la posición de lanzamiento y₀=R-Rcosφ las componentes de la velocidad del cuerpo son

v_0x=v₀-v₀·cosφ
v_0y= v₀·sinφ

La energía del cuerpo de masa m es

Ei=12m(v20sin2ϕ+v20x)+mg(R−Rcosϕ)${\displaystyle E_i=\frac{1}{2}m\left(v_0^2{\sin }^2\varphi +v_{0x}^2\right)+mg(R-R\cos \varphi )}$

En la posición de máxima altura y_m la componente v_y=0 de la velocidad, la componente v_x no cambia. La energíaE_f es

Ef=12mv20x+mgym${\displaystyle E_f=\frac{1}{2}m{v}_{0x}^2+mg{y}_m}$

Aplicamos el principio de conservación de la energía E_i=E_f y despejamos y_m obteniendo el mismo resultado.

Máximo valor de la altura máxima

En la figura, se representa la altura máxima y_m que alcanza el trozo de barro en función del ángulo φ cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v₀= 2 m/s. El radio de la rueda se ha fijado en R=1 m. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ=π=180º

Cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v₀= 5 m/s. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ<π.

Calculamos el ángulo φ para el cual y_m presenta un máximo

dymdϕ=Rsinϕ+v20gcosϕ⋅sinϕ=0${\displaystyle \frac{d{y}_m}{d\varphi }=R\sin \varphi +\frac{v_0^2}{g}\cos \varphi ·\sin \varphi =0}$

Esta ecuación tiene dos soluciones

• La primera solución, se obtiene haciendo sinφ=0, φ=π, por lo que y_m=2R
• La segunda solución, se obtiene haciendo

cosϕ=−Rgv20${\displaystyle \cos \varphi =-\frac{Rg}{v_0^2}}$

Para que el coseno sea menor que la unidad, en valor absoluto, se tiene que cumplir que v20>Rg$v_0^2>Rg$

Para que el coseno sea negativo, y al la vez que la trayectoria sea hacia arriba implica que el ángulo φdebe de estar en el intervalo π/2<φ<π.

La máxima altura y_m alcanzada por el cuerpo que se desprende de esta posición es

ym=R+R2g2v20+v202g${\displaystyle y_m=R+\frac{R^{2}g}{2v_0^2}+\frac{v_0^2}{2g}}$

Ejemplo:

• Se ha fijado el radio de la rueda en R =1 m
• Si v₀=2 m/s
• Si el trozo de barro se desprende cuando φ=π/2, el instante t₀ en el que se alcanza esta posición est₀=φ·R/v₀=π/4=0.79 s

Calculamos la altura máxima y_m

ym=1−1⋅cos(π2)+22sin2π2⋅9.8=1.2 m${\displaystyle y_m=1-1·\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+\frac{2^2{\sin }^2\pi }{2·9.8}=1.2\text{ m}}$

Para v₀=5 m/s se cumple que 5²>1·9.8

El ángulo φ que hace que la altura y_m sea la máxima posible, véase la figura más arriba, es

cosϕ=−1⋅9.852  ϕ=1.97 rad=113ºym=1+12⋅9.82⋅52+522⋅9.8=2.47 m${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \varphi =-\frac{1·9.8}{5^2}\varphi =1.97\text{ rad}=11\text{3º}\\ y_m=1+\frac{1^2·9.8}{2·5^2}+\frac{5^2}{2·9.8}=2.47\text{m}\end{array}}$

El instante t₀ en el que se alcanza esta posición es t₀=φ·R/v₀=1.97/5=0.39 s