Historia de los matemáticos más famosos

Apolonio de Perge

Apolonio de Perge, Apolonio de Perga o Apolonio de Pérgamo (Griego antiguo: Ἀπολλώνιος) (Perge, c. 262 -Alejandría, c. 190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. El fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos. Logró solucionar la ecuación general de segundo grado por medio de la geometría cónica.¹

También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas.² Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra.

Biografía

Nació alrededor del 262 a. C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora Turquía) y falleció: Alrededor del 190 A.C en Alejandría, Egipto.

Se sabe que estuvo en Alejandría durante los reinados de Ptolomeo Evergetes y Ptolomeo Filopater, a la vez que fue tesorero general de Ptolomeo Filadelfo. Por las fuentes se puede afirmar que era entre veinticinco y cuarenta años más joven que Arquímedes, de allí la estimación de sus años de nacimiento y muerte. Fuera de ello, lo poco que se sabe de su vida es que estudió en Alejandría y en esta ciudad se dedicó a la enseñanza; y que vivió al menos un tiempo

Obra

Estudió los megalitos las secciones cónicas utilizando como herramienta las proporciones, relacionando las magnitudes de cada elemento que conforman cada sección cónica en el caso de la parábola, elipse e hipérbola donde utilizó este método para definir las propiedades de cada corte con el cono, como lo demuestra Heath (1896), además propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. Respecto a sus obras, se han perdido muchas:

• Reparto rápido (Ὠκυτόκιον), en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una aproximación del número π
• Secciones en una razón dada (Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione) , trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendos puntos situados en dichas rectas) que estén en una razón dada (este problema es equivalente a resolver la ecuación)
• Secciones en un área dada (Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione), problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro (este problema es equivalente a resolver la ecuación)
• Secciones determinadas (Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata), dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto P, tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BP y DP
• Tangencias (Ἐπαφαί, De Tactionibus), resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio)
• Lugares planos (Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis), los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las circunferencias, lugares sólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado.

Sólo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) y Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra más importante de Apolonio, es más, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros más importantes de matemáticas.

Cónicas de Apolonio. Traducción al árabe

Las Cónicas está formado por 8 libros. Fue escrito cuando Apolonio estaba en Alejandría pero posteriormente, ya en Pérgamo(hoy Bergama en Turquía), lo mejoró.

• El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.
• El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.
• El libro III: trata de los tipos de conos.
• El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.
• El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
• El libro VI: trata sobre cónicas semejantes.
• El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.
• El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.

Los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartesen su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual.

Esquema de epiciclo de Apolonio

(Apolonio de Perga o Perge; 262 a.J.C. - 180 a.J.C.) Matemático griego. Conocido con el sobrenombre de el Gran Geómetra, sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Acuñó los términos elipse, hipérbola y parábola, que responden a las respectivas propiedades matemáticas de estas tres funciones. También explicó el movimiento de los planetas según la teoría de los epiciclos.

Apolonio vivió largo tiempo en Alejandría, primero como discípulo y más tarde como profesor en la escuela de los sucesores de Euclides, escuela que recibió nuevo impulso del mismo Apolonio. Realizó numerosos viajes y residió también durante algún tiempo en Éfeso y en Pérgamo, a cuyo rey Atalo I (224-197) dedicó el cuarto libro de su tratado sobre las figuras cónicas.

Apolonio

Apolonio hizo con respecto a las figuras cónicas lo que Euclides había hecho un siglo antes en cuanto al círculo, y fue él quien dio a las secciones del cono las denominaciones todavía en uso: parábola, hipérbola, elipse. Aunque sólo cuatro de los ocho libros de que estaba compuesto hayan llegado a nosotros en la lengua original (poseemos otros tres en idioma árabe), el tratado es tan completo que habían de pasar siglos antes de que pudiera añadirse algo sobre el tema.

Ya antes de Apolonio, las cónicas y sus propiedades eran conocidas por los griegos, según lo atestiguan la obra de Menecmo, Los lugares sólidos de Aristeo y muchos pasajes de Euclides y Arquímedes. Apolonio generalizó y extendió las investigaciones. Partiendo de un cono cualquiera, cortándolo con un plano cualquiera, llega a obtener las tres especies de cónicas que antes de él se consideraban como secciones del cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo.

Los primeros cuatro libros del tratado Las cónicas han llegado a nosotros en su texto original porque probablemente eran libros de texto en las escuelas griegas y alejandrinas. Los tres siguientes se conservaron durante el medioevo en una traducción árabe, y sólo el octavo libro, que según las declaraciones de Apolonio contenía la solución de los problemas concernientes a la materia tratada en el libro anterior, se ha perdido. El famoso astrónomo Halley, en la edición hecha por él de las obras de Apolonio (1710), se basó en las informaciones contenidas en los "lemas" dejados por Pappo en su Colección para dar una relación aproximada de este libro desaparecido.

En conjunto, los libros sobre las cónicas pueden considerarse como una introducción a la geometría superior, porque en ellos encontramos nociones modernísimas como son los principios de la teoría de las polares o la generación de una cónica mediante haces de rayos proyectados (teorema de Steiner). La importancia de las cónicas en el sistema universal creció mucho con el descubrimiento de Kepler, según el cual las órbitas planetarias son elípticas, ocupando el sol uno de los focos de la elipse. La obra de Apolonio, al reexaminarse hace tres siglos, dio origen a un gran desenvolvimiento de la geometría moderna.

Además de este libro, escribió otras obras sobre matemáticas: han llegado a nosotros, en versión árabe, dos libros sobre Divisiones de las proporciones, una obra sobre Tangencias y dos libros sobre Lugares planos. Entre los escritos perdidos se conocen los títulos de una obra sobre Resolución rápida y otra sobre espejos ustorios. Después de Arquímedes, Apolonio de Perga es el más profundo y original de todos los matemáticos griegos. Los antiguos le atribuyeron la invención de una forma especial de reloj solar y descubrimientos astronómicos precursores.

Apolonio de Perga era conocido como ‘el gran geómetra’. Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libroLas cónicas1 introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola2, elipse3 e hipérbola4.

Apolonio de Perga no debe ser confundido con otro estudiosos griegos llamados Apolonio, ya que éste era un nombre muy común. En [1] se dan detalles de otros con ese mismo nombre: Apolonio de Rodas, nacido alrededor del 295 a.C., poeta y gramático griego, alumno de Calímaco que fue maestro de Eratóstenes; Apolonio de Tralles, siglo II a. de C. escultor griego; Apolonio el ateniense, siglo I a. de C., escultor; Apolonio de Tiana, siglo I, miembro de la sociedad fundada por Pitágoras; Apolonio Díscolo, siglo II, gramático griego que es conocido por ser el fundador del estudio sistemático de la gramática; y Apolonio de Tiro que es un personaje literario.

Apolonio el matemático nació en Perga, Panfilia, lo que es hoy conocido como Murtina, o Murtana y se encuentra en Antalia, Turquía. En esa época, Pérgamo era conocido como centro cultural y además era el lugar en el que se hallaba el santuario de la diosa Artemisa. De joven Apolonio fue a Alejandría donde estudió con los seguidores de Euclides y donde más tarde él mismo daría clases. Apolonio visitó Pérgamo lugar en el que existía una universidad y una biblioteca similares a las de Alejandría. Pérgamo, hoy la ciudad de Bergama en la provincia turca de Izmir, era una antigua ciudad griega de Misia. Estaba situada a 25 kms. del mar Egeo sobre una colina en el lado norte del amplio valle del río Caicus (hoy río Bakir).

Mientras Apolonio estuvo en Pérgamo se encontró con Eudemo de Pérgamo (no confundir con Eudemo de Rodas que escribió la Historia de la Geometría) y también con Atalo, considerado por algunos como el rey Atalo I de Pérgamo. En el prefacio a la segunda edición de su Las cónicas, Apolonio se dirigió a Eudemo (ver [4] o [5]):

Si estás saludable y las cosas están en otros asuntos como deseas, todo está bien; yo también me siento moderadamente bien. Durante la época que estuve contigo en Pérgamo observé tu impaciencia por pasar a limpio mi trabajo ‘Las cónicas’.

Lo único que sabemos sobre la vida de Apolonio lo encontramos en el prefacio de las diferentes ediciones de Las cónicas. Sabemos que tuvo un hijo, llamado como él, y de hecho sabemos también que su hijo llevo la segunda edición de Las cónicas desde Alejandría hasta Eudemo en Pérgamo. También sabemos partiendo del prefacio del libro que Apolonio presentó al geómetra Filónidas a Eudemo mientras estuvieron en Éfeso.

Sabemos bastante más sobre los libros que escribió Apolonio. Las cónicas estaba dividido en ocho volúmenes pero tan sólo los cuatro primeros han perdurado en el griego original. En árabe, sin embargo, podemos encontrar los siete primeros.

Debemos remarcar en primer lugar que para Apolonio las secciones cónicas son por definición las curvas formadas por un plano que intersecta la superficie de un cono. Apolonio explica en su prefacio cómo llegó a escribir su famoso trabajo ‘Las cónicas’ (ver [4] o [5]):

… comencé investigando esta materia a petición de Náucrato el geómetra en la época en la que vino a Alejandría y permaneció conmigo, y, cuando terminé los ocho libros se los entregué en el momento, muy deprisa, porque estaba marchándose por mar; no habían sido revisados, de hecho los escribí de un tirón, posponiendo su revisión hasta el final.

Los libros I y II de Las cónicas comenzaron a circular sin ninguna revisión, de hecho hay evidencias de que ciertas traducciones que han llegado a nosotros proceden de esos primeros manuscritos. Apolonio escribe (ver [4] o [5]):

… algunas personas también, entre mis conocidos, consiguieron el primer y el segundo libro antes de que los corrigiera. …

Las cónicas se dividía en 8 volúmenes. Del uno al cuatro forman una introducción elemental a las propiedades básicas de los conos. La mayor parte de los resultados de estos libros eran conocidos por Euclides, Aristeo y otros pero algunos son, en palabras del propio Apolonio:

… más trabajados y generalistas que en los escritos de otros.

En el libro uno se estudian las relaciones entre los diámetros y tangentes5 de los conos, mientras que en el libro dos Apolonio investiga como se relacionan las hipérbolas con las asíntotas6, y estudia además como dibujar tangentes para conseguir conos. Hay, sin embargo, nuevos resultados en estos libros, en particular en el tercero. Apolonio escribe de este texto (ver [4] o [5]):

… los mejores y más hermosos de estos teoremas son nuevos, y su descubrimiento me advirtió que Euclides no consiguió la síntesis de los lugares geométricos7 con respecto a tres o cuatro líneas, sino tan sólo una pequeña porción, y sin éxito; porque no era posible para tal síntesis ser completada sin la ayuda de los teoremas que he descubierto.

Los libros V al VII son muy originales. En ellos Apolonio discute las normales8 a las cónicas y muestra cuantos pueden dibujarse a partir de un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura que conduce a la ecuación cartesiana de la evoluta9. Heath escribe del libro cinco [5]:

… es el más importante de los libros. Trata de normales a las cónicas vistas como líneas rectas máximas y mínimas dibujadas desde los puntos particulares de una curva. Incluido en él existen una serie de proposiciones las cuales, aunque resueltas mediante los más puros métodos geométricos, conducen directamente a la determinación de la evoluta de cada uno de las tres cónicas; o lo que es lo mismo, las ecuaciones cartesianas de las evolutas pueden ser fácilmente deducidas de los resultados obtenidos por Apolonio. No hay ninguna duda de que el libro es casi todo original y es un verdadero ‘tour de force’ geométrico.

La belleza de los Las cónicas de Apolonio puede adivinarse fácilmente leyendo las proposiciones de Heath, ver [4] o [5]. Sin embargo, Heath explica en [5] lo difícil que resulta leer el texto original:

… el tratado es un gran clásico que merece ser mejor conocido de lo que es en realidad. Lo que lo hace tan difícil de leer en su forma original es la enorme extensión de la exposición (contiene 387 proposiciones separadas), debido principalmente al hábito de los griegos de demostrar casos particulares de una proposición general de forma separada a la propia proposición, pero más a la voluminosidad de los enunciados de complicadas proposiciones en términos generales (sin la ayuda de letras para marcar puntos particulares) y a la elaboración de la forma euclidiana, a la que Apolonio se adhiere de forma absoluta.

Pappo proporciona algunas indicaciones del contenido de los restantes seis libros de Apolonio. Eran: Corte de una razón (en dos libros), Corte de un área (en dos libros),Determinación de una sección (en dos libros) y Construcciones (en dos libros). Corte de una razón sobrevive en árabe y el bibliógrafo del siglo X Ibn al-Nadim nos dice que otros tres trabajos fueron traducidos al árabe aunque ninguno de ellos ha llegado a nuestros días.

Para ilustrar lo lejos que llegó Apolonio en su geometría comparándola con los Elementos deEuclides podemos considerar los resultados que se sabe estaban contenidos en Tangentes. En el libro III de los Elementos, Euclides muestra cómo dibujar un círculo mediante tres puntos dados. En Tangentes, Apolonio muestra cómo construir el círculo tangencial a tres líneas dadas. De forma más general muestra cómo construir el círculo que es tangente a tres objetos cualesquiera, sean puntos, líneas o círculos.

En [11] Hogendijk cuenta que dos trabajos de Apolonio, que se desconocía que estuvierann traducidos al árabe, eran conocidos por geómetras musulmanes del siglo X. Son los trabajosPlane loci y Construcciones. En [11] se describen algunos resultados de esos trabajos que desconocíamos fueran demostrados por Apolonio.

De otras fuentes surgen referencias a más trabajos de Apolonio, ninguno de los cuales ha perdurado. Hípsiclo hace referencia a un trabajo de Apolonio en el que compara un dodecaedro10 y un icosaedro11 inscritos en la misma esfera, que como Las cónicasapareció en dos ediciones. Marino, escribiendo un comentario sobre los datos de Euclides, hace referencia a un trabajo general de Apolonio en el que se discuten los fundamentos de las matemáticas tales como el significado de los axiomas. Apolonio también escribió sobre las hélices cilíndricas y otro sobre los números irracionales12, así lo menciona Proclo. Eutocio hace referencia a un libro de Apolonio en el que obtiene una aproximación para π mejor que la de

223/₇₁ < π < 22/₇

conocida por Arquímedes. En El espejo ardiente, Apolonio demostró que los rayos paralelos de luz no se concentran en un foco por un espejo esférico (como se creía con anterioridad) y discutió las propiedades focales de un espejo parabólico.

Apolonio también fue un importante fundador de la astronomía matemática griega, que utilizaba modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. Ptolomeo en su libroSintaxis introdujo sistemas de movimiento excéntrico13 y epicíclico14 para explicar los movimientos aparentes de los planetas a través del cielo. Y esto no es del todo cierto ya que la teoría de epiciclos parte de las ideas de Apolonio.

Apolonio hizo contribuciones sustanciales usando sus grandes destrezas geométricas. Particularmente hizo un estudio de los puntos donde un planeta aparece estacionario, nombrando los puntos donde el movimiento hacia delante cambia a retrógrado o a la inversa.

Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimiento sobre los conos, para resolver problemas prácticos. Desarrolló el hemiciclo, un reloj solar que marcaba las líneas de las horas en la superficie de una sección cónica proporcionando mayor precisión.

Artículo de: J J O’Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Glosario

1. Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse intersectando un plano y un cono (de doble lado).
2. Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x2.
3. Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e que es < 1. A e se le llama la excentricidad de la elipse. También se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 + by2 = 1.
4. Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 – by2 = 1.
5. Una tangente a una curva en el punto p es la mejor aproximación lineal a la curva cerca de ese punto. Puede verse como el límite de todas las secantes desde el punto p a otros puntos cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en el punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan o son tangentes.
6. Una asíntota a una curva es una línea recta (o, de manera más general, otra curva) que está arbitrariamente cerca de la curva. Una hipérbola tiene un par de líneas rectas como asíntotas.
7. Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que comparten una propiedad común. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante.
   normal
8. La evoluta de una curva es la envolvente de las normales a la curva. También puede considerarse como el lugar geométrico de los centros de curvatura.
9. Un dodecaedro es un poliedro regular con 12 caras, cada una de las cuales es un pentágono regular.
10. Un icosaedro es un poliedro regular con 20 caras, cada una de las cuales es un triángulo equilátero.
11. Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice entonces que el polígono está circunscrito al círculo. Al círculo inscrito en un triángulo se le llama incírculo y a su centro, incentro.
12. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.
13. La teoría excéntrica es la que plantea que los planetas se mueven en círculos cuyos centros no coinciden con la Tierra.
14. Una epicicloide es la curva que dibuja el centro de un círculo que se arrastra alrededor de otro círculo. Los epiciclos fueron introducidos originalmente para explicar las órbitas de cuerpos planetarios entre las estrellas fijas.

Apolonio representa [en la Geometría griega] la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia. Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de él se había escrito en el campo de su mayor brillantez, las cónicas, pero por su carácter tan especializado y tan difícil, ni siquiera esta obra maestra, las Cónicas, se conoce hoy en su integridad y más de la mitad de ella permaneció oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por Edmond Halley en 1710.

Miguel de Guzmán. Apolonio (en Un retablo de historias matemáticas.Pensamientos en torno al quehacer matemático [CD–ROM], Madrid, 2001).

 

Apolonio, el Gran Geómetra

Si entre los matemáticos griegos Euclides representa el maestro sistematizador, y Arquímedes el genio investigador por antonomasia, el tercer talento del helenismo, Apolonio de Perga, personifica el virtuosismo geométrico. Mientras Euclides codifica en Los Elementos los fundamentos de la Geometría griega de la regla y el compás como cuerpo de doctrina central de la totalidad de las ciencias matemáticas elementales y Arquímedes, en su fecunda y brillante obra, magnifica de forma muy considerable el patrimonio matemático griego, alcanzando incluso el estudio riguroso de multitud de problemas infinitesimales tratados con inefable originalidad, Apolonio polarizó su actividad investigadora en una dirección casi monotemática con una sagacidad tan magistral que sus investigaciones sobre cónicas, donde aparecen sus bellísimos descubrimientos sobre ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, rectas máximas y mínimas –tangentes y normales–, etc., le convierten en el primer especialista que registra la Historia de la Geometría y dan justificación al apelativo de «gran geómetra».

La mayor parte de los exiguos datos conocidos sobre la vida de Apolonio provienen de unas pocas noticias que el propio autor reseña en las introducciones a algunos de los libros de su magna obra Las Cónicas. Se sabe que nació hacia el año 262 a.C., en Perga, región de Panfilia (la actual Antalya, Turquía); estudió en el Museo de Alejandría con los sucesores de Euclides; y residió tanto en la propia capital alejandrina como en Éfeso y Pérgamo, urbe que gozaba del prestigio de una Biblioteca y un emporio académico del Saber, similares a los de Alejandría, ciudad donde murió hacia el 190 a.C. Según relata Pappus (siglo IV d.C) en La Colección Matemática, donde aparecen numerosas referencias a la obra de Apolonio, el Gran Geómetra era de trato difícil y tenía un carácter melancólico e irascible. El gran historiador de la matemática F.Vera en su edición de Las Cónicas (en Científicos griegos. Aguilar, Madrid, 1970, p.301) dice que «Apolonio era un genio de mal genio».

 

Debido a que el nombre de Apolonio era muy frecuente en Grecia, se suelen cometer habituales errores de atribución. De hecho, importantes sabios y eruditos griegos tuvieron este nombre: Apolonio de Rodas, Apolonio de Tralles, Apolonio de Atenas, Apolonio de Tyana, Apolonio de Tiro, etc. En particular el busto exhibido pudiera no ser de Apolonio de Perga sino del famoso pitagórico del siglo I d.C. Apolonio de Tyana.

La obra geométrica de Apolonio

ElTesoro del Análisis de La Colección Matemática de Pappus estaba constituido en gran parte por obras de Apolonio, perdidas o conservadas entonces de forma fragmentaria, que debían de incluir mucho material geométrico cuyo estudio forma parte hoy de la Geometría Analítica. Como se sabe, durante el siglo XVII hubo una auténtica obsesión, en particular por Fermat, por la reconstrucción de muchas de las obras perdidas de Apolonio y precisamente en esta labor estuvo el origen de su Geometría Analítica.

Según Pappus debemos a Apolonio la clasificación clásica de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales –según sean resolubles, respectivamente, con rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores–, que perseguía la idea de ajustar la envergadura de los instrumentos geométricos a utilizar a la enjundia de los problemas geométricos a resolver.

Los dos Libros sobre Los Lugares Planos estudiaban lugares geométricos rectilíneos o circulares. Mediante un lenguaje geométrico moderno buena parte del Libro I se puede resumir diciendo que la homotecia, la traslación, la rotación, la semejanza y la inversión, transforman un lugar plano en otro lugar plano. En el Libro II aparecen dos importantes lugares geométricos:

• «El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos A, B, es constante, es una recta perpendicular al segmento AB».
• «El lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a dos puntos fijoses constante, es una circunferencia».

En el libro Secciones en una razón dada –el único que ha sobrevivido además de siete de los ocho Libros de Las Cónicas–, traducido por Edmond Halley del árabe al latín, en 1710– Apolonio resuelve diversos casos del siguiente problema:

«Dada dos rectas y sendos puntos en ellas, trazar por un tercer punto otra recta que corte a las anteriores en segmentos, que medidos sobre ellas desde los respectivos puntos dados, estén en una razón dada».

Este problema conduce a una ecuación cuadrática de la forma ax–x²=bc. También en el libro Secciones en un área dada se resuelve un problema similar que pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro dado. En este caso el problema lleva a una ecuación cuadrática de la forma ax+x²=bc. Con la potencia de nuestra herencia cartesiana y fermatiana, la Geometría Analítica, los problemas se reducen fácilmente a una intersección de cónicas. El geómetra griego aplicaba con suma habilidad el Álgebra geométrica de los Libros II y VI de Los Elementos de Euclides, para, mediante transformaciones geométricas sucesivas, reducir la ecuación –permítasenos un anacronismo matemático– a una forma canónica en la que se reconocía alguna de las tres cónicas. De esta forma podemos imaginar cómo merced a sus extensos conocimientos sobre las curvas cónicas pudo proceder Apolonio en la resolución de problemas tan brillantes.

En el Libro Secciones determinadas, Apolonio plantea el problema siguiente:

«Dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre la misma recta, hállese un quinto punto P sobre ella, de modo que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el construido sobre BP y DP».

Como en los casos anteriores el problema es equivalente a la resolución de ecuaciones cuadráticas, con las que se tratan todas las variantes que se presentan en los datos y las correspondientes soluciones.

En los dos Libros De las Inclinaciones, aparecen problemas sólidos y lineales donde se renueva una técnica utilizada por Arquímedes en Sobre las espirales, por ejemplo:

«Dadas dos líneas y un punto, trazar por él una recta tal que las líneas dadas corten en ella un segmento de longitud dada».

Finalmente mencionamos las siguientes obras de Apolonio:

• Las Tangencias (obra conocida también por el nombre de Los Contactos que alude a la concepción de la tangente en la Geometría griega) donde aparece el histórico Problema de los círculos Apolonio que veremos más adelante.
• El Okytokion (o Tratado sobre Cálculo rápido), una obra de Logística –la Aritmética práctica de los griegos de uso en el comercio y los oficios artesanales– con técnicas para el manejo de números grandes más operativas que las del Arenario de Arquímedes.
• Un tratado acerca del tornillo, Sobre la hélicecilíndrica, citado por Gémino (hacia 77 a.C.).
• Un Tratado universal, citado por Marino (hacia 475 d.C.), que examinaba, tal vez con intención y espíritu crítico, los fundamentos de las Matemáticas, y que incluía observaciones sistemáticas de tipo axiomático. Algunos restos remanentes de esta obra pudieran haber subsistido en las Definiciones de Herón (hacia 65 a.C.) y sobre todo en el Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides de Proclo (hacia 460 d.C.).
• Sobre los irracionales desordenados, obra que glosaría el Libro X de Los Elementos de Euclides sobre los inconmensurables cuadráticos, llamado por Stevin «la cruz de los matemáticos».
• Sobre el Icosaedro y el Dodecaedro, obra dedicada a la comparación de poliedros regulares inscritos en una esfera. Algunos de los resultados geométricos de esta obra pasaron al apócrifo Libro XIV de Los Elementos de Euclides, que se atribuye a Hipsicles (hacia 150 a.C.). Los dos teoremas más interesantes son:

«La circunferencia circunscrita al pentágono regular del dodecaedro y la circunscrita al triángulo equilátero del icosaedro, ambos inscritos en la misma esfera, es la misma».

«Si se inscribe un cubo, un dodecaedro y un icosaedro en una esfera, los lados del cubo y del icosaedro son proporcionales a las áreas y a los volúmenes del dodecaedro y del icosaedro, siendo el factor de proporcionalidad la razón áurea, es decir, la razón entre los segmentos que divide una recta en media y extrema razón».

Pero sin duda alguna la obra que ha inmortalizado a Apolonio en la Historia de las Matemáticas es Las Cónicas una de las obras cumbres de la Matemática griega junto con Los Elementos de Euclides, los grandes tratados de Arquímedes, El Almagesto de Ptolomeo, La Aritmética de Diofanto y La Colección Matemática de Pappus. La obra de Apolonio supera con creces y oscurece lo que con anterioridad habían escrito sobre el tema Menecmo, Euclides y otros, cuyos trabajos, reproducidos por Apolonio, vamos a estudiar someramente a continuación...

 

La Edición de BARROW de las Cónicas de Apolonio  

Archimedis opera; Apollonii Pergaei conicorum libri IIII; Theodosii Sphaerica. Edición de I.Barrow de Las Cónicas de Apolonio (Londres, 1675). Contiene también obras de Arquímedes y de Teodosio.

Las ilustraciones con la portada y las figuras de Apolonio procede de la Biblioteca del Real Instituto y Observatorio de la Armada de San Fernando (Cádiz).

Antecedentes de Las Cónicas de Apolonio

Las cónicas de Menecmo y el problema de la Duplicación del Cubo.

Se atribuye a Menecmo (hacia 350 a.C.) de la Academia platónica –el más famoso de los discípulos de Eudoxo y maestro de Aristóteles y Alejandro Magno–, la introducción de las secciones cónicas, es decir, el descubrimiento de las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola, la llamada «Triada de Menecmo». Veremos que el descubrimiento fue un feliz hallazgo en relación con el problema délico de la «duplicación del cubo». Menecmo detectó que para la resolución del problema había una familia de curvas adecuadas, los tres tipos de cónicas obtenidos por el mismo método, a partir de la sección por un plano perpendicular a la generatriz de conos rectos de tres tipos, según que el ángulo en el vértice fuera agudo, recto u obtuso.

Partiendo de un cono circular recto de una sola hoja con ángulo recto en el vértice, Menecmo descubrió que al cortar el cono por un plano perpendicular a una de sus generatrices, la curva intersección es tal que su ecuación (utilizando de nuevo un anacronismo en términos de Geometría Analítica moderna) puede escribirse en la forma y²=lx, donde l es una constante, que depende exclusivamente de la distancia del vértice del cono al plano de la sección. Ignoramos como obtuvo exactamente Menecmo esta propiedad, pero como quiera que depende nada más de algunos teoremas de Geometría elemental, se supone que Menecmo utilizaría los conocimientos geométricos familiares a los matemáticos de la Academia platónica.

Sea, pues, ABC el cono y sea EDG la curva obtenida al cortarlo por un plano perpendicular en el punto D a la generatriz ADC del cono. Sea P un punto cualquiera de la curva sección y un plano horizontal que corta al cono en la circunferencia PVQR, siendo Q el otro punto de intersección de la curva sección con esta circunferencia.

Por razones de simetría resulta que los segmentos PQ y RV son perpendiculares en el punto O, de modo que OP es la media proporcional entre RO y OV. Por tanto OP²=RO·OV.

Ahora de la semejanza de los triángulos DOVD y DBCA se tiene: OV/DO = BC/AB, y de la semejanza de los triángulos DSDA y DABC se tiene: SD/AS = BC/AB.

Tomando OP=y, OD=x, como «coordenadas» del punto P, se tiene y² = RO·OV, de modo que sustituyendo: y² = OP² = RO·OV = SD·OV = AS·(BC/AB)· DO·( BC/AB) = ([AS·BC²]/AB²)·x .

Ya que los segmentos AS, BC y AB son los mismos para todos los puntos de la curva EQDPG, podemos escribir laecuación de la curva o «sección del cono rectángulo» en la forma: y²=lx, donde l es una constante que más tarde se llamaría el «latus rectum»

De una forma totalmente análoga para conos con ángulo agudo y obtuso en el vértice Menecmo obtendría expresiones de la forma:

y²= lx – (b²/a²) · x²,sección de cono acutángulo,

y²= lx + (b²/a²) · x²,sección de cono obtusángulo.

donde a y b son constantes y el plano de corte es perpendicular a una generatriz.

Se observa una gran similitud entre los desarrollos de Menecmo en relación a expresiones equivalentes a ecuaciones y el uso de coordenadas, lo que induce a los historiadores a afirmar que este geómetra ya conocía ciertos aspectos de la Geometría Analítica. De hecho ignorando el lenguaje de ésta se hace difícil explicar el hallazgo de Menecmo.

Las cónicas de Menecmo tienen su origen en los intentos de Hipócrates de Quíos (hacia 400 a.C.) de resolución del problema clásico de la Duplicación del Cubomediante la interpolación de dos medias proporcionales.

Sea un cubo de arista a. A partir de la proporción continua: , resultado de interpolar dos medias proporcionales entre a y su doble 2a, se obtienen las parábolas x²=ay, y²=2ax, y la hipérbola equilátera xy=2a².Tanto la intersección de las dos parábolas como la intersección de una de las parábolas y la hipérbola proporciona x³=2a³, es decir, la arista del cubo de volumen doble.

Lo que en nuestro lenguaje geométrico analítico realizamos utilizando las ecuaciones de las cónicas, Menecmo lo hallaría mediante la construcción de puntos de intersección de las cónicas obtenidas, desplazando convenientemente el plano de corte con el cono a fin de hallar cónicas con latus rectum conveniente al objetivo propuesto.

Aunque según el testimonio de Proclo y Eutociusfue Menecmo el primero que descubrió las secciones cónicas, tal vez no fue así, ya que antes Arquitas de Tarento (hacia 400 a.C.), gran político reformador y maestro de Platón, había estudiado el problema de la Duplicación del Cubo, obteniendo las dos medias proporcionales mediante una compleja intersección de un cono de revolución, un cilindro de revolución y una superficie tórica. Así pues, Arquitas pudo haber estudiado la elipse como sección oblicua del cilindro. Por otra parte, después de la línea recta, es la elipse la curva más habitual en la experiencia, ya que los objetos circulares mirados de forma oblicua, así como la sombra que arrojan, son elípticos.

Se ha especulado a veces incluso con un origen de las cónicas por generación cinemática como la Cuadratriz de Hipias o la Espiral de Arquímedes, pero parece desmentirlo la persistencia hasta el siglo XVII del nombre que los griegos dieron de Problemas sólidos a los que dependían de las cónicas para su resolución, como si se quisiera insistir en su origen estereométrico.

Las cónicas se definen ahora como lugares de puntos en el plano para los que las distancias a una recta –directriz– y a un punto –foco– están en una determinada razón –excentricidad–. Esta definición se traslada de forma muy simple al lenguaje algebraico de ecuaciones de nuestra Geometría Analítica y además, la trigonometría permite mediante la rotación de ejes pasar fácilmente de la ecuación de la hipérbola referida a sus ejes a la referida a sus asíntotas. De modo que realmente impresiona la extraordinaria habilidad de Menecmo descubriendo la más útil familia de curvas de toda la Matemática y de toda la Ciencia y en ausencia del instrumento y el simbolismo algebraicos. Pero no sólo esto, sino que, independiente de su origen plano o estereométrico, Menecmo fue capaz de vincular ambos aspectos de las cónicas, mostrando que las secciones de los conos tenían importantes propiedades como lugares planos, traducibles en básicas expresiones geométricas (equivalentes a nuestras ecuaciones), que permitían deducir, a su vez, otras innumerables propiedades de las cónicas, que serían plasmadas por Apolonio en los primeros libros de Las Cónicas. Es bajo esta visión sobre el trabajo de Menecmo que algunos historiadores modernos (Zeuthen, Coolidge, Loria y Heath) reclaman para los griegos, y empezando por Menecmo, la paternidad de la Geometría Analítica, al establecer como la esencia de esta rama de la Matemática el estudio de los lugares por medio de ecuaciones.

Euclides escribió, además de Los Elementos, otras muchas obras de las que tenemos constancia e incluso fragmentos a través de ElTesoro del Análisis de Pappus. Una de ellas fue un trabajo sobre secciones cónicas, incorporado más tarde a Las Cónicas de Apolonio.

Asimismo, los importantes resultados de Arquímedes acerca del área del segmento parabólico, aplicando el método de exhaución en la obra Sobre la Cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra Sobre el Método relativo a los teoremas mecánicosdedicado a Eratóstenes pone de relieve el avanzado desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de Arquímedes, ya muy próxima a los tiempos en que Apolonio concibió Las Cónicas.

Las Cónicas de Apolonio

Durante más de ciento cincuenta años, las curvas introducidas por Menecmo se llamarían a partir de la descripción trivial de la forma cómo habían sido descubiertas, es decir, mediante las perífrasis: sección (perpendicular a una generatriz) de cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo para la elipse, parábola e hipérbola, respectivamente.

Fue Apolonio en Las Cónicas quien no sólo demostró que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los tres tipos de curvas, sino que demostró que el cono no necesita ser recto y consideró, asimismo, el cono con dos hojas, con lo que identifica las dos ramas de la hipérbola.

LA GENERACIÓN DE LAS CÓNICAS DE APOLONIO

Construcción de Apolonio de las tres secciones cónicas mediante un cono único, variando la inclinación del plano que corta al cono. Parábola: el plano de corte es paralelo a una sola generatriz. Elipse: el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz. Hipérbola: el plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices.

Además, siguiendo probablemente una sugerencia de Arquímedes, Apolonio acuñó para la posteridad los nombres de elipse, parábola e hipérbola para las secciones cónicas. A lo largo de la Historia de la Matemática, los conceptos han sido siempre más importantes que la terminología utilizada, pero en este caso el cambio de nombre de las secciones cónicas debido a Apolonio, tiene una importancia más allá de lo meramente nominalista. Los términos adoptados en realidad no eran nuevos, sino que procedían, como sabemos, del lenguaje pitagórico de la solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las Areas. Elipse significadeficiencia; Hipérbola significa exceso (en el lenguaje ordinario una hipérbole es una exageración); y por ultimo Parábola significa equiparación. El cambio de nomenclatura envolvía un cambio conceptual, toda vez que las cónicas ya no serían descritas constructivamente, sino a través de relaciones de áreas y longitudes, que daban en cada caso la propiedad característica de definición de la curva y expresaban sus propiedades intrínsecas. Por ejemplo, la conocida ecuación de la parábola con vértice en el origen es y²=lx, donde l es el latus rectum o parámetro doble que se representa por 2p. Esta expresión de la parábola en forma deecuación sintetiza precisamente el farragoso y larguísimo enunciado de la Proposición I.11 de Las Cónicas en forma de propiedad que cumple la sección cónicaconsiderada, bautizada por Apolonio justamente aquí con el nombre de Parábola. Este enunciado muy resumido viene a decir:

«La Parábola tiene la propiedad característica de que para todo punto tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su ordenada y es exactamente igual al rectángulo construido sobre la abcisa x y el latus rectum l».

Análogamente, Apolonio hará lo propio para la hipérbola y la elipse en las dos proposiciones siguientes que redactadas en un retórico lenguaje abstruso y prolijo, se puede simplificar en la forma siguiente Proposición I.12 (resp. I.13):

«En la sección cónica considerada [llamada hipérbola (resp. llamada elipse)], el cuadrado de la ordenada equivale a un área rectangular aplicada siguiendo el latus rectum, es decir, teniendo el latus rectum como altura, y teniendo la abscisa como base, aumentada (resp. disminuida) de otra área semejante a la que tenga el eje transverso o diámetro como base, y la mitad del latus rectum como altura».

Simplificando todavía más, mediante ecuaciones, como en el caso de la parábola, el complejo lenguaje de Apolonio, designando: para la hipérbola a el eje transverso o diámetro y b el eje no transverso, para la elipse a y b los ejes, y para ambas cónicas y la ordenada, x la abscisa, y l el latus rectum, podemos traducir los enunciados de las proposiciones I.12 y I.13 en las relaciones:

Hipérbola: y²= lx + (b²/a²) · x²o bien[(x+a)²/a²] – [y²/b²] = 1

Elipse: y²= lx – (b²/a²) · x²o bien [(x–a)²/a²] + [y²/b²] = 1

ecuaciones de la hipérbola y de la elipse, respectivamente, referidas a uno de sus vértices como origen de coordenadas donde concurren como ejes de coordenadasun diámetro y la tangente a la cónica en su extremo, y donde el latus rectumo parámetro l es: l=2b²/a.

Veamos, en efecto, como se llega a estas ecuaciones en el caso de la elipse:

Lo que demuestra Apolonio en la Proposición I.13, con un lenguaje retórico, es que hay una relación constante entre ciertas áreas, el cuadrado de lado la cuerda PQ y el rectángulo determinado por los segmentos OQ, QR del diámetro.

En particular se verificará:

.

Tomando coordenadas con origen en el vértice O, y llamando x, y, a, b y l, como antes, se tiene: , de donde resulta:

, es decir:

, donde l=2b²/a es el latus rectum, como se quería probar.

Vemos que las relaciones de áreas de Apolonio, que expresan propiedades intrínsecas de la curva, se prestan, con suma facilidad, a ser traducidas en el ulterior lenguaje del Álgebra simbólica de ecuaciones, lo cual permitirá la asociación de curvas y ecuaciones, que es la principal finalidad programática de la Geometría Analítica.

A la vista de las expresiones obtenidas para las cónicas, trasunto de la propiedad fundamental que satisfacen como lugares planos, se aprecia que, en el caso de la elipse y²2

>lx. Estas propiedades de las curvas expresadas por estas desigualdades son las que sugirieron, con base en el lenguaje griego ordinario, los nombres de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola, bautizadas por Apolonio hace más de dos mil años. Así los nombres no sólo no son arbitrarios sino que responden a la semántica de los términos y han sido tan afortunados que han quedado firme y unánimemente asociados al diccionario geométrico de las cónicas para siempre.

Las Cónicas de Apolonio fueron escritas en ocho libros de los que conservamos siete gracias a los trabajos de Thabit ibn Qurra (hacia 856 d.C.) y de Edmond Halley (1656-1742).

El Libro I de Las Cónicas de Apolonio se inicia con la generación de las cónicas, pero una vez que se obtienen mediante consideraciones estereométricas las relaciones básicas entre lo que llamaríamos las coordenadas de un punto de la curva en el plano, expresadas por las ecuaciones descritas, Apolonio se dedica a estudiar por métodos planimétricos las propiedades fundamentales de las cónicas, incluyendo tangentes y diámetros conjugados, a partir de esas ecuaciones planas, obviando toda referencia explícita al cono generador. Apolonio utiliza de forma sistemática un par de diámetros conjugados o un diámetro y una tangente como equivalente de un sistema de coordenadas oblicuas, habiendo demostrado previamente que si se traza una recta por un extremo de un diámetro de una elipse o de una hipérbola, paralela a su diámetro conjugado, la recta trazada es tangente a la cónica. El sistema de referencia diámetro–tangente se muestra de una significativa utilidad ante la invariancia de la ecuación de la cónica frente a un cambio de referencia diámetro–tangente de un punto a otro punto de la cónica (Proposiciones 41 a 49). En particular, Apolonio conocía las propiedades de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas xy=a².

El Libro II abunda en nuevas propiedades y hace un estudio exhaustivo de las asíntotas. Al final del Libro estudia el problema de trazar una tangente que forme un ángulo dado con el diámetro que pasa por el punto de contacto.

El Libro III estudia primero propiedades de triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes y diámetros conjugados y otras propiedades de las tangentes, entre ellas se establece, en la Proposición 41, cómo tres tangentes a la parábola se cortan en la misma razón de modo que la parábola resulta envolvente de las rectas con esta propiedad. En la proposición 43 aparece la hipérbola como lugar de puntos tales que xy=constante, donde x e y son abscisa y ordenada respecto a los ejes constituidos por las asíntotas. Después Apolonio estudia una serie de hermosas propiedades focales, entre las que destacan las Proposiciones 51 y 52 que permiten el trazado de estas cónicas mediante una composición de movimientos continuos y que sirven para definirlas de forma planimétrica como lugares geométricos:

«En una hipérbola la diferencia de distancias de cada punto a los focos es constante e igual al eje transverso»,

«En una elipse la suma de distancias de cada punto a los focos es constante e igual al eje mayor».,

En el Libro IV se estudian los puntos de intersección de las cónicas. Destaca la Proposición 9 que exhibe un método de trazar dos tangentes a una cónica desde un punto.

El Libro V es una de las principales obras maestras de la Geometría griega. Está dedicado a los segmentos máximos y mínimos, es decir, a la distancia máxima y mínima de un punto a los de una cónica –las rectas normales–. En este Libro encontramos el germen de la teoría de evolutas y evolventes que figura en la obra de Huygens Horologium Oscilatorium de 1673. Al intuir el concepto de curvatura, Apolonio se sitúa en las raíces de la Geometría Diferencial. En las Proposiciones 51 y 52,mediante métodos puramente sintéticos, Apolonio obtiene la evoluta de las cónicas como lugar de los centros de curvatura, mediante la determinación del número de normales distintas desde cada punto. Por ejemplo, para la elipse y la hipérbola: (x²/b²)+ (y²/b²)=1,el brillante resultado equivale a describir de forma sintética las curvas que en el lenguaje de la Geometría Analítica tendrían por ecuación:

(ax)^2/3 ± (by)^2/3 = (a² ± b²)^2/3 , [ signo + para la elipse, signo – para la hipérbola].

En las proposiciones 55-63 Apolonio construye la normal a una cónica desde un punto exterior mediante la intersección de la cónica dada con una hipérbola equilátera, llamada Hipérbola de Apolonio asociada al punto.

El Libro VI está dedicado a la igualdad y semejanza de cónicas. Sobresalen en este Libro las Proposiciones 28, 29 y 30, donde se resuelve el problema de dados una cónica y un cono circular recto hallar una sección del cono que sea igual a la cónica dada.

El Libro VII relaciona numerosas propiedades de los diámetros conjugados entre las que sobresalen las de las Proposiciones 12 y 13 acerca de la constancia de la suma en la elipse y la diferencia en la hipérbola de los cuadrados de los diámetros conjugados.

 

Las Cónicas de Apolonio en los manuscritos Vaticanos

 

Páginas de Las Cónicas de Apolonio, quizá el más elegante de todos los manuscritos matemáticos griegos de la colección vaticana (Vat. gr. 205 pp. 78-79 math07a NS.03 ). Data de 1536. Se exhiben,con excelentes figuras, las Proposiciones 2–4 del Libro III sobre la igualdad de áreas de triángulos y cuadriláteros formados por tangentes y diámetros de las cónicas, y por tangentes y líneas paralelas a las tangentes.

 

Frontispicio de la edición príncipe de Edmond Halley de Las Cónicas de Apolonio de 1710. Es una obra monumental basada en la edición de Thabit ibn Qurra (hacia 856 d.C.).

En la base de la ilustración aparece un texto en latín de gran valor emblemático y metafórico sobre el significado de la Geometría como ciencia del espíritu, tomado del epígrafe primero del Prefacio del Libro VI de DeArchitectura de Vitruvio. Se trata de una exclamación promovida por la súbita presencia ante unos náufragos, como evidencia de la presencia de la civilización, de figuras sobre hipérbolas de Apolonio, que reza en estos términos:

«Aristipo, filósofo socrático, habiendo naufragado en el mar de Rodas, y habiendo observado en la playa dibujos con diseños geométricos, se dice que exclamó ante sus compañeros: estamos de buena esperanza ya que veo huellas de hombre.»

En la Introducción de la edición de Ver Eecke (Les Coniques d’Apollonius de Perge. Blanchard, París, 1963, p.XLIX), el editor escribe:

«Esta edición [de Halley], en la que colaboró Gregory hasta su muerte, se compone de dos partes. La primera comprende el texto griego de los cuatro primeros libros, publicada por vez primera, acompañada de la versión latina de Commandino más o menos corregida, así como los textos griegos de los lemas de Pappus y del comentario de Eutocio, acompañadas igualmente de versiones latinas. La segunda parte comprende la traducción latina de los Libros V, VI y VII, hecha sobre la versión árabe deThabit ibn Qurra; el texto griego, con la traducción latina, de los lemas de Pappus relativos a estos libros, y una reconstitución conjetural del Libro VIII, realizada por Halley».

 

Dos problemas históricos: el Problema de Apolonio y el Problema de Pappus

El Problema de Apolonio y el Problema de Pappus son dos célebres cuestiones geométricas de enorme relevancia histórica que tienen su origen en los trabajos de Apolonio.

En una de las obras perdidas, Tangencias, aparece el famoso «Problema de Apolonio» cuyo enunciado es:

«Dados tres elementos (punto, recta o circunferencia), trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres».

El problema da lugar a diez casos diferentes. Los dos más sencillos son: circunferencia que pasa por tres puntos (Euclides, IV.5) y circunferencia inscrita a un triángulo (Euclides, IV.4). Sobre el más complicado: «Dadas trescircunferencias hállese otra tangente a las tres», durante lo siglos XVI y XVII los eruditos sospecharon que Apolonio no lo había resuelto por lo que algunos matemáticos como Vieta (1540-1603) y Descartes se aplicaron a ello. Los matemáticos árabes Ibrahim ibn Sinan (909-946) y Ibn al-Haytham (965-1041) habían encontrado una solución mediante el Álgebra. Más tarde, Regiomontano (1436-1476) ensayó su resolución recurriendo a las secciones cónicas y Vieta da una solución puramente geométrica en su obra Apollonius Gallus. Después de haber dado la solución general, Vieta da cuatro soluciones particulares según que el cuarto círculo sea tangente en el interior o en el exterior de los otros tres. Descartes retoma el problema con los instrumentos algebraicos de La Geometría en su correspondencia de noviembre de 1643 con la princesa Elisabeth de Bohemia, donde más que resolver un problema geométrico (el problema ya lo habían resuelto otros matemáticos), se plantea un problema estético: ¿Cuál será la solución más hermosa? Newton le dio una solución sólo con regla y compás en el problema XLVII de su Arithmetica Universalis.

En la Dedicatoria de las Cónicas, Apolonio hace alusión a otro problema que con el tiempo se convertiría en uno de las cuestiones más difíciles e importantes, sobre la que se pondrá a prueba la reconocida capacidad de las Geometrías Analítica de Fermat y Descartes para resolver antiguos y nuevos problemas. Se trata del «lugar geométrico determinado por tres o cuatro rectas» –para el caso general, Descartes lo bautiza como «Problema de Pappus»–:

«Dadas tres (resp. cuatro) rectas en un plano, encuéntrese el lugar geométrico de un punto que se mueve de forma que el cuadrado de la distancia a una de las tres rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos (resp. El producto de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos), si las distancias se miden en direcciones tales que formen ángulos dados con las líneas correspondientes.»

Apolonio escribe al respecto (Les Coniques, Ver Eecke, 1963, p.2):

«El tercer libro contiene numerosos y curiosos teoremas que son útiles en la construcción de los lugares sólidos, [...]. La mayor parte y los más bellos de estos teoremas son nuevos, y al concebirlos, me di cuenta de que Euclides sólo había tratado el lugar geométrico con respecto a tres o cuatro líneas [en su obra perdida Los Lugares Sólidos], de una manera accidental y poco adecuada, pues no era posible conseguir su construcción sin mis descubrimientos complementarios.»

Pappus realiza en el Libro VII de la Colección Matemática un estudio exhaustivo del problema, propone la generalización a más de cuatro rectas – para tres o cuatro rectas el lugar resulta ser una cónica– y reconoce que con independenca del número de rectas involucradas en el problema, queda determinada una curva concreta. He aquí la observación más general sobre lugares geométricos de toda la Geometría griega, lo que implica, además, la consideración de infinitos tipos nuevos de curvas planas, algo esencial en un mundo geométrico tan limitado en cuanto a curvas planas. Naturalmente los métodos sintéticos le desbordan a Pappus en el abordaje del problema. El Álgebra sincopada de Diofanto no es aún un Análisis Algebraico. Cuando lo sea, tras la actuación del Arte Analítica de Vieta, el nuevo Álgebra simbólica actuará sobre el Análisis Geométrico de los griegos para dar a luz las Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes como poderosos instrumentos algorítmicos de ataque de los problemas geométricos difíciles como el propio Problema de Pappus.

EL PROBLEMA DE APOLONIO Y EL PROBLEMA DE PAPPUS:

Frontispicio de L'Algèbre nouvelle de Vieta, 1630. Biblioteca Nacional. París.

Esta obra es la traducción al francés de A.Vasset de la obra de Vieta In Artem Analyticem Isagoge.

A la izquierda figura la imagen de Apolonio y a la derecha la del propio Vieta llamado l'Apollonius français, por su interés en la restitución de las obras perdidas de Apolonio (sobre lo que había escrito el opúsculo Apollonius Gallus, publicado en París en 1600), donde resuelve el famosoProblema de Apolonio de los cuatro círculos tangentes, que evoca la figura que está a su pies. Vieta sostiene en su mano izquierda una diadema sobre a cual está escrito B+D, simbolizando su creación del cálculo literal del Álgebra simbólica del Arte Analítica.

El Problema de Pappus en la edición latina de van Schooten de La Geometría de Descartes de 1659.

El Problema de Pappus (llamado en su enunciado más sencillo lugar de tres o cuatro rectas), es una de las cuestiones más importantes de toda la Historia de la Geometría, por ser la piedra de toque de aplicación de los diversos métodos y técnicas geométricos. Planteado por los geómetras griegos a partir de Euclides, estudiado por Apolonio y sobre todo por Pappus, su dificultad desbordaba, siglo tras siglo, las posibilidades del Análisis geométrico griego. El Problema de Pappus campea a lo largo de La Geometría de Descartes, como si fuera su punto de inspiración, casi como un reto a alcanzar. Como un bautismo de fuego que debe pasar su obra geométrica, será Descartes quien lo resuelva de forma brillante y general poniendo de manifiesto la potencia de unos métodos analíticos, que en el curso de los años se convertirán en la esencia de la Geometría Analítica.

 

La influencia histórica de Apolonio. Coordenadas y Geometría Analítica

A lo largo de las páginas anteriores hemos visto las importantes y originales aportaciones de Apolonio al acervo geométrico griego, con su abundante producción científica, entre la que sobresale el exhaustivo y especializado trabajo sobre las cónicas donde estudia las propiedades fundamentales de todos los clásicos elementos notables de estas curvas: ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, tangentes y normales; y lo hace con una maestría y amplitud que sólo en los últimos siglos se pudo agregar algo nuevo a lo que el Gran Geómetra descubrió. Apolonio incluso oteó algunas teorías modernas del ámbito de la Geometría Proyectiva como la de la polaridad y la generación de las cónicas por dos haces proyectivos que habría de desarrollar Steiner (1796-1863), de forma rigurosa, veinte siglos más tarde. También con su aproximación a los conceptos de envoluta y evolvente, en relación con los centros de curvatura, así como los de involuta y envolvente, en conexión con el estudio de variación de las tangentes, Apolonio se acerca a la Geometría Diferencial.

Si en muchos ámbitos hay que conceder a Apolonio el valor de pionero, entre todos ellos hay que destacar su papel trascendental en el advenimiento de la Revolución científica a partir del Renacimiento. Así lo reconocen algunos sabios e historiadores de la ciencia:

F.Vera en la obra Breve Historia de la Geometría (Losada, Buenos Aires, 1963, cap. IV.5, p.70), escribe:

«Las investigaciones de Apolonio asumen una categoría cósmica cuya importancia se puso de manifiesto en el desarrollo de la mecánica celeste a lo largo del siglo XVII, pues sin la obra del geómetra de Perga, Kepler no habría descubierto las leyes de la dinámica planetaria ni Newton las de la gravitación universal».

También A.Koiré en Estudios de Historia del Pensamiento Científico (Siglo XXI, Madrid, 1971, cap.4, p.44), se expresa en términos parecidos:

«La meditación sobre los libros de Apolonio hará posible la revolución astronómica operada por Kepler».

Asimismo, B.Mandelbrot, en el artículo De Apolonio de Perga a Kepler (en Pensar la Matemática, Tusquets, Barcelona, 1984, cap.6, pp.115-116),viene a decir algo similar:

«Los griegos descubrieron las cónicas en estado salvaje en los conos o cilindros y Apolonio las cultivó como un mero juego de ingenio. ¿Cuál sería la sorpresa, quince siglos después, cuando Kepler descubrió que la trayectoria del planeta Marte es elíptica, y Galileo que la caída de las piedras es parabólica».

Otro rasgo de sutileza muy encomiable en Apolonio es su definitiva clasificación de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales, según que su solución exija,respectivamente, rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores. Se trata de una importante idea acerca de la elección de los instrumentos de solución adecuados, que viene a suponer una extensión de la glorificación platónica de la línea recta y el círculo de los problemas planos y que se traducirá más tarde en el estudio de la irreducibilidad de las ecuaciones a las que conducen los problemas geométricos. Es digno de recalcar que la idea de ajustar la categoría de los instrumentos geométricos a utilizar a la naturaleza de los problemas geométricos a resolver, en la línea de aplicar siempre los medios más simples posibles, será, no sólo un rasgo distintivo de las futuras Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes, sino un componente general de la mejor Matemática, ciencia en la que la elegancia y la economía en el razonamiento es un importante valor añadido.

Con lo que se acaba de decir, entramos en lo que quizá es el aspecto más relevante de la influencia de Apolonio en el ámbito estricto de la Matemática: su incidencia histórica sobre la emergencia de la Geometría Analítica. En el estudio de las cónicas, Apolonio considera ciertas líneas de referencia (diámetros conjugados o diámetro-tangente), que juegan un papel de coordenadas. En el segundo caso, al tomar un diámetro y una tangente en uno de sus extremos comorectas de referencia, las distancias medidas a lo largo del diámetro a partir del punto de tangencia son las abscisas y los segmentos paralelos a la tangente, interceptada por el diámetro y la curva, son las ordenadas. Para cada cónica, la conocida relación de áreas y longitudes en forma de proporción (propiedad geométrica de la curva equivalente a su definición como lugar geométrico) se traduce en una relación entre las abscisas y las correspondientes ordenadas, que Apolonio llamaba el Symptoma de la curva y que no es sino la expresión retórica de la ecuación analítica de la curva, que en su evolución histórica daría lugar a la llamada por Fermat en su Introducción a los Lugares Planos y Sólidos –su Geometría Analítica– la Ecuación característica o Propiedad específica de la curva. El lenguaje de Apolonio es sintético, utilizando con una pericia increíble la técnica pitagórica de la Aplicación de las Áreas, pero sus «métodos de coordenadas» guardan una gran similitud con los de la Geometría Analítica.

Al analizar la posición histórica de Apolonio en el camino hacia la Geometría Analítica digamos que, a pesar de los conceptos y elementos geométricos introducidos, que parecen emular la presencia de sistemas de referencia con coordenadas –abscisas y ordenadas– que permiten expresar las ecuaciones de las cónicas, estossistemas de coordenadas aparecían siempre superpuestos a posteriori a las curvas para estudiar sus propiedades. En la Geometría griega, las coordenadas,variables y ecuaciones no eran elementos de partida, sino conceptos subsidiarios derivados de situaciones geométricas concretas de curvas que determinan lasecuaciones sin que se dé la situación inversa, es decir, que las ecuaciones determinen las curvas, ya que éstas siempre se producían mediante una construcción estereométrica como secciones de un sólido o de forma cinemática como composición de movimientos –tal es el caso de la Espiral de Arquímedes o la Cuadratriz de Dinostrato–, de forma que el conjunto de curvas manejadas por los griegos fue necesariamente muy limitado. Como manifiesta C.Boyer (Historia de la Matemática, Alianza, Madrid,1986, p.208):

«El hecho de que Apolonio, uno de los más grandes geómetras de la antigüedad, no consiguiese desarrollar de una manera efectiva la Geometría Analítica, se debe probablemente más a una pobreza en el número de curvas que de pensamiento; los métodos generales no son ni muy necesarios ni muy útiles cuando los problemas se refieren siempre a un número limitado de casos particulares. Por otra parte, es bien cierto que los primeros inventores de la Geometría Analítica tenían a su disposición todo el álgebra renacentista [el Álgebra de los cosistas italianos y el Álgebra simbólica de Vieta], mientras que Apolonio tuvo que trabajar con las herramientas del Álgebra Geométrica, mucho más rigurosa pero a la vez mucho más incómoda de manejar».

No obstante lo dicho y con todas las limitaciones apuntadas –carácter sintético de la Geometría griega, ausencia de un Álgebra simbólica en sentido algorítmico, ...–, debemos ponderar la magnífica obra de Apolonio, primer estadio en la Historia de la Matemática sobre la aplicación de coordenadas al estudio de las propiedades de las curvas; y aunque el discurso retórico sustituye al simbolismo y la construcción geométrica a las técnicas algebraicas, las relaciones de áreas y longitudes mediante las que Apolonio expresa las propiedades intrínsecas de la curva se traducen con gran facilidad (y así lo hará Fermat) al ulterior lenguaje del Álgebra simbólica de ecuaciones que permitirá la asociación de curvas y ecuaciones, que es la verdadera esencia de la Geometría Analítica. Así pues, el trabajo de Apolonio –y antes el de Menecmo– inauguran una singladura histórica en una dirección que apunta hacia el desarrollo de las Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes.

En resumen, El Análisis Geométrico griego de Apolonio utilizaba un equivalente de las coordenadas pero sólo empleaba Álgebra Geométrica. El Arte Analíticade Vieta desarrolla el Álgebra simbólica pero no usa coordenadas. Al aunar ambos instrumentos, coordenadas y Álgebra literal, Fermat y Descartes alumbran la Geometría Analítica estableciendo un puente para transitar entre la Geometría y el Álgebra, lo que permite asociar curvas y ecuaciones, a base de aplicar el Análisis algebraico de Vieta a los problemas de lugares geométricos de Apolonio, definidos, en un sistema de coordenadas, por una ecuación indeterminada en dos incógnitas, llamada la ecuación de la curva, expresión que al estar intrínsecamente vinculada a la curva,implícitamente resume sus propiedades geométricas, las cuales se ponen de manifiesto de forma palmaria mediante el cálculo algebraico.