Apuntes de Cinemática

el movimiento relativo

Movimiento relativo de rotación uniforme

Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie de la Tierra está sometido a dos fuerzas la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis,

La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc.

La fuerza centrífuga es responsable del cambio en el módulo y en la dirección de la aceleración de la gravedad a distintas latitudes.

Las fuerzas reales como la fuerza que ejerce un muelle, la fuerza de atracción gravitatoria, las fuerzas eléctricas o magnéticas son las que describen las interacciones entre los cuerpos. Las fuerzas de inercia solamente se observan en sistemas de referencia acelerados, para distinguirlas de las fuerzas reales se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas.

La introducción de este tipo de fuerzas junto con las reales facilita la resolución de los problemas de Mecánica en los sistemas de referencia en movimiento relativo de rotación uniforme como la Tierra.

Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes

v'=v−ω×ra'=a−2ω×v'−ω×(ω×r)${\displaystyle \begin{array}{l}v\text{'}=v-\omega \times r\\ a\text{'}=a-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \left(\omega \times r\right)\end{array}}$

Su justificación la podemos encontrar en algunos libros de texto

Movimiento rectilíneo y uniforme

Vector posición

Una partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x₀, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante ω en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema inercial

La posición de la partícula P en función del tiempo es

x=x₀+vt
y=0.

El vector posición es r=xi

La trayectoria de la partícula es rectilínea

Sistema no inercial

x’=x·cos(ω t)
y’=x·sin(ω t)

El vector posición es

r= x·cos(ω t)i’+ x·sin(ω t)j’

Si la partícula parte del origen en el instante t=0, x=v·t. La distancia r de la partícula al origen en el instante t es

r=v2t2cos2(ω t)+v2t2sin2(ω t)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=vt${\displaystyle r=\sqrt{v^2{t}^2{\cos }^2(\omega t)+v^2{t}^2{\sin }^2(\omega t)}=vt}$

El ángulo girado por el sistema no inercial al cabo de un cierto tiempo t es θ=ω·t

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es

r=vωθ${\displaystyle r=\frac{v}{\omega }\theta }$

Que es una espiral de Arquímedes, tal como puede verse en el applet más abajo. Esta es la espiral que describe la cinta de una casete de espesor d al enrollarse, o la trayectoria que sigue una aguja en un disco.

Vector velocidad

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante

v=vi

Sistema no inercial

Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial

v′x=dx'dt=vcos(ω t)−xω sin(ω t)v′y=dy'dt=vsin(ω t)+xω cos(ω t)${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_x^{\text{'}}=\frac{dx\text{'}}{dt}=v\cos (\omega t)-x\omega \sin (\omega t)\\ v_y^{\text{'}}=\frac{dy\text{'}}{dt}=v\sin (\omega t)+x\omega \cos (\omega t)\end{array}}$

Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula

v'=v−ω×r${\displaystyle v\text{'}=v-\omega \times r}$

Con

v=vi
ω =-ω k
r=xi

se obtiene

v’=vi+ω xj

Ahora, relacionamos los vectores unitarios i, j, del sistema de referencia OXY inercial con los vectores unitarios i’, j’ del sistema OX’Y’ no inercial

i=i'cos(ω t)+j'sin(ω t)j=−i'sin(ω t)+j'cos(ω t)${\displaystyle \begin{array}{l}i=i\text{'}\cos (\omega t)+j\text{'}\sin (\omega t)\\ j=-i\text{'}\sin (\omega t)+j\text{'}\cos (\omega t)\end{array}}$

Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v’

v'=(vcos(ω t)−xωsin(ω t))i'+(vsin(ω t)+xω cos(ω t))j'${\displaystyle v\text{'}=\left(v\cos (\omega t)-x\omega \sin (\omega t)\right)i\text{'}+\left(v\sin (\omega t)+x\omega \cos (\omega t)\right)j\text{'}}$

Vector aceleración

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección

a=0

Sistema no inercial

Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a’ medida en el sistema no inercial.

a′x=dv′xdt=−2vω sin(ω t)−xω2cos(ω t)a′y=dv′ydt=2vω cos(ω t)−xω2sin(ω t)${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_x^{\text{'}}=\frac{d{v}_x^{\text{'}}}{dt}=-2v\omega \sin (\omega t)-x{\omega }^2\cos (\omega t)\\ a_y^{\text{'}}=\frac{d{v}_y^{\text{'}}}{dt}=2v\omega \cos (\omega t)-x{\omega }^2\sin (\omega t)\end{array}}$

Veamos ahora mediante la fórmula

a'=a−2ω×v'−ω×(ω×r)${\displaystyle a\text{'}=a-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \left(\omega \times r\right)}$

Los datos que tenemos son

a=0, el movimiento es uniforme en el sistema de referencia inercial
ω =-ω k
r= x·cos(ω t)i’+ x·sin(ω t)j’
v’=(v·cos(ω t)- x·ω ·sin(ω t))i’+(v·sin(ω t)+ x·ω ·cos(ω t))j’

Calculamos cada aceleración separadamente

Aceleración de Coriolis

-2ω × v’=-2(-ω k)(v_xi’+v_yj’)=-2ω v_yi’+2ω v_xj’

=-2ω (v·sin(ω t)+ x·ω ·cos(ω t))i’+2ω (v·cos(ω t)- x·ω ·sin(ω t))j’

En la figura, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v'. A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano.

Aceleración centrífuga

-ω × (ω × r)

con  r= x·cos(ω t)i’+ x·sin(ω t)j’

-ω × (ω × r)=-(-ω k) × (ω ·x·sin(ω t)i’-ω ·x·cos(ω t)j’)

=ω²·x·cos(ω t)i’+ω²·x·sin(ω t)j’

En la figura, se muestra el resultado del triple producto vectorial. La aceleración centrífuga tiene dirección radial.

Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a’ medida en el sistema no inercial

a’=(-2ω ·v·sin(ω t)- ω²·x·cos(ω t))i’+(2ω ·v·cos(ω t)- ω²·x·sin(ω t))j’