Apuntes de Geometría

los polígonos regulares

Definición de polígono regular

Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.

Los vértices de un polígono regular están circunscritos en una circunferencia

Elementos de un polígono regular

Centro

Punto interior que equidista de cada vértice

Radio

Es el segmento que va del centro a cada vértice.

Apotema

Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Perímetro de un polígono regular

El perímetro es igual al número de lados por la longitud del lado.

P = n · l

Área de un polígono regular

Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados del mismo.

Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º.

Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados. Por ejemplo: para el octógono (8 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 3, 2 y 1, y de ellos, primos respecto a 8 solo tendremos el 3, por lo tanto podremos afirmar que el octógono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 3 en 3 (ver figura).

En un polígono regular podemos distinguir los siguientes elementos:

Centro: Es el punto que equidista de los vértices del polígono.

Radio: Es la distancia del centro del polígono a los vértices, que corresponde con el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Diagonal: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. El número de diagonales se calcula mediante la fórmula Nd = n • (n – 3) / 2, siendo n el número de lados del polígono.

Diagonal principal: Es el segmento que une dos vértices opuestos, en un polígono de número par de lados, estas diagonales pasan por el centro del polígono.

Altura: Es la distancia desde un vértice al centro del lado opuesto, en los polígonos de número impar de lados. En los polígonos de lados pares, la altura es la distancia entre dos lados paralelos paralelos.

Ángulo central: Es el que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono.

Ángulo interior: Es el formado por dos lados consecutivos. Su valor es igual a 180º, menos el valor del ángulo central correspondiente.

Apotema: Es la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado.

Perímetro: Es la suma de la longitud de todos sus lados.

Área: Es igual al producto del semiperímetro por la apotema.

Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos. Cada uno de los segmentos se denomina lado. El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo. El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser  mayor o igual a tres. Polígono cruzado: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante. Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo. Polígono regular. Si tiene lados y ángulos iguales. El representado a la derecha es polígono equilátero,(lados iguales) perono es regular (ángulos no iguales) Cruzado Reg Estrellado 9/2 Convexo No convexo (cóncavo) Regular convexo  Regular estrellado 5/2 No regular

Algunas propiedades de los polígonos:

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).		En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.		Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2

Polígonos regulares:  convexos y estrellados.

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.
Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular. Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita. Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. En un polígono regular de n lados: Angulo central =360/n Angulo interior = 180 - 360/n Área = Perímetro x Apotema /2;   A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a (L/2)2 + a2 = r2  por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.
No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta. 

Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.

N=3Triangulo Equilátero	N= 4 Cuadrado         .	N=5Pentágono Regular	N=6Hexágono Regular	N=8Octógono Regular.	N=10Decágono Regular	N=15Pentadecágono Regular	N=17Heptadecágono Regular

	Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado.
	Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes.

Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección:  6, 8, 10, 12,...  lados.

Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados esto es, de lados  N=3 (n=0), N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537 (n=4).

 También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos  habían fracasado.

En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que  es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad.

	Construcciones aproximadas de los polígonos regulares de 7 y 9 lados. En la imagen ampliada se observa la aproximación.
A la derecha se muestra ampliado 10 veces, las inmediaciones del vértice A.
Existen procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de lados cualesquiera, que suelen tratarse en temas de dibujo técnico.

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.
También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del regular convexo, uniendo vértices  no consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua.

No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas.

La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al otro 45º.

OCTÓGONO  ESTRELLADO 8/3		ESTRELLA FORMADA POR  DOS CUADRADOS.
Un polígono estrellado N/M se construye a partir del polígono regular N uniendo puntos de M en M.En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres. Pinchando en el dibujo se accede a un applet que genera algunos polígonos regulares estrellados y algunas propiedades de estos.		También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes.

Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.