Historia de los matemáticos más famosos

Eudoxo de Cnido

Eudoxo de Cnido (en griego Εὔδοξος ὁ Κνίδιος) (Cnido, actual Turquía, ca. 390 a. C. – ca.337 a. C.) fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias, como el poema de Arato sobre astronomía.

Eudoxo fue el primero en plantear un modelo planetario basado en un modelo matemático, por lo que se le considera el padre de la astronomía matemática.

Biografía

Eudoxo nació en Cnido, quizás en el año 408 a. C., aunque otros autores lo trasladan 8 años hasta 400 a. C. o 18 hasta 390 a. C. Probablemente nació en una familia relacionada con la medicina, ya que esos fueron sus primeros estudios, bajo la tutela de Filisto, y ejerció la profesión durante algunos años.² Aprendió también matemáticas de Arquitas. En Atenas acudió a la Academia de Platón y posteriormente, recomendado por el rey Agesilao II al faraón Nectanebo I, estudió astronomía enHeliópolis durante más de un año.³

A su vuelta, fundó en Cícico una escuela de Filosofía, Matemáticas y Astronomía; también enseñó en otras ciudades del Asia Menor. De nuevo en Atenas, sobre el año368 a. C., volvió a tomar contacto con Platón y figuró como uno de los miembros más brillantes de la Academia. Su relación con Platón es uno de los puntos más comentados de su biografía y la naturaleza de dicha relación no es clara: según Diógenes Laercio, Platón lo recibió hostilmente, celoso de su popularidad; Plutarcoafirma que desconfiaba de las ideas matemáticas de Eudoxo. Otras fuentes, no obstante, afirman que la relación fue cordial y Eudoxo siguió las orientaciones de Platón.³ Alrededor del año 350 a. C., Eudoxo retornó a Cnido, donde acababa de instaurarse un régimen democrático y se le encargó redactar la nueva constitución.²

Filóstrato lo incluye en el Libro I de su obra Vidas de los Sofistas en razón del ornato de su lenguaje y su facilidad para la improvisación. Eudoxo murió en su ciudad natal en el año 355 a. C. (en el 347 a. C. si consideramos el nacimiento en el 400 a. C., en 337 a. C. si lo consideramos en 390 a. C.).

Labor en astronomía

Su fama en astronomía matemática se debe a la invención de la esfera celeste y a sus precoces aportaciones para comprender el movimiento de los planetas, que recreó construyendo un modelo de esferas homocéntricas que representaban las estrellas fijas, la Tierra, los planetas conocidos, el Sol y la Luna, y dividió la esfera celeste en grados de latitud y longitud.

Su modelo cosmológico afirmaba que la Tierra era el centro del universo y el resto de cuerpos celestes la rodeaban fijados a un total de veintisiete esferas⁴ reunidas en siete grupos. En este modelo se basó Aristóteles para desarrollar su propio modelo cosmológico.⁵ Hay referencias a explicaciones suyas cíclicas de los fenómenos naturales de la tierra, en Plinio el Viejo⁶

Para explicar las retrogradaciones que se observaban en el movimiento de los planetas (aparentemente, vistos desde la Tierra, retroceden en su órbita), Eudoxo introdujo la hipopede o lemniscata esférica, que es resultado de la combinación del movimiento de las dos esferas más internas de su modelo. Sobre esta figura rotaría cada cuerpo celeste en correspondencia con su período sinódico. Por su parte, el tiempo de rotación sobre la esfera en que se encuentra corresponde a su periodo sideral.⁷

Labor en matemáticas

Fue discípulo de Arquitas de Tarento. Su trabajo sobre la teoría de la proporcionalidad denota una amplia comprensión de los números y permite el tratamiento de las cantidades continuas, no únicamente de los números enteros o números racionales. Cuando en esta teoría fue resucitada por Tartaglia y otros estudiosos en el siglo XVI, se convirtió en la base de cuantitativas obras de ciencias durante un siglo, hasta que fue sustituida por los métodos algebraicos de Descartes.

Eudoxo demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura, teoremas ya intuidos por Demócrito.⁷ Para demostrarlo elaboró el llamado método de exhausción,⁸ antecedente del cálculo integral,² para calcular áreas y volúmenes. El método fue utilizado magistralmente por Arquímedes. El trabajo de ambos como precursores del cálculo fue únicamente superado en sofisticación y rigor matemático por Newton y Leibniz.

Una curva algebraica lleva su nombre, la campila de Eudoxo:

Eudoxo de Cnido

Eudoxo fue el principal matemático de la Academia de Platón. No sólo se dedicó a las matemáticas sino también a la ciencia en general. Algunos piensan que la estimación de Aristóteles de que la circunferencia de la Tierra era unos 400 000 estadios (40 000 millas) se debía a Eudoxo. Se afirma que fue el mejor de los matemáticos del periodo clásico y sólo superado porArquímedes en toda la Antigüedad. Su contribución más importante a las matemáticas fue la llamada teoría de las proporciones. El objetivo de esta teoría fue evitar el uso de los irracionales como números sin dejar de hacer geometría.

Eudoxo siguió la tradición pitagórica de la exclusión de los inconmensurables.

Lo que hizo fue, en esencia, introducir la noción de magnitud, que no era un número pero servía para tratar ángulos, segmentos, áreas, volúmenes, que variaban de una manera continua. Mientras que los números eran discretos, se podía pasar de uno a otro, las magnitudes eran continuas. Las magnitudes, por definición, no podían tener valores cuantitativos. Para Eudoxo, una razón de magnitudes era una proporción, es decir una identidad de dos razones fueran conmensurables o no. Tanto el concepto de razón como de proporción sólo tenían sentido en la geometría, no en la aritmética, porque no trataba de números.

Esta teoría abría posibilidades de trabajo en la geometría sobrepasando los aspectos críticos e "inaceptables'' de los irracionales. Sin embargo, como comentaremos luego, generaron serias limitaciones a las matemáticas griegas. Por ejemplo, en primer lugar, redujo el uso de los irracionales sólo a la geometría.

Sobrevaloró históricamente el campo de la geometría, durante siglos, la que se afirmó teórica e incluso filosóficamente como la única disciplina matemática capaz de tener un fundamento lógico riguroso.

Para Bell:

"La teoría eudoxiana de la proporción dio validez indirectamente a la regla empírica de los egipcios para el volumen de un tronco de pirámide y completó el trabajo de los pitagóricos sobre los números similares. Certificó también el método del 'agotamiento' y, después de Dedekind (1 872), el uso del cálculo integral en la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. En resumen, proporcionó una base para el sistema de los números reales de análisis matemático.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 74]

Es curioso mencionar que, aunque Eudoxo seguía la tradición de Pitágoras, la teoría de las proporciones creaba un énfasis en las matemáticas griegas: se diera un giro hacia la geometría y no hacia la aritmética y los números, que, recuérdese, para los pitagóricos eran el componente fundamental de la realidad. Hay un cambio radical.

Una segunda consecuencia de esta seria separación entre geometría y aritmética, con privilegio de la primera, fue el debilitamiento de la aritmética y el álgebra en el mundo griego. Todas aquellas situaciones aritméticas o algebraicas que generaran irracionales eran convertidas en problemas geométricos.

En la Grecia clásica, con un distanciamiento de lo empírico, lo práctico, de la inducción, la experimentación, y con el predominio de visiones que afirmaban a las matemáticas como parte de un mundo ideal, alejado del entorno, se dio, consecuentemente, una separación entre las matemáticas y los requerimientos prácticos en el comercio o la agrimensura. Las matemáticas perdieron una motivación social para el desarrollo de la aritmética y el álgebra.

Debe decirse, sin embargo, como un elemento histórico y cultural fundamental, que esta separación tendería a desaparecer o por lo menos a disminuir en el periodo alejandrino, que colocó en otra perspectiva el conocimiento cuantitativo, las artes y las técnicas, la vida práctica, y por lo tanto el desarrollo del álgebra y la aritmética.

Eudoxo fue creador del famoso método de exhausción, que luego sería utilizado ampliamente por Arquímedes. Fue el mismo Arquímedes quien atribuyó el origen de este método a Eudoxo. Los matemáticos previos a Eudoxo de Cnido (alrededor de 408 - 355 a.C.) sabían que era posible inscribir y circunscribir figuras rectilíneas a una curvilínea y aumentar el número de lados o caras indefinidamente. Pero, precisamente, ahí estaba el problema: el infinito.

Se reconoce que Eudoxo al introducir las magnitudes, como un mecanismo para poder utilizar inconmensurables en la geometría, tuvo que subrayar la importancia de la deducción a partir de axiomas explícitos. Es decir, manipular razones inconmensurables era un asunto muy delicado desde el punto de vista lógico, y obligaba a precisiones y a un manejo deductivo muy cuidadoso. Esto indicaría que los trabajos de Eudoxo debieron ejercer una influencia decisiva en una obra clásica que afirmó la axiomática y el método deductivo en las matemáticas: losElementos de Euclides.

Ahora bien, en lo que se refiere a la cosmología, ofreció una teoría planetaria: la de las "esferas homocéntricas'', basada en estos cuerpos geométricos. Se suele valorar como la primera teoría planetaria propiamente. Ya volveremos sobre esto.

También se debería citar en este contexto a Menecmo (375 - 325 a.C.), quien formó parte de la escuela de Eudoxo e, incluso, se sabe, que fue preceptor de Alejandro el Grande. Es el primero en ocuparse de las secciones cónicas, usando tres tipos de conos: de ángulo recto, obtuso y agudo, cortando cada uno por un plano perpendicular a un elemento. En aquel momento, sólo una rama de la hipérbola era aceptada.

Eudoxo de Cnidos fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias. Nació en Cnido, actualmente en Turquía, sobre el 400 a.C.

Sus aportaciones principales son la invención de la esfera astronómica y aportes para comprender el movimiento de los planetas (en astronomía) y su trabajo de la teoría de la proporción y cálculo de ciertos volúmenes mediante el método de exhaución creado por él mismo (en matemáticas). En este artículo vamos a hablar sobre una curva que él mismo introdujo: la hipopede.

La hipopede de Eudoxo

Supongamos una esfera con centro  que gira alrededor de un eje . Sea un punto  en esa esfera que gira y sea  un punto de intersección de los círculos máximos perpendiculares a  y . Si mientras gira la esfera un punto  parte de  y se mueve por el círculo máximo perpendicular a  a la misma velocidad angular que la esfera y en sentido contrario, ese punto  describe una curva con forma de 8 en el espacio.

Según cuenta Simplicio, comentarista de Aristóteles del siglo VI, e interpretó Schiaparelli, Eudoxo llamó hipopede a esa curva.

Si  es el punto del espacio en que coinciden en su movimiento y , el ángulo  es siempre igual al ángulo .

Schiaparelli observó que la hipopede es la intersección de la esfera con un cilindro tangente interiormente a la esfera en el punto  y que también es la intersección de la esfera con un cono cuyo eje es tangente a la esfera por  y paralelo a , y dio una demostración elemental de estos hechos, pero la prueba que sigue es más sencilla.

Suprimimos el giro de la esfera, pero dejamos que  se siga moviendo por su círculo máximo (círculo  de la figura), alejándose de . Si al mismo tiempo que  sale de  salen de  dos puntos  y  moviéndose por el círculo máximo perpendicular a  (círculo  de la figura) en sentidos opuestos y a la misma velocidad angular que  sobre su círculo, el plano en que están ,  y  en cada instante será siempre paralelo al plano tangente a la esfera en .

Ese plano corta a la esfera en un círculo de diámetro  y por tanto el ángulo  es recto. Entonces el ángulo  es complementario del ángulo . Si  es perpendicular al plano , el ángulo  también es complementario del ángulo , y entonces los ángulos  y  son iguales.

Pero el ángulo  inscrito en el círculo de diámetro  es la mitad del ángulo central para el mismo arco, que es el ángulo entre los planos  y .

Por tanto el ángulo entre las rectas  y  es constante. Y como los triángulos , en sus diferentes posiciones, son semejantes, la razón  es constante, donde  es el pie de la perpendicular desde  sobre .

Ahora, si hacemos girar la esfera alrededor del eje  a la misma velocidad angular que el punto  y en sentido contrario, el punto  quedará fijo en el espacio en la posición que ocupaba  y el punto  describirá la hipopede. Como el ángulo entre  y  es constante,  es generatriz de un cono con eje , y como  es constante, el punto  describe una curva que es el resultado de aplicar una homotecia con centro  a la curva que describe el punto , es decir, describe un círculo. Y como la hipopede se proyecta sobre ese círculo, está en un cilindro.

Como corolario obtenemos que la curva intersección de un cilindro con un cono cuyo eje sea una generatriz del cilindro es una hipopede de Eudoxo y por tanto una curva esférica.

En la reconstrucción por Schiaparelli de la teoría astronómica de las esferas homocéntricas de Eudoxo, el movimiento del planeta sobre la hipopede que producen las dos esferas más interiores (de las 4 que usa para cada planeta) sirve para explicar las retrogradaciones planetarias, es decir los retrocesos transitorios que se observan en las trayectorias de los planetas vistos desde la Tierra moviéndose sobre el fondo de estrellas fijas.