Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Tiros frontales a canasta

Esta página está dedicada al estudio de los aspectos esenciales de un deporte popular, el juego del baloncesto.

Trataremos exclusivamente de los tiros frontales a canasta, los más fáciles de describir desde el punto de vista físico, ya que su base esencial son las ecuaciones del tiro parabólico, despreciándose los efectos del rozamiento con el aire, así como los efectos de la rotación del balón.  

El juego del baloncesto

En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas  reglamentarias.

Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:

• El aro está a una altura de 3.05 m del suelo
• El diámetro del aro es de 45 cm
• El diámetro del balón es de 25 cm  

Ecuaciones del tiro parabólico

Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.

Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ₀, con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

{ax=0ay=−g  {vx=v0⋅cosθ0vy=v0⋅sinθ0−g⋅t  {x=v0⋅cosθ0⋅ty=v⋅0sinθ0⋅t−12g⋅t2${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cdot \cos {\theta }_0\\ v_y=v_0\cdot \text{sin}{\theta }_0-g\cdot t\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cdot \cos {\theta }_0\cdot t\\ y=v{}_0\cdot \text{sin}{\theta }_0\cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2\end{array}}$

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

y=xtanθ0−12gx2v20cos2θ0${\displaystyle y=x\tan {\theta }_0-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2{\cos }^2{\theta }_0}}$

Velocidad inicial y ángulo de tiro

Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.

• Conocido el ángulo de tiro θ₀, calculamos la velocidad inicial

v20=gL2cos2θ0(tanθ0−h/L)${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

• Conocida la velocidad inicial v₀, calculamos los dos ángulos de tiro, resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ₀. Para ello, utilizamos la relación 1+tan²θ₀=1/cos²θ₀

h=Ltanθ0−gL22v20(1+tan2θ0)${\displaystyle h=L\tan {\theta }_0-\frac{g{L}^2}{2v_0^2}(1+{\tan }^2{\theta }_0)}$

o bien,

tan2θ0−2v20gLtanθ0+(1+2v20hgL2)=0${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2v_0^2}{gL}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2v_0^{2}h}{g{L}^2}\right)=0}$

Ángulo que hace el vector velocidad

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale

tanθ=vyvx=tanθ0−gtv0cosθ0${\displaystyle \tan \theta =\frac{v_y}{v_x}=\tan {\theta }_0-\frac{gt}{v_0\cos {\theta }_0}}$

como

yx=tanθ0−gt2v0cosθ0${\displaystyle \frac{y}{x}=\tan {\theta }_0-\frac{gt}{2v_0\cos {\theta }_0}}$

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.

tanθ=2yx−tanθ0${\displaystyle \tan \theta =\frac{2y}{x}-\tan {\theta }_0}$

El ángulo de tiro mínimo

En la figura, se muestra la representación gráfica de v₀ en función del ángulo de tiro θ₀.

v20=gL2cos2θ0(tanθ0−h/L)${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero:

tanθ₀=h/Lcosθ₀=0

Como v²₀ tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ₀ no puede tener cualquier valor sino que tiene que cumplir

90º>θ0>arctan(hL)${\displaystyle 90º>{\theta }_0>\arctan \left(\frac{h}{L}\right)}$

Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura

El ángulo de entrada θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es

tanθe=2hL−tanθ0${\displaystyle \tan {\theta }_e=\frac{2h}{L}-\tan {\theta }_0}$

Como θ_e es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que

tanθ0>2hL${\displaystyle \tan {\theta }_0>\frac{2h}{L}}$

El ángulo de tiro θ₀ tiene que cumplir

90º>θ0>arctan(2hL)${\displaystyle 90º>{\theta }_0>\arctan \left(\frac{2h}{L}\right)}$

Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θ_e mínimo (en valor absoluto)

sin|θ_e|=2R/D_a

donde R es el radio del balón y D_a es el diámetro del aro

Como 2R=25 cm y D_a=45 cm. El ángulo θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ₀. La relación entre ambos ángulos es

tan∣∣∣θe∣∣∣=−2hL+tanθ0${\displaystyle \tan \left|{\theta }_e\right|=-\frac{2h}{L}+\tan {\theta }_0}$

tanθ0L=tan33.7+2hL${\displaystyle \tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2h}{L}}$

θ_0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ₀ que sea mayor que el valor mínimo θ_0L para conseguir encestarlo.

La velocidad inicial mínima

De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v₀ en función del ángulo de tiro θ_0.Observamos que la curva tiene un mínimo v_0m para cierto valor del ángulo de tiro θ_0m.

v20=gL2cos2θ0(tanθ0−h/L)${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

Calculamos el ángulo θ_0m para el cual la velocidad inicial v₀ es mínima.

dv20dθ0=−(−2cosθ0⋅sinθ0(tanθ0−h/L)+cos2θ01cos2θ0)gL2cos4θ0(tanθ0−h/L)2=0${\displaystyle \frac{d{v}_0^2}{d{\theta }_0}=\frac{-\left(-2\cos {\theta }_0·\sin {\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)+{\cos }^2{\theta }_0\frac{1}{{\cos }^2{\theta }_0}\right)gL}{2{\cos }^4{\theta }_0{(\tan {\theta }_0-h/L)}^2}=0}$

Despejamos el ángulo θ₀

-2sin²θ₀+2(h/L)sinθ₀·cos θ₀+1=0

tan(2θ0m)=−hL  θ0m=45º+12arctan(hL)${\displaystyle \tan (2{\theta }_{0m})=\frac{-h}{L}{\theta }_{0m}=45º+\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{h}{L}\right)}$

Expresamos el ángulo θ_0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones

tan(45º+12α)=1+tan12α1−tan12α  α=arctanhL${\displaystyle \tan \left(45º+\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{1+\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-\tan \frac{1}{2}\alpha }\alpha =\arctan \frac{h}{L}}$

tanα=2tan12α1−tan212α${\displaystyle \tan \alpha =\frac{2\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }}$

En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.

tan12α=−1+1+h2/L2−−−−−−−−√h/L${\displaystyle \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{-1+\sqrt{1+h^2/L^2}}{h/L}}$

Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a

tanθ0m=tan(45+12α)=hL+1+h2L2−−−−−−√${\displaystyle \tan {\theta }_{0m}=\tan \left(45+\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{h}{L}+\sqrt{1+\frac{h^2}{L^2}}}$

Conocido el valor θ_0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v_0m. Para ello empleamos la relación 1+tan²θ=1/cos²θ

v20m=gL2cos2θ0m(tanθ0m−h/L)=g(L2+h2−−−−−−√+h)${\displaystyle v_{0m}^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_{0m}(\tan {\theta }_{0m}-h/L)}=g\left(\sqrt{L^2+h^2}+h\right)}$

Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v₀ tiene que ser mayor que la mínima v_0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.

Ejemplo:

Se lanza el balón desde una distancia L=3 m del centro del aro, y desde una altura de 2.05 m del suelo o bien,h=3.05-2.05=1 m por debajo del aro.

Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo

tanθ0L=tan33.7+2hL  tanθ0L=tan33.7+2⋅13  θ0L=53.2º${\displaystyle \tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2h}{L}\tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2·1}{3}{\theta }_{0L}=53.2º}$

• Dado el ángulo de tiro θ₀=70º>53.2º  calculamos la velocidad inicial

v0=3⋅9.82cos270(tan70−1/3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=7.21m/s${\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{3·9.8}{2{\cos }^{2}70(\tan 70-1/3)}}=7.21\text{m/s}}$

Esta velocidad es superior a la mínima, que se obtiene para el ángulo de tiro

tanθ0m=13+1+1232−−−−−−√  θ0m=54.2º${\displaystyle \tan {\theta }_{0m}=\frac{1}{3}+\sqrt{1+\frac{1^2}{3^2}}{\theta }_{0m}=54.2º}$

y la velocidad mínima vale

v0m=9.8(32+12−−−−−−√+1)−−−−−−−−−−−−−−−−√=6.39m/s${\displaystyle v_{0m}=\sqrt{9.8\left(\sqrt{3^2+1^2}+1\right)}=6.39\text{m/s}}$

• Dada la velocidad de disparo v₀ es algo más complicado calcular el ángulo de tiro.

La velocidad v₀ tiene que ser mayor que el valor mínimo v_0m=6.39 m/s

Por ejemplo, si v₀=8.0 m/s, calcular θ₀.

tan2θ0−2⋅829.8⋅3tanθ0+(1+2⋅82⋅19.8⋅32)=0${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2·8^2}{9.8·3}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2·8^2·1}{9.8·3^2}\right)=0}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ₀ son

θ₁=74.8º,  θ₂=33.6º

Solamente la trayectoria del primero será descendente cuando pase por el centro del aro, mientras que la segunda es ascendente y entra por debajo del aro.