Brahmagupta

Brahmagupta (598 - 670) fue un matemático y astrónomo indio. Su padre fue Jisnugupta. Nació en el año 598, posiblemente enUjjain, donde vivió. En esta ciudad de la zona central de la India se encontraba el más famoso y antiguo observatorio deastronomía del que Brahmagupta era el director.

Está considerado el más grande de los matemáticos de esta época. Murió en el año 670. Es posible que Brahmagupta haya sido el idealizador del concepto del "cero" ya que en su obra Brahmasphutasiddhanta del año 628 aparece por primera vez esta idea. La obra trataba también sobre aritmética y números negativos en términos muy parecidos a los de la matemática moderna.

La fórmula de Brahmagupta

Diagrama del teorema de Brahmagupta.

En su obra se encuentra una regla para la formación de ternas pitagóricas:

$m,\frac{m^{2}}{2(m-n)},\frac{m^{2}}{2(m+n)}$

aunque esta es una modificación de la antigua regla babilónica, que perfectamente el pudo conocer. La fórmula de Brahmagupta del área para cuadriláteros, la utilizaba junto con las fórmulas:

$\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{(ad+bc)}}$ y $\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}$

para las diagonales, para hallar cuadriláteros cuyos lados, diagonales y áreas fueran todas ellas números naturales.

La teoría de ecuaciones indeterminadas

Evidentemente Brahmagupta amaba la matemática por si misma, ya que se planteaba cosas que escapaban a la práctica como sus resultados sobre cuadrilateros. Aparentemente fue el primero en dar una solución general para la ecuación diofántica lineal:

$ax+by=c$ con $a,b,c\in \mathbb{Z}$ .

Para que esta ecuación tenga soluciones, el máximo común divisor de

a

b

debe dividir a

c

, y Brahmagupta sabía que si

a

b

son primos entre si, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por las fórmulas:

$x=p+mb$ , $y=q-ma$

donde

m

es un entero arbitrario.

Brahmagupta vivió durante el siglo VI de nuestra era. Su obra más importante esBrama Sputa Siddhanta (El sistema revisado de Brama), un texto de astronomía que contiene varios capítulos sobre matemáticas. En otro trabajo astronómico, tituladoKhanda Khadyaka, se encuentran dispersos algunos desarrollos trigonométricos de interés.

Los números negativos

En la obra de Brahmagupta aparece sistematizado, por primera vez en la historia, el cálculo con números negativos y el cero. Los griegos tuvieron una idea del vacío, pero no lo llegaron a tratar como un número. Y la regla de los signos, aunque subyacente en algunas fórmulas sobre productos de restas, nunca había sido enunciada explícitamente:

Positivo dividido por positivo, o negativo por negativo es positivo. Cero dividido por cero es nada. Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por positivo es negativo. Positivo o negativo dividido por cero es una fracción que tiene al cero por denominador

A la luz de este texto se puede ver que para Brahmagupta 0/0 = 0. Sobre el significado de a/0 (para un número a ≠ 0) no se atreve a pronunciarse.

Las ecuaciones de segundo grado

Las aportaciones más importantes de Brahmagupta están en el campo del álgebra. Para las ecuaciones cuadráticas da soluciones generales, proporcionando las dos raíces, sin desechar las negativas. La regla para resolver la ecuación ax² + c = bx la enuncia así:

Deja el número en un lado y en el otro el cuadrado de la incógnita menos la incógnita. Multiplica el número por cuatro veces el coeficiente del cuadrado, súmalo al cuadrado del coeficiente del término medio, y la raíz de esto menos el coeficiente del término medio dividido por dos veces el coeficiente del cuadrado es la incógnita.

Para aplicar esta regla a la ecuación x² - 10x = -9 va haciendo los cálculos del siguiente modo: 4(-9) = -36, -36 + 100 = 64, √64 = 8, 8 - (-10) = 18 y 18/2 = 9.

El teorema chino de los restos

Dos números enteros a y b son congruentes respecto de otro entero m si su diferencia es múltiplo de m (o si dan idéntico resto al ser divididos entre m). Esto se escribe así: a ≡ b (mod m). El menor número congruente con a respecto de m se llama el resto de a en relación a m, y es justamente el resto de dividir a por m. Las congruencias mantienen las operaciones aritméticas, de modo que si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), entonces a + c ≡ b + d (mod m) y ac ≡ bd (mod m). La idea de número congruente no fue claramente definida hasta el siglo XVIII, pero fue utilizado desde mucho antes. Supongamos ahora que tenemos dos series de números enteros a₁, a₂,..., a_n y m₁, m₂,..., m_n, y que queremos encontrar un número x para el cual se cumpla lo siguiente:

x ≡ a₁ (mod m₁)
x ≡ a₂ (mod m₂)
...................
x ≡ a_n (mod m_n)

El llamado teorema chino de los restos, afirma que la condición necesaria y suficiente para que el número buscado exista consiste en que a_i ≡ a_j (mod m_ij), siempre que i ≠ j, y siendo m_ijel máximo común divisor de m_i y m_j.

En el Brama Sputa Siddhanta se encuentra el siguiente problema que es un caso particular del teorema chino:

Tenemos una cesta de huevos. Si los cogemos de dos en dos, sobra uno, si de tres en tres, sobran dos, si de cuatro en cuatro, sobran tres, si de cinco en cinco, sobran cuatro, si de seis en seis, sobran cinco, y si los cogemos de siete en siete, no sobra ninguno. ¿Cuál es el mínimo número de huevos que puede haber en la cesta?

Si x es el número de huevos, tenemos la siguiente colección de ecuaciones:

x = 2y + 1	x = 5v + 4
x = 3z + 2	x = 6w + 5
x = 4u + 3	x = 7y

El problema se resuelve aplicando sucesivamente el método de Aryabhata, y se llega de este modo a la solución más pequeña posible, que es 119. En el lenguaje de los números congruentes, el problema puede ahora ser formulado de esta manera:

x ≡ 1 (mod 2)	x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 3)	x ≡ 5 (mod 6)
x ≡ 3 (mod 4)	x ≡ 0 (mod 7)

Es fácil comprobar que cumple las hipótesis del teorema chino. Así que, antes de resolverlo, ya se sabe que tiene solución.

La ecuación de Pell

Entre los problemas indeterminados que aparecen en la obra de Brahmagupta ocupa un importante lugar la ecuación que la posteridad llamaría ecuación de Pell:

x² - Dy² = 1

Si D = d², no hay soluciones (salvo x = 1 e y = 0): si D = d², resultaría que (x + dy)(x - dy) = 1, y esto es imposible. Pero si D no es un cuadrado, hay infinitas. Y es fácil encontrar las más sencillas por tanteo. Brahmagupta dio con un camino para, a partir de dos soluciones, fabricar una tercera. Este método (que en sánscrito se denomina samasa) es el siguiente: si los pares de números (α,β) y (χ,δ) son soluciones, también lo es el par de números calculados de la siguiente manera:

σ = αχ + βδDω = αδ + βχ

Que esto es así es algo de muy simple comprobación. Sea, por ejemplo, la ecuación:

x² - 8y² = 1

Fácilmente se llega a la solución (3,1). Compuesta consigo misma, tenemos otra solución (17,6), y componiendo las dos, una tercera (99,35). Y así sucesivamente.

Triángulos racionales

Un triángulos cuyos lados y cuya superficie son números racionales (y en consecuencia también sus alturas) se llama triángulo racional. Brahmagupta tiene la siguiente aportación sobre triángulos racionales. Si los lados de un triángulo son:

entonces es racional, resultado de yuxtaponer dos triángulos rectángulos con un cateto común de longitud p (ver la figura que aparece a continuación): AP = p, AC = b, AB = c, PB = c - r y PC = b - q.

El cuadrilátero cíclico

Por tres puntos no alineados siempre pasa una circunferencia. Por cuatro puntos no siempre sucede así. Por esta razón no todo cuadrilátero tiene una circunferencia circunscrita. Los que sí la tienen se llaman cíclicos. Sobre ellos descubrió Brahmagupta un hermoso teorema que pasamos a describir.

Llamamos fórmula de Herón a la expresión del área de un triángulo en función de sus lados. Si éstos son a, b y c, y p = (a+b+c)/2 es el semiperímetro, la superficie es:

Esta fórmula ha sido muy utilizada por agrimensores y topógrafos, porque no necesita buscar la altura del triángulo, cosa que en terreno abierto no siempre es fácil. Brahmagupta encontró una fórmula que amplía la de Herón a cuadriláteros cíclicos. Si a, b, c y d son los lados del cuadrilátero y p es el semiperímetro, la superficie es:

Si d = 0 sale la fórmula de Herón. Pero ignoramos (los textos sánscritos son muy oscuros) si Brahmagupta sabía que su teorema no era válido para cualquier cuadrilátero.

El teorema chino de los restos

Dos números enteros a y b son congruentes respecto de otro entero m si su diferencia es múltiplo de m (o si dan idéntico resto al ser divididos entre m). Esto se escribe así: a ≡ b (mod m). El menor número congruente con arespecto de m se llama el resto de a en relación a m, y es justamente el resto de dividir a por m. Las congruencias mantienen las operaciones aritméticas, de modo que si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), entonces a + c ≡ b + d (mod m) y ac ≡ bd (mod m). La idea de número congruente no fue claramente definida hasta el siglo XVIII, pero fue utilizado desde mucho antes. Supongamos ahora que tenemos dos series de números enteros a₁,a₂,..., a_n y m₁, m₂,..., m_n, y que queremos encontrar un número x para el cual se cumpla lo siguiente:

x ≡ a₁ (mod m₁)
x ≡ a₂ (mod m₂)
...................
x ≡ a_n (mod m_n)

En el Brama Sputa Siddhanta se encuentra el siguiente problema que es un caso particular del teorema chino:

Si x es el número de huevos, tenemos la siguiente colección de ecuaciones:

x = 2y + 1	x = 5v + 4
x = 3z + 2	x = 6w + 5
x = 4u + 3	x = 7y

x ≡ 1 (mod 2)	x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 3)	x ≡ 5 (mod 6)
x ≡ 3 (mod 4)	x ≡ 0 (mod 7)

Es fácil comprobar que cumple las hipótesis del teorema chino. Así que, antes de resolverlo, ya se sabe que tiene solución.

La ecuación de Pell

Entre los problemas indeterminados que aparecen en la obra de Brahmagupta ocupa un importante lugar la ecuación que la posteridad llamaría ecuación de Pell:

x² - Dy² = 1

σ = αχ + βδDω = αδ + βχ

Que esto es así es algo de muy simple comprobación. Sea, por ejemplo, la ecuación:

x² - 8y² = 1

Fácilmente se llega a la solución (3,1). Compuesta consigo misma, tenemos otra solución (17,6), y componiendo las dos, una tercera (99,35). Y así sucesivamente.

Triángulos racionales

El cuadrilátero cíclico

Llamamos fórmula de Herón a la expresión del área de un triángulo en función de sus lados. Si éstos son a, b y c, y p = (a+b+c)/2 es el semiperímetro, la superficie es:

Si d = 0 sale la fórmula de Herón. Pero ignoramos (los textos sánscritos son muy oscuros) si Brahmagupta sabía que su teorema no era válido para cualquier cuadrilátero.

Brahmagupta nació en el año 598 en Bhinmal, ciudad en el estado de Rajasthan, al noroeste de la India. Probablemente vivió la mayor parte de su vida en Bhillamala (moderna Bhinmal, en Rajasthan) en el imperio de Harsha, durante el reinado del Rey Vyaghramukha. Como resultado de ello, Brahmagupta es a menudo citado como Bhillamalacarya que quiere decir, el maestro de Bhillamala Bhinmal.

Fue el jefe del observatorio astronómico en Ujjain, y durante su mandato allí escribió cuatro textos sobre las matemáticas y la astronomía: Cadamekela en el 624, Brahmasphutasiddhanta en 628,Khandakhadyaka en 665, y Durkeamynarda en 672. El Brahmasphutasiddhanta (Tratado corregido de Brahma) es posiblemente su obra más famosa. El historiador Al-Biruni (c. 1050) en su libro Tariq al-Hind, afirma que el califa Abbasid al-Ma'mun, que tenía una embajada en la India, llevó de3 allí un libro a Bagdad que fue traducido al árabe como Sindhind. Se presume que Sindhind no es otro queBrahmagupta-Brahmasphuta Siddhanta.

Aunque Brahmagupta estaba familiarizado con las obras de los astrónomos siguiendo la tradición de Aryabhatiya, no se sabe si está familiarizado con la labor de Bhaskara I, un contemporáneo. Brahmagupta tenía una cantidad de críticas dirigidas hacia la labor de los astrónomos rivales, y en su Brahmasphutasiddhanta se encuentra uno de los primeros cismas de fe entre matemáticos indios. La división fue principalmente sobre la aplicación de las matemáticas al mundo físico, más que sobre las matemáticas en si mismas. En el caso de Brahmagupta, los desacuerdos se debieron en gran parte de la elección de las teorías y parámetros astronómicos. A lo largo de los primeros diez capítulos astronómicos aparecen críticas a las teorías rivales, y el undécimo capítulo está completamente dedicado a la crítica de estas teorías, aunque las críticas no aparecen en el duodécimo y décimo octavo capítulos.

[editar]

Matemáticas

La obra más famosa de Brahmagupta es su Brahmasphutasiddhanta. Compuesta en verso elíptico, practica común en las matemáticas indueshematics]], la obra tiene, en consecuencia, un cierto halo poético. Como en ella no se dan demostraciones, no se sabe como Brahmagupta obtenía los resultados matemáticos.

[editar]

Algebra

Brahmagupta da la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de Brahmasphutasiddhanta, que aunque expresada en el libro en palabras, viene a ser equivalente a la siuiente expresión algebraica:

$x = \frac{e-c}{b-d}$

Además, dio dos soluciones equivalentes para la ecuación general de segundo grado, que vienen a ser equivalentes, respectivamente, a las siguientes expresiones algebraicas:

$x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}$

$x = \frac{\sqrt{ac+\frac{b^2}{4}}-\frac{b}{2}}{a}$

El contina resolviendo sistemas de ecuaciones indeterminados, enunciando que la variable elegida debe primero aislarse, y que luego la ecuación debe dividirse por el coeficiente de la variable elegida.

Al igual que el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta es sincopada. La suma la indicaba colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo, la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación, pero sin la barra. La multiplicación, las raices y las incógnitas las representaba mediante abrebiaturas de términos apropiados. Fue el primero en dar una solución general a la ecuación lineal de Diofanto

a x + b y = c

, donde a, b, y c son enteros. También es muy posible que diese todas las soluciones de dicha ecuación, mientras que Diofanto se sintió satisfecho con dar una sola solución de una ecuación indeterminada. En la medida en que Brahmagupta utilizó algunos ejemplos iguales a los de Diofanto, vemos la posibilidad de que ambos hubiesen usado las mismas fuentes, posiblemente babilónicas. No se sabe hasta que punto el uso de la notación sincopada en el álgebra de Brahmagupta es debido a los griegos o si tanto griegos como hindues derivan su uso de una fuente común usase notación sincopada, no se conoce y es posible que tanto el griego y el indio síncopa pueden derivarse de una fuente común, las matemáticas babilónicas.

[editar]

Aritmética

Fracciones: Al comienzo del capítulo doce de su Brahmasphutasiddhanta, titulado Cálculo, Brahmagupta detalla operaciones con fracciones. Da por supuesto que el lector conoce las operaciones aritméticas básicas, como tomar la raíz cuadrada, aunque si explica cómo hallar el cubo y la raíz cúbica de un número entero y, posteriormente, da normas que facilitan el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas. A continuación, da las normas para abordar cinco tipos de combinaciones de fracciones,

$\cfrac{a}{c} + \cfrac{b}{c}$ ; $\cfrac{a}{c} \cdot \cfrac{b}{d}$ ; $\cfrac{a}{1} + \cfrac{b}{d}$ ; $\cfrac{a}{c} + \cfrac{b}{d} \cdot \cfrac{a}{c} = \cfrac{a(d+b)}{cd}$ ; $\cfrac{a}{c} - \cfrac{b}{d} \cdot \cfrac{a}{c} = \cfrac{a(d-b)}{cd}$

Series:

Brahmagupta continua dando la suma de los cuadrados y los cubos de los primeros "n" enteros. Traduciendo algebraicamente sus palabras sería:

Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales: $n\cdot(n+1)\cdot \frac{2n+1}{6}$
Suma de los cubos de los n primeros números naturales: $\left( \cfrac {n\cdot(n+1)}{2} \right)^2$ .

El cero y los números negativos:

Brahmagupta hace uso del número cero en su Brahmasphutasiddhanta, siendo este el primer texto conocido en el cual se trata al cero con entidad propia, más que como un simple dígito usado para representar otros números, como hacían los babilonios, o como símbolo para indicar la carencia de una cantidad, como hacía Ptolomeo y los romanos. En el capítulo octavo de Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta describes operaciones con númeroas negativos. Primero describe la suma y la resta, luego prosigue con la multiplicación dando una correcta regla de los signos, pero al dar la división lo estropea permitiendo la división por cero. Brahmagupta, por ejemplo, dice que: $\frac{0}{0} = 0$

[editar]

Análisis diofántico

Ternas pitagóricas: En el capítulo doce de Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta halla ternas pitagóricas. Expresandolo en términos algebraicos:

Para una longitud dada $m\;$ y un multiplicador arbitrario $x\;$ , sean $a=mx\;$ y $b=m+ \cfrac{mx}{(x + 2)}$ . Entonces $m\;$ , $a\;$ , y $b\;$ forman una terna pitagórica.

Ecuación de Pell: Brahmagupta da una relación de recurrencia para generar soluciones de ciertos tipos de ecuaciones diofánticas de segundo grado, tales como $N x 2 + 1 = y 2$ (llamada ecuación de Pell), usando el algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides le era conocido con el nombre de "pulverizador" ya que simplificaba los números.

La clave para su solución era la identidad:

$(x^2_1 - Ny^2_1)(x^2_2 - Ny^2_2) = (x_1 x_2 + Ny_1 y_2)^2 - N(x_1 y_2 + x_2 y_1)^2$

que es una generalización de una identidad descubierta por Diofanto,

$(x^2_1 - y^2_1)(x^2_2 - y^2_2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 - (x_1 y_2 + x_2 y_1)^2.$

Usando esta identidad y el hecho de que si

(x 1,

$y_1)\;$ and $(x_2,\;$ $y_2)\;$ son soluciones de las ecuaciones $x^2 - Ny^2 = k_1\;$ y $x^2 - Ny^2 = k_2\;$ , respectivamente, entonces $(x_1 x_2 + N y_1 y_2,\;$ $x_1 y_2 + x_2 y_1)\;$ es una solución de $x^2 - Ny^2 = k_1 k_2\;$ , él supo encontrar soluciones enteras de la ecuación de Pell equation mediante una serie de ecuaciones de la forma $x^2 - Ny^2 = k_i\;$ . Por desgracia, Brahmagupta no fue capaz de aplicar su solución de forma uniforme para todos los posibles valores de N, sino que sólo pudo demostrar que si $x^2 - Ny^2 = k\;$ tiene una solución entera para $k = \pm 1, \pm 2, \pm 4$ , entonces $x^2 - Ny^2 = 1\;$ tiene una solución. la solución de la ecuación general de Pell tendría que esperar a Bhaskara II (c. 1150)

[editar]

Geometría

Fórmula de Brahmagupta: El resultado en geometría más famoso de Brahmagupta es su fórmula para los cuadriláteros cíclicos (aquellos inscritos en una circunferencia).

Cuadrilátero cíclico

Dadas las longitudes de los lados de un cuadrilátero cíclico cualquiera, Brahmagupta dió una fórmula aproximada y otra exacta para el área de dicha figura. la traducción algebraica diría: Dadas las longitudes $p\;$ , $q\;$ , $r\;$ y $s\;$ de un cuadrilátero cíclico,

Area aproximada: $A=(\cfrac{p + r}{2}) (\cfrac{q + s}{2})$
Area exacta: $\sqrt{(t - p)(t - q)(t - r)(t - s)}$ , donde $t = \cfrac{p + q + r + s}{2}$ .

Aunque Brahmagupta no enuncia explícitamente que se trate de cuadriláteros cíclicos, parece deducirse de sus reglas que ese es el caso.

La fórmula de Heron se obtiene como caso particular de la de Brahmagupta, haciendo uno de los lados igual a cero.

Triángulos: Uno de los teoremas en la obra de Brahmagupta dice que las medidas de los dos segmentos en que la altura de un triángulo divide a la base son:

$b \pm \cfrac{c^2 - a^2}{b}$

Además da un teorema sobre triángulos racionales (cuyos lados son números racionales): Un triángulo con lados racionales $a\;$ , $b\;$ y $c\;$ y área racional es de la forma:

$a = \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{v}+v\right), \ \ b = \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{w}+w\right), \ \ c = \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{v} - v + \frac{u^2}{w} - w\right)$

para algunos racionales $u\;$ , $v\;$ , y $w\;$ .

Teorema de Brahmagupta:

El teorema de Brahmagupta dice que AF = FD.

Brahmagupta continua diciendo que, en un cuadrilátero cíclico "no desigual" (trapezoide equilatero), la longitud de las diagonales es:

$\sqrt{pr + qs}$

Sigue dando las fórmulas de las longitudes y áreas de figuras geométricas como la medida del radio de la circunferencia circunscrita al trapezoide isósceles y del cuadrilátero escaleno, y las medidas de las diagonales de un cuadrilátero cíclico escaleno. Esto lleva al famoso teorema de Brahmagupta. (ver dibujo adjunto)

Pi: En el verso 40, da valores del número Pi: 3 como valor práctico de Pi y $\sqrt{10}$ como valor más preciso.

Medidas y construcciones:

En algunos de los versos anteriores al 40, Brahmagupta da la construcción de varias figuras con lados arbitrarios. El manipuló esencialmente triángulos rectángulos para obtener trángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapezoides isósceles, trapezoides isósceles con tres lados iguales, y cuadriláteros cíclicos escalenos.

Tras dar el valor de Pi, trata aspectos de la geometría planas y de sólidos, como encontrar sus volúmenes y superficies. Halla el volumen de prismas rectos, pirámides, y troncos de pirámides de base cuadrada.

[editar]

Trigonometría

En el capítulo 2 de Brahmasphutasiddhanta, titulado Longitudes Planetarias Verdaderas, Brahmagupta presenta una tabla de senos, usando nombres de objetos para representar los números, algo que era común en los tratatados en sanscrito. Así, por ejemplo, "Osa mayor" representa el 7 (por las 7 estrellas de dicha constelación), "gemelos" al 2, "Vedas" el 4 (por los 4 Vedas), Progenitores el 14, etc. esta información, traducida en números, da la lista de senos: 214 (gemelos, Progenitores), 427 (Osa Mayor, gemelos, Vedas), 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, y 3270, siendo el radio 3270.

[editar]

Astronomía

Fue a traves de el Brahmasphutasiddhanta como los árabes aprendieron la astronomía hindú. El famoso califa abasida Al-Mansur (712–775), fundó Baghdad, situada a orillas del Tigris, e la hizo centro de aprendizaje. El califa invitó a un estudiante de Ujjain llamado Kankah en 770 a.C. Kankah usó el Brahmasphutasiddhanta para explicar el sistema hindú de astronomía aritmética. Muhammad al-Fazari tradujo el trabajo de Brahmugupta al árabe a demanda del califa.

En el capítulo siete de Brahmasphutasiddhanta, titulado Creciente Lunar, Brahmagupta refuta la idea de que la Luna se encuentra más alejada que el Sol de la Tierra, idea que se mantuvo en las escrituras. El hace ésto explicando la iluminación de la Luna por el Sol. También explicó que, como la Luna está más cerca de la Tierra que el Sol, la cantidad de parte iluminada de la Luna depende de la posición relativa del Sol y la Luna, y esto puede calcularse a partir del ángulo que forman los dos cuerpos.

Algunas de las aportaciones de importancia hechas por Brahmagupta a la astronomía son: métodos para calcular la posición de cuerpos celestes en el tiempo (efemérides), su aparición y su ocultación, conjunciones, y el cálculo de los eclipses solares y lunares. Brahmagupta criticó el punto de vista puránico de que la Tierra era plana o hueca. Por el contrario, observó que la Tierra y el cielo eran esféricos y que la Tierra se mueve. En el año 1030, el astrónomo musulmán, Abu al-Rayhan al-Biruni, en su Ta'rikh al-Hind, posteriormente traducido al latín como Indica, comentó el trabajo de Brahmaguptas y escribió que los críticos argumentaron:

"Si eso es así, las piedras y los árboles se caerían de la Tierra."

De acuerdo con al-Biruni, Brahmagupta respondió a estas críticas con el siguiente argumento sobre gravitación: ... Todas las cosas pesadas son atraidas hacia el centro de la Tierra... La Tierra es igual por todos lados; todo el mundo sobre la Tierra permanece derecho, y todas las cosas pesadas caen a al Tierra por una ley de la naturaleza, porque está en la naturaleza de la Tierra atraer y mantener las cosas, como está en la naturaleza del agua fluir, en la del fuego quemar, y en la del viento mantenerse en movimientootion..."

Brahmagupta, cuyo padre era Jisnugupta, escribió importantes obras sobre matemáticas y astronomía. En particular, escribió Brahmasphutasiddhanta (la abertura del Universo), en 628. La obra fue escrita en 25 capítulos y Brahmagupta nos dice en el texto que lo escribió en Bhillamala que hoy es la ciudad de Bhinmal. Esta fue la capital de las tierras gobernadas por la dinastía Gurjara.

Brahmagupta se convirtió en el jefe del observatorio astronómico en Ujjain, que era el centro matemático más importante de la antigua India en este momento. Destacados matemáticos como Varahamihirahabían trabajado allí y construido una sólida escuela de la astronomía matemática.

Además de la Brahmasphutasiddhanta Brahmagupta escribió un segundo trabajo en las matemáticas y la astronomía que es el Khandakhadyaka escrita en 665 cuando tenía 67 años de edad. Buscamos a continuación algunas de las ideas notables cuales dos tratados de Brahmagupta contienen. En primer lugar vamos a dar una visión general de su contenido.

El Brahmasphutasiddhanta contiene veinticinco capítulos, pero el primer diez de estos capítulos parecen formar lo que muchos historiadores creen que fue una primera versión de la obra de Brahmagupta y existen algunos manuscritos que contienen solamente estos capítulos. Estos diez capítulos están organizados por temas que son típicas de los textos de astronomía matemáticos indios de la época. Los temas tratados son: las longitudes medias de los planetas; verdaderos longitudes de los planetas; los tres problemas de rotación diurna; eclipses lunares; Los eclipses solares; salidas y puestas; media luna de la luna;La sombra de la luna; conjunciones de los planetas entre sí; y conjunciones de los planetas con las estrellas fijas.

Los quince capítulos restantes parecen formar una segunda obra que es importante adición al tratado originales. Los capítulos son: examen de los tratados anteriores sobre la astronomía; en las matemáticas;adiciones al capítulo 1; adiciones al capítulo 2; adiciones al capítulo 3; adiciones al capítulo 4 y 5; adiciones al capítulo 7; en el álgebra; en el gnomon; en metros; sobre la esfera; en los instrumentos; Resumen de contenidos; mesas en verso.

comprensión de Brahmagupta de los sistemas numéricos iba más allá de la de los demás de la época. En el Brahmasphutasiddhanta definió cero como el resultado de restar un número de sí misma. Dio algunas propiedades como sigue: -

Cuando se añade cero a un número o resta de un número, el número permanece sin cambios; y un número multiplicado por cero se convierte en cero.

También da reglas aritméticas en términos de la fortuna (números positivos) y deudas (números negativos): -

Un cero menos la deuda es una deuda.
Un cero fortuna negativo es una fortuna.
Zero menos cero es un cero.
Una deuda restado de cero es una fortuna.
Una fortuna restado de cero es una deuda.
El producto de cero multiplicado por una deuda o la fortuna es cero.
El producto de cero multipliedby cero es cero.
El producto o cociente de dos fortunas es una fortuna.
El producto o cociente de dos deudas es una fortuna.
El producto o cociente de una deuda y una fortuna es una deuda.
El producto o cociente de una fortuna y una deuda es una deuda.

Brahmagupta entonces trató de extender la aritmética para incluir la división por cero: -

Los números positivos o negativos cuando dividido por cero es una fracción del cero como denominador.
Cero dividido por los números negativos o positivos es cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y el denominador cantidad finita.
Zero dividido por cero es cero.

Realmente Brahmagupta está diciendo muy poco cuando sugiere que n dividido por cero es N / 0. Él es, sin duda equivocado cuando afirma que a continuación cero dividido por cero es cero. Sin embargo, es un brillante intento de extender la aritmética de los números negativos y el cero.

También podemos describir sus métodos de multiplicación que utilizan el sistema de valor en toda su ventaja en casi la misma forma que se utiliza hoy en día. Damos tres ejemplos de los métodos que él presenta en el siddhanta Brahmasphuta y al hacerlo, seguimos Ifrah en [ 4 ]. El primer método que describimos se denomina "gomutrika" por Brahmagupta. Ifrah traduce "gomutrika" a "al igual que la trayectoria de la orina de vaca". Considere el producto de 235 multiplicado por 264. Comenzamos mediante el establecimiento de la suma de la siguiente manera:

  2 235 

 6 235 

 4 235 

 ----------

Ahora multiplique el 235 de la fila superior de la 2 en la posición superior de la columna de la izquierda. Comience por 2 × 5 = 10, poniendo a 0 por debajo del 5 de la fila superior, llevando 1 de la manera habitual para obtener

  2 235 

 6 235 

 4 235 

 ---------- 

  470

Ahora multiplique el 235 de la segunda fila por el 6 en la columna de la izquierda de escribir el número en la línea por debajo de la 470, pero movido un lugar a la derecha

Ahora multiplique el 235 de la tercera fila por el 4 en la columna de la izquierda de escribir el número en la línea debajo del 1410 pero se trasladó un lugar a la derecha

Ahora agregue los tres números por debajo de la línea de

  2 235 

 6 235 

 4 235 

 ---------- 

  470 

  1410 

  940 

 ---------- 

  62040

Las variantes están escribiendo primero el segundo número de la derecha, pero con el orden de los dígitos invertido de la siguiente

  235 4 

  235 6 

  235 2 

 ---------- 

  940 

  1410 

  470 

 ---------- 

  62040

La tercera variante simplemente escribe cada número una vez pero por lo demás sigue el segundo método

  235 

 ---------- 

  940 4 

  1410 6 

  470 2 

 ---------- 

  62040

Otro resultado aritmético presentado por Brahmagupta es su algoritmo para calcular raíces cuadradas. Este algoritmo se describe en [ 15 ] en el que se demuestra que es equivalente a la Newton - Raphsonfórmula iterativa.

Brahmagupta desarrollado alguna notación algebraica y presenta métodos para resolver ecuaciones quardatic. Se presenta métodos para resolver ecuaciones indeterminadas de la forma ax + c = por. Majumdar en [ 17 ] escribe: -

Brahmagupta quizá utilizado el método de fracciones continuas para encontrar la solución de una ecuación integral indeterminada del tipo ax + c = por.

En [ 17 ] Majumdar da los versos sánscritos originales de siddhanta Brahmasphuta de Brahmagupta y su traducción en Inglés con interpretación moderna.

Brahmagupta también resuelve ecuaciones indeterminadas de segundo grado de tipo ax ² + c = y ² y ax ² - c = y ^2. Por ejemplo él resuelve 8 x ² + 1 = y ² la obtención de las soluciones (x, y) = (1, 3), (6, 17), (35, 99), (204, 577), (1189, 3363) , ... Para la ecuación 11 x ² + 1 = y ² Brahmagupta obtiene las soluciones (x, y) = (3, 10), (161/5, 534/5), ... también resuelve 61 x ² + 1 = y ² que es particularmente elegante que tiene x = 226153980, y = 1766319049 como su solución más pequeña.

Un ejemplo del tipo de problemas Brahmagupta plantea y soluciona en el Brahmasphutasiddhanta es la siguiente: -

Quinientos drammas se prestaron a un tipo desconocido de interés, el interés sobre el dinero durante cuatro meses fue cedido a otro a la misma tasa de interés y ascendió en diez mounths a 78drammas. Dar la tasa de interés.

También se dan reglas para sumar series. Brahmagupta da la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales como n (n 1) (2 n 1) / 6 y la suma de los cubos de los primeros n números naturales como (n (n 1) / 2 ) ^2. No hay pruebas se dan por lo que no sabemos cómo Brahmagupta descubrió estas fórmulas.

En el Brahmasphutasiddhanta Brahmagupta dio fórmulas notables para el área de un cuadrilátero cíclico y para las longitudes de las diagonales en términos de los lados. El único punto discutible aquí es que Brahmagupta no dice que las fórmulas son sólo es cierto para los cuadriláteros cíclicos por lo que algunos historiadores afirman que es un error, mientras que otros afirman que se refería claramente las reglas a aplicar sólo a los cuadriláteros cíclicos.

Mucho material en el Brahmasphutasiddhanta se ocupa de los eclipses solares y lunares, conjunciones planetarias y las posiciones de los planetas. Brahmagupta creía en una Tierra estática y le dio la longitud del año como 365 días 6 horas 5 minutos y 19 segundos en la primera obra, cambiando el valor a 365 días 6 horas 12 minutos y 36 segundos en el segundo libro de la Khandakhadyaka. Este segundo valores no es, por supuesto, una mejora en el primer puesto que la longitud real de los años si es inferior a 365 días 6 horas. Uno tiene que preguntarse si el segundo valor de Brahmagupta para la duración del año se toma de Aryabhata I ya que los dos de acuerdo en el plazo de 6 segundos, sin embargo, están a 24 minutos a cabo.

El Khandakhadyaka está en ocho capítulos que abarcan más temas como: las longitudes de los planetas; los tres problemas de rotación diurna; eclipses lunares; Los eclipses solares; salidas y puestas; media luna de la luna; y conjunciones de los planetas. Contiene un apéndice que es algunas versiones tiene sólo un capítulo, en otras versiones tiene tres.

De particular interés para las matemáticas en esta segunda obra de Brahmagupta es la fórmula de interpolación se utiliza para calcular los valores de senos. Esto se estudia en detalle en [ 13 ] en el que se demuestra que es un caso particular hasta segunda orden de la más general Newton - Stirling fórmula de interpolación.

AMIGOS PARA SIEMPRE

Páginas

viernes, 29 de abril de 2016

Historia de los matemáticos más famosos

Brahmagupta

La fórmula de Brahmagupta

La teoría de ecuaciones indeterminadas

Matemáticas

Algebra

Aritmética

Análisis diofántico

Geometría

Trigonometría

Astronomía

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Datos personales

Archivo del blog