Geometría descriptiva

Geometría afín

Envoltura afín

Sea ${\displaystyle Y}$ un subconjunto no vacío de ${\displaystyle \mathbb {E} }$, con ${\displaystyle \mathbb {E} }$ un espacio afín. La envoltura afín de ${\displaystyle Y}$ es el espacio afín más pequeño que contiene ${\displaystyle Y}$. Comúnmente se le denota como ${\displaystyle {\text{Aff}}Y}$. Como la intersección de espacios afines es un espacio afín, ${\displaystyle {\text{Aff}}Y=\cap _{\alpha }A_{\alpha }}$ con ${\displaystyle \{A_{\alpha }\}_{\alpha }}$ la familia de todos los espacios afines que contienen a ${\displaystyle Y}$.

espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Nota: las parejas de elementos de ${\displaystyle E_{}^{}}$, esto es los elementos de ${\displaystyle E\times E\,}$ son llamados « bipuntos»^{[cita requerida]}; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».

Dado un conjunto no vacío ${\displaystyle E_{}^{}}$ diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial ${\displaystyle V_{}^{}}$ si se tiene la siguiente aplicación:¹

Visualización del orden de los puntos para ${\displaystyle \varphi }$ o como origen y destino de una traslación.

${\displaystyle {\begin{matrix}\varphi :&E\times E&\longrightarrow {}&V\\&(a,b)&\longmapsto &\varphi (a,b)\end{matrix}}}$

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación ${\displaystyle \varphi _{a}}$ es biyectiva, es decir:

${\displaystyle \forall a\in E,v\in V,\;\exists !\ b\in E:\varphi (a,b)=\mathbf {v} .}$

2) Se tiene la relación de Charles, es decir:

${\displaystyle \forall \ a,b,c\in E\qquad \varphi (a,b)+\varphi (b,c)=\varphi (a,c)\,}$

Los elementos de ${\displaystyle E_{}^{}}$ se llaman puntos.

Se designa al vector ${\displaystyle \varphi (a,b)\,}$ por la notación ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$, así la propiedad 2 se escribe como:

${\displaystyle \forall a,b,c\in E\;\;{\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}}$

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación ${\displaystyle \varphi }$ asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Propiedades elementales

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados ${\displaystyle a,b,c,d\,}$ y ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\,}$ puntos cualesquiera en un espacio afín ${\displaystyle E\,}$.

Tenemos:

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}={\vec {0}}\quad \Leftrightarrow a=b\,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {ba}}=-{\overrightarrow {ab}}\,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}={\overrightarrow {cd}}\quad \Leftrightarrow {\overrightarrow {ac}}={\overrightarrow {bd}}\,}$ (regla del paralelogramo).

${\displaystyle {\overrightarrow {a_{1}a_{n}}}=\sum _{i=1}^{n-1}\quad {\overrightarrow {a_{i}a_{i+1}}}}$ (relación de Chasles generalizada)

Traslaciones

Dado un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ sobre ${\displaystyle V\,}$ mediante ${\displaystyle \varphi \,}$ y un vector ${\displaystyle u\in V}$, una traslación de vector ${\displaystyle u\,}$ en ${\displaystyle E\,}$ es una aplicación dada por:

${\displaystyle {\begin{matrix}T_{u}:&E&\longrightarrow {}&E\\&a&\longmapsto &b&:\varphi (a,b)=u\end{matrix}}}$

Observaciones:

Se puede escribir como ${\displaystyle T_{u}(a):=\varphi _{a}^{-1}(u)}$ que está bien definida por ser ${\displaystyle \varphi _{a}}$ biyectiva.

Propiedades

Dados los vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ se tiene:

${\displaystyle T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}.}$

${\displaystyle \forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b}$

Proposición

Un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ sobre ${\displaystyle V\,}$ queda univocamente determinado por el conjunto:²

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{T_{u}:E\to E}$ es aplicación ${\displaystyle \forall u\in V\}}$

si cumple:

a) ${\displaystyle T_{v}\circ T_{u}=T_{v+u}}$

b) ${\displaystyle \forall a,b\in E,\;\exists !u\in V:\;T_{u}(a)=b.}$

Demostración

Observación:

${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ es el conjunto de todas las traslaciones ya que ${\displaystyle \exists !b:\varphi _{a}^{-1}(u)=b=T_{u}(a).}$

Un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ se designa por la terna ${\displaystyle (E,V,\varphi )}$ o ${\displaystyle (E,V,T)}$ según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades

${\displaystyle T_{0}=Id.}$

${\displaystyle T_{u}}$ es biyectiva y ${\displaystyle T_{u}^{-1}=T_{-u}.}$

Si ${\displaystyle T_{v'}\circ T_{u}=T_{u'}\circ T_{v}}$ entonces ${\displaystyle T_{u}=T_{u'}\Leftrightarrow T_{v}=T_{v'}.}$

Si ${\displaystyle \exists a\in E:T_{u}(a)=T_{v}(a)\Rightarrow u=v}$

Ejemplos:

Los espacios vectoriales ${\displaystyle V\,}$ son espacios afines sobre sí mismos.³

Demostración

Dados dos espacios afínes ${\displaystyle (E,V,T)}$ y ${\displaystyle (E',V',T')}$, entonces también es un espacio afín la terna:⁴

${\displaystyle (E\times E',V\times V',T\times T')}$ donde ${\displaystyle {\begin{matrix}T\times T'_{(u,v)}:&E\times E'&\longrightarrow {}&E\times E'\\&(a,b)&\longmapsto &(T_{u}(a),T'_{v}(b))\end{matrix}}.}$

Notación

Se usa como notación algebraica de ${\displaystyle u={\vec {ab}}}$:⁵

• ${\displaystyle u=b-a,}$

• ${\displaystyle b=u+a,}$

• ${\displaystyle a=b-u.}$

Consistencia de la notación

• Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado ${\displaystyle E\,}$ un espacio afín sobre ${\displaystyle V\,}$ mediante ${\displaystyle \varphi }$ y ${\displaystyle U\subset V}$ un subespacio vectorial. Se espera que ${\displaystyle F\,}$ sea un espacio afín sobre ${\displaystyle U\,}$ con ${\displaystyle \varphi _{\vert F\times F}}$ por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2) ${\displaystyle \varphi (a,b)+\varphi (b,c)}$ ${\displaystyle =\varphi (a,c)}$ es heredado del espacio afín ${\displaystyle E\,}$

1) ${\displaystyle \varphi _{a}}$ es biyectiva, es decir:

${\displaystyle {\begin{matrix}\varphi _{a}:&F&\longrightarrow {}&U\\&b&\longmapsto &b-a&=v\\b=&v+a&\longleftarrow &v\end{matrix}}}$

de donde se deduce que ${\displaystyle F-a\subset U}$ y ${\displaystyle U+a\subset F}$ por tanto solo se ha de verificar que ${\displaystyle F=a+U}$ para cualquier ${\displaystyle a\in F}$, es decir, ${\displaystyle F\,}$ ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.⁷

Dado un espacio afín ${\displaystyle E\,}$ sobre ${\displaystyle V\,}$, ${\displaystyle a\in E}$ y ${\displaystyle U\subset V}$ un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por ${\displaystyle a\,}$ y dirección ${\displaystyle U\,}$ al conjunto ${\displaystyle F\subset E}$ tal que:

${\displaystyle F:=\{b\in E:b-a\in U\}}$ ${\displaystyle =\{b\in E:b=u+a,u\in U\}}$ ${\displaystyle =\{a+u:u\in U\}}$ ${\displaystyle =a+U.}$

Dados ${\displaystyle u,v\in E}$ diremos que pertenecen a un mismo espacio ${\displaystyle F\,}$ de dirección ${\displaystyle U\,}$ si ${\displaystyle u-v\in U}$.

Espacio Afín y Subespacios Afines

Definición 1.1   Sea  espacio vectorial sobre . Se llama espacio afín asociado a , a un conjunto  y una aplicación   tal que verifique los axiomas:

1 .   y ,    tal que  

2.   ,  

El axioma 1 quiere decir que fijado un elemento de , hay una correspondencia biunívoca entre los elementos de  y los de . El axioma 2 es la llamada propiedad triangular. El espacio afín, en este caso, se designa por  , o simplemente .

Aplicaciones Afines.

Definición 2.1   Sean  y  espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo .  y espacios afines con aplicaciones   y  respectivamente. Una aplicación  se dice afín si la aplicación definida por ,   es lineal.

Al homomorfismo se le llama aplicación lineal asociada a la aplicación afín .

Definición 2.2   Sean  distintos dos a dos y tal que   con . A este  se le llama razón simple de  y  y se representa por .

Ejercicio 2.3   Sea  aplicación afín y  aplicación lineal asociada, probar que:

1.    Si  es una variedad afín de  con dirección , entonces  es una variedad afín de  con dirección .

2.    Si  y  son paralelas en  también lo son  y  en .

3.    Si , tales que  y además  entonces .

4.    La aplicación es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, si y sólo si  es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva respectivamente.

5.    Si  es biyectiva, entonces  es afín con aplicación lineal asociada .

6.    Sean , ,  espacios afines y  y  aplicaciones afines. Entonces  es una aplicación afín con aplicación lineal asociada .

Espacios Afines de Dimensión Finita.

Definición 3.1   Sea . Se llama sistema de referencia cartesiano o afín de  a todo par donde  y  es una base de .

Definición 3.2   Dado un sistema de referencia  y dado , tenemos  y por tanto . A  se le llaman coordenadas cartesianas o afines del punto  respecto del sistema de referencia .

Ejercicio 3.3 (Cambio de sistema de referencia cartesiano).

Sean  y  dos sistemas de referencias cartesianas y sean  las coordenadas de un punto  respecto de ambos sistemas de referencia. Probar que se tiene la siguiente igualdad:

Donde  son las coordenadas de  en el sistema de referencia  y .

Definición 3.4   Sean   puntos de . Se dice que son afinmente independientes si los vectores  , , ... ,  son linealmente independientes.

Ejercicio 3.5   Probar que por  puntos afinmente independientes, , pasa una única variedad  de dimensión . Definida por: .

Ecuaciones de las Variedades Afines

Ejercicio 4.1   Sea  una subvariedad de  con . Sea  un sistema de referencia de , sean   las coordenadas de un punto  respecto a , sea  una base de . Probar que un punto  está en  si y sólo si cumple las siguientes ecuaciones paramétricas:

Donde .

Puesto que  se tiene que las ecuaciones paramétricas constituyen un sistema de  ecuaciones con  incognitas que son los . Para que el sistema tenga solución utilizando el teorema de Frobenius se ha de cumplir que:

  rango                                              dim                   rango

Los determinantes de orden  tienen que ser nulos, luego

Definición 4.2   Los  determinantes nulos anteriores son las ecuaciones cartesianas de .

Observaciones

1.    Número de ecuaciones cartesianas = .

2. Si  es un hiperplano, (                           ) aparece una única ecuación cartesiana. Así pues, una variedad de dimensión puede verse como corte de  hiperplanos.