sábado, 28 de enero de 2017

Geometría descriptiva

Geometría afín


Envoltura afín

Sea  un subconjunto no vacío de , con  un espacio afín. La envoltura afín de  es el espacio afín más pequeño que contiene . Comúnmente se le denota como . Como la intersección de espacios afines es un espacio afín,  con  la familia de todos los espacios afines que contienen a .








espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.
Nota: las parejas de elementos de , esto es los elementos de  son llamados « bipuntos»[cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».
Dado un conjunto no vacío  diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial  si se tiene la siguiente aplicación:1
EspacioAfín1.svg

Visualización del orden de los puntos para  o como origen y destino de una traslación.
tal que se cumplan:
1) Fijado un punto a la aplicación  es biyectiva, es decir:
EspacioAfín1b.svg
2) Se tiene la relación de Charles, es decir:
EspacioAfín1c.svg
Los elementos de  se llaman puntos.
Se designa al vector  por la notación , así la propiedad 2 se escribe como:
La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.
Observación:
La aplicación  asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Propiedades elementales

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:
Dados  y  puntos cualesquiera en un espacio afín .
Tenemos:
 (regla del paralelogramo).
 (relación de Chasles generalizada)

Traslaciones

EspacioAfín2T.svg
Dado un espacio afín  sobre  mediante  y un vector , una traslación de vector  en  es una aplicación dada por:
Observaciones:
Se puede escribir como  que está bien definida por ser  biyectiva.

Propiedades

Dados los vectores  se tiene:

Proposición

Un espacio afín  sobre  queda univocamente determinado por el conjunto:2
 es aplicación 
si cumple:
a) 
b) 
Demostración
Observación:
 es el conjunto de todas las traslaciones ya que 
Un espacio afín  se designa por la terna  o  según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades

 es biyectiva y 
Si  entonces 
Si 
Ejemplos:
Los espacios vectoriales  son espacios afines sobre sí mismos.3
Demostración
Dados dos espacios afínes  y , entonces también es un espacio afín la terna:4
 donde 

Notación

Se usa como notación algebraica de :5
Consistencia de la notación
  • Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.
Dado  un espacio afín sobre  mediante  y  un subespacio vectorial. Se espera que  sea un espacio afín sobre  con  por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:
2)   es heredado del espacio afín 
1)  es biyectiva, es decir:
de donde se deduce que  y  por tanto solo se ha de verificar que  para cualquier , es decir,  ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.7
Dado un espacio afín  sobre  y  un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por  y dirección  al conjunto  tal que:
   
Dados  diremos que pertenecen a un mismo espacio  de dirección  si .

Espacio Afín y Subespacios Afines

Definición 1.1   Sea $ V$ espacio vectorial sobre $ K$. Se llama espacio afín asociado a $ V$, a un conjunto $ {\mathcal{A}}\neq\emptyset$ y una aplicación  $ \varphi :{\mathcal{A}}\times {\mathcal{A}} \rightarrow V$ tal que verifique los axiomas:

1 .  $ \forall A\in {\mathcal{A}}$ y $ \forall v\in V$$ \exists ! B\in {\mathcal{A}}$   tal que  $ \varphi (A,B)=v$
2.   $ \forall A,B,C \in {\mathcal{A}}$,  $ \varphi (A,B)+\varphi (B,C)=\varphi (A,C)$

El axioma 1 quiere decir que fijado un elemento de $ {\mathcal{A}}$, hay una correspondencia biunívoca entre los elementos de $ {\mathcal{A}}$ y los de $ V$. El axioma 2 es la llamada propiedad triangular. El espacio afín, en este caso, se designa por  $ {\mathcal{A}}(V(K))$, o simplemente $ {\mathcal{A}}(V)$.

Aplicaciones Afines.

Definición 2.1   Sean $ V$ y $ V'$ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $ K$$ A(V)$ y $ {\mathcal{A}}'(V')$espacios afines con aplicaciones  $ \varphi :{\mathcal{A}}\times {\mathcal{A}} \rightarrow V$ y $ \varphi ':{\mathcal{A}}'\times
{\mathcal{A}}'\rightarrow V'$ respectivamente. Una aplicación $ f:A\rightarrow A'$ se dice afín si la aplicación $ \hat f:V\rightarrow V'$definida por $ \hat
f(\varphi(A,B))=\varphi
'(f(A),f(B))$,  $ \forall A,B\in A(V)$ es lineal.
Al homomorfismo $ \hat f$se le llama aplicación lineal asociada a la aplicación afín $ f$.
Definición 2.2   Sean $ A,B,C\in {\mathcal{A}}(V)$ distintos dos a dos y tal que  $ \varphi(A,B)=\lambda\varphi(A,C)$ con $ \lambda \in K$. A este $ \lambda$ se le llama razón simple de $ A,B$ y $ C$ y se representa por $ (A,B,C)=\lambda$.

Ejercicio 2.3   Sea $ f:A(V):\rightarrow {\mathcal{A}}'(V')$ aplicación afín y $ \hat f:V\rightarrow V'$ aplicación lineal asociada, probar que:
1.    Si $ L$ es una variedad afín de $ {\mathcal{A}}(V)$ con dirección $ W$, entonces $ f(L)$ es una variedad afín de $ {\mathcal{A}}'(V')$ con dirección $ \hat f(W)$.
2.    Si $ L_1$ y $ L_2$ son paralelas en $ {\mathcal{A}}(V)$ también lo son $ f(L_1)$ y $ f(L_2)$ en $ {\mathcal{A}}'(V')$.
3.    Si $ A,B,C\in A(V)$, tales que $ (A,B,C)=\lambda$ y además $ f(B)\neq f(C)$ entonces $ (f(A),f(B),f(C))=\lambda$.
4.    La aplicación $ f$es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, si y sólo si $ \hat f$ es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva respectivamente.
5.    Si $ f$ es biyectiva, entonces $ f^{-1}:{\mathcal{A}}'(V')\rightarrow
{\mathcal{A}}(V)$ es afín con aplicación lineal asociada $ \hat
f^{-1}:V'\rightarrow V$.
6.    Sean $ {\mathcal{A}}(V)$$ {\mathcal{A}}'(V')$$ {\mathcal{A}}''(V'')$ espacios afines y $ f:{\mathcal{A}}\rightarrow {\mathcal{A}}'$ y $ g:{\mathcal{A}}'\rightarrow
{\mathcal{A}}''$ aplicaciones afines. Entonces $ g\circ f$ es una aplicación afín con aplicación lineal asociada $ \hat g\circ\hat f$.

Espacios Afines de Dimensión Finita.

Definición 3.1   Sea $ {\mathcal{A}}(V_n)$. Se llama sistema de referencia cartesiano o afín de $ {\mathcal{A}}$ a todo par $ \{O;B_V\}$donde $ O\in {\mathcal{A}}$ y $ B_V$ es una base de $ V_n$.

Definición 3.2   Dado un sistema de referencia $ R_{\mathcal{A}}=\{O;v_1,\dots
v_n\}$ y dado $ X\in {\mathcal{A}}$, tenemos $ \varphi(O,X)\in V_n$ y por tanto $ \varphi(O,X)=x_1v_1+x_2v_2+\dots +x_nv_n$. A $ (x_1,x_2,\dots
,x_n)_R$ se le llaman coordenadas cartesianas o afines del punto $ X$ respecto del sistema de referencia $ R_{\mathcal{A}}$.

Ejercicio 3.3 (Cambio de sistema de referencia cartesiano).
Sean $ R_{\mathcal{A}}=\{O;v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ y $ R'_{\mathcal{A}}=\{O',u_1,u_2\dots u_n\}$ dos sistemas de referencias cartesianas y sean $ X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)_R= (x'_1,x'_2,\dots ,x'_n)_{R'}$ las coordenadas de un punto $ X\in {\mathcal{A}}$ respecto de ambos sistemas de referencia. Probar que se tiene la siguiente igualdad:
$ (1,x_1,x_2,\dots ,x_n)=(1,x'_1,x'_2,\dots ,x'_n)
\left (
\begin{array}{ccccc}
...
...\vdots & & \vdots \\
0 & a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right )
$
Donde $ (a_1,a_2,\dots ,a_n)$ son las coordenadas de $ O'$ en el sistema de referencia $ R$ y $ u_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}v_j$.
Definición 3.4   Sean $ A_0,A_1,\dots ,A_r$ $ r+1$ puntos de $ {\mathcal{A}}(V)$. Se dice que son afinmente independientes si los vectores  $ \varphi(A_0,A_1)$$ \varphi(A_0,A_2)$, ... , $ \varphi(A_0,A_r)$ son linealmente independientes.

Ejercicio 3.5   Probar que por $ r+1$ puntos afinmente independientes, $ A_0,A_1,\dots ,A_r$, pasa una única variedad $ W$ de dimensión $ r$. Definida por: $ L=A_0+<\varphi(A_0,A_1),\varphi(A_0,A_2),\dots
,\varphi(A_0,A_r)>$.

Ecuaciones de las Variedades Afines

Ejercicio 4.1   Sea $ L=A+W$ una subvariedad de $ {\mathcal{A}}(V_n)$ con $ dim(L)=r$. Sea $ R_A=\{O;u_1,\dots ,u_n\}$ un sistema de referencia de $ {\mathcal{A}}(V)$, sean  $ (a_1,\dots ,a_n)$ las coordenadas de un punto $ A$ respecto a $ R$, sea $ B_W=\{v_1,v_2,\dots ,v_r\}$ una base de $ W$. Probar que un punto $ X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)_R$ está en $ L$ si y sólo si cumple las siguientes ecuaciones paramétricas:
\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
x_1&=& a_1+\lambda_1\alpha_{11}+\lambda_2...
...lambda_2\alpha_{2n}+\dots
+\lambda_r\alpha_{rn} \\
\end{array}\end{displaymath}
Donde $ v_i=\sum_{j=1}^n\alpha_{ij}u_j$.
$\displaystyle \left (
\begin{array}{ccccc}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \dots & ...
...
\alpha_{1n} & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{rn} & x_n-a_n
\end{array}\right )
$$\displaystyle \left (
\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \dots & \...
...vdots \\
\alpha_{1n} & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{rn}
\end{array}\right )
=$Puesto que $ dim(W)=r$ se tiene que las ecuaciones paramétricas constituyen un sistema de $ n$ ecuaciones con $ r$ incognitas que son los $ \lambda_i$. Para que el sistema tenga solución utilizando el teorema de Frobenius se ha de cumplir que:

$\displaystyle (W)=r=$  rango                                              dim                   rango

Los determinantes de orden $ r+1$ tienen que ser nulos, luego
$\displaystyle \left \vert
\begin{array}{ccccc}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \dot...
...a_{1n} & \alpha_{2n} & \dots & \alpha_{rn} & x_n-a_n
\end{array}\right \vert=0
$







Definición 4.2   Los $ n-r$ determinantes nulos anteriores son las ecuaciones cartesianas de $ L$.
Observaciones
1.    Número de ecuaciones cartesianas = $ dim({\mathcal{A}}(V))-dim(L)$.
  1. $ dim(L)=n-1$Si $ L$ es un hiperplano, (                           ) aparece una única ecuación cartesiana. Así pues, una variedad de dimensión $ r$puede verse como corte de $ n-r$ hiperplanos.

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