Geometría descriptiva

Geometría afín

centroide o baricentro de un objeto ${\displaystyle X}$ perteneciente a un espacio ${\displaystyle n}$-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a ${\displaystyle X}$ en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano.

Conceptos relacionados

Centroide de un triángulo, como intersección de las medianas del triángulo.

En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende del campo gravitatorio.

Consideremos un cuerpo material:

• Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades, tales como la simetría.
• Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad, el cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

Una figura cóncava puede tener su centroide en un punto situado fuera de la misma figura. El centroide de una lámina con forma de cuarto de Luna estará en algún punto fuera de la lámina.

El centroide de un triángulo (también llamado baricentro) se encuentra en el punto donde se intersecan sus transversales de gravedad (líneas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto). Este punto es también el centroide de la superficie del triángulo.

Centro de simetría

El centro de simetría de una figura geométrica es el centroide.

El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial, sus simetrías pueden determinar el centroide.

Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría traslacional el centroide no está definido, porque una traslación no tiene ningún punto fijo.

imágenes de centroide  .- .......................................:https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Centroid

Cálculo de los centroides

En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.

Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional.

Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.

Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.

El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.

Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexoyace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.

Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura.

Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediantecalcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.

Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.

Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.

Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total

        Área total     

= 

Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede ser modificada a

Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión.

Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será encontrado.

Aplicando la fórmula, . Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3

 x (x3 - 0) dx 
  (x3 - 0) dx 

= x4 dx

 x3 dx

= [x5 / 5]02

    [x4 / 4]02

= 32 / 5

   16 / 4

= 1.6

Del mismo modo, buscando la coordenada y

Aplicando la fórmula, 

Aquí x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos

 =  y (2 – y1/3)dy
 (2 – y1/3) dy

= (2y – y4/3 ) dy

  (2 – y1/3) dy

= [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08

= 16 – 3/7(32)

= 2.29

Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29)

Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un objetobidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de la media ponderada al centro del objeto dado.

 coordenadas trilineales x:y:z de un punto respecto a un triángulo se especifican mediante sus distancias a las rectas que forman los lados del triángulo. Las coordenadas trilineales son un ejemplo de coordenadas homogéneas. A menudo son designadas simplemente como "trilineales".

La relación x:y es la proporción entre las distancias perpendiculares desde un punto a los lados (extendidos si es necesario) opuestos a los vértices A y B respectivamente; la relación y:z es la proporción de las distancias perpendiculares del punto a las líneas opuestas a los vértices B y C respectivamente; y así mismo para z:x y los vértices C y A.

En el diagrama a la derecha, las coordenadas trilineales del punto interior indicado son las distancias reales ( a' , b' , c' ), o las equivalentes en forma de cociente, ka' : kb' : kc' para cualquier constante positiva k. Si un punto está en un lateral del triángulo de referencia, su correspondiente coordenada trilineal es 0. Si un punto exterior está en el lado opuesto de una línea lateral respecto al interior del triángulo, su coordenada trilineal asociada con ese margen es negativa. Es imposible que las tres coordenadas trilineales sean negativas simultáneamente.

Notación

La notación relativa trilineal x: y: z es diferente de la notación triple ( a ' , b' , c' ) para distancias reales orientadas. Aquí, cada uno de los valores x, y, y z no tiene ningún significado por sí mismo; pero su relación con cada uno de los otros sí tiene significado. Por lo tanto, debe evitarse la "notación con comas" para las coordenadas trilineales, porque la notación (x, y, z), referida a una terna ordenada de datos, no permite por ejemplo hacer que (x, y, z) = (2x, 2y, 2z), mientras que la "notación de puntos" sí permite expresiones como x: y: z = 2x: 2y: 2z.

Ejemplos

Las coordenadas trilineales del incentro de un triángulo ABC son 1: 1: 1; es decir, las distancias (dirigidas) desde el incentro a las líneas laterales BC, CA, AB son proporcionales a las distancias reales, denotadas por (r, r, r), donde r es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Dadas las longitudes de los lados a, b, c, se tiene que:

• A = 1 : 0 : 0
• B = 0 : 1 : 0
• C = 0 : 0 : 1
• Incentro = 1: 1: 1
• Centroide = bc: ca: ab = 1 /a: 1/b: 1/c = csc A: csc B: csc C
• Circuncentro = cos A: cos B: cos C
• Ortocentro = sec A: sec B: sec C
• Centro de nueve puntos = cos (B − C): cos (C − A): cos (A − B)
• Punto simediano = a: b: c = sin A: sin B: sin C
• A-excéntrico = −1: 1: 1
• B-excéntrico = 1: −1: 1
• C-excéntrico = 1: 1: −1

Debe tenerse en cuenta que en general el incentro no es lo mismo que el centroide; que tiene coordenadas baricéntricas 1: 1: 1 (siendo proporcionales a las áreas reales de los triángulos BGC, CGA, AGB; donde G = centroide).

Por ejemplo, el punto medio del lado BC, tiene coordenadas trilineales con respecto a las longitudes reales de los lados (a, b y c) ${\displaystyle (0,{\frac {\Delta }{b}},{\frac {\Delta }{c}})}$, siendo ${\displaystyle \Delta }$ el área del triángulo, que en forma de distancias relativas se simplifica tomando la forma ${\displaystyle 0:ca:ab}$.

La altura del pie de la perpendicular desde el punto A a BC es ${\displaystyle (0,{\frac {2\Delta }{a}}\cos C,{\frac {2\Delta }{a}}\cos B),}$ que en distancias relativas se simplifica a ${\displaystyle 0:\cos C:\cos B.}$^{1 :p. 96}

Fórmulas

Colinearidad y concurrencia

Las coordenadas trilineales permiten utilizar muchos métodos algebraicos sobre la geometría del triángulo. Por ejemplo, tres puntos

P = p : q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

son colineales si y solo si el determinante

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}}$

es igual a cero. Por lo tanto, si x: y: z es un punto variable, la ecuación de una línea a través de los puntos P y U es D = 0,^{1 :p. 23} de lo que se deduce que cada recta tiene una ecuación lineal homogénea en x, y, z. Cada ecuación de la forma lx + mi + nz = 0 en coeficientes reales es una recta real de puntos finitos a menos que l: m: n sea proporcional a a: b: c, las longitudes laterales, en cuyo caso se tiene un lugar geométrico de puntos en el infinito.^{1 :p. 40}

El enunciado dual del anterior es que las líneas

pα qβ + rγ = 0

uα vβ + wγ = 0

xα + yβ + zγ = 0

concurren en un punto (α, β, γ) si y solo si D = 0^{1 :p. 28}

También, si se utilizan distancias reales cuando se evalúa el determinante D, entonces (Área de (PUX)) = KD, donde K = abc/8∆² si el triángulo PUX tiene la misma orientación (hacia la derecha o hacia la izquierda) que el triángulo ABC, y K = –abc/8∆ ² en caso contrario.

Líneas paralelas

Dos líneas con las ecuaciones trilineales ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ y ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$ son paralelas si y solo si^{1 :p. 98,#xi}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0}$

donde a, b, c son las longitudes de los lados.

Ángulo entre dos líneas

Las tangentes de los ángulos entre dos líneas con las ecuaciones trilineales ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ y ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$ se definen por^1 :p.50

${\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}$

Líneas perpendiculares

Por lo tanto, dos líneas con las ecuaciones trilineales ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ y ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$ son perpendicular si y solo si

${\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}$

Altura

La ecuación de la altura desde el vértice A hacia BC es^1 :p.98,#x

${\displaystyle y\cos B-z\cos C=0.}$

Línea en términos de distancias desde los vértices

La ecuación de una línea con las distancias p, q, r desde los vértices A, B, ' C de un triángulo, cuyas longitudes de los lados opuestos a dichos vértices son a, b, c; es^{1 :p. 97,#viii}

${\displaystyle apx+bqy+crz=0}$

Distancias reales trilineales

Las coordenadas trilineales con los valores a', b', c' (siendo las distancias reales perpendiculares a lo lados) satisfacen que^{1 :p. 11}

${\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }$

para las longitudes de los lados del triángulo a, b, c y área ${\displaystyle \Delta }$. Esto puede verse en la figura de la parte superior de este artículo: con el punto P interior al triángulo ABC, se forman tres triángulos ( PBC, ACP y PAB) con las áreas respectivas (1/2)aa' ; (1/2) bb' ; y 1/2 cc' .

Distancia entre dos puntos

La distancia d entre dos puntos con distancias reales trilineales a'_i: b'_i: c'_i viene dada por^{1 :p. 46}

${\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a'_{1}-a'_{2})^{2}+(b'_{1}-b'_{2})^{2}+2(a'_{1}-a'_{2})(b'_{1}-b'_{2})\cos C}$

Distancia de un punto a una línea

La distancia d desde un punto a'₀: b'₀: c'₀, en coordenadas trilineales de distancias reales, a una línea recta lx + mi + nz = 0 es^{1 :p. 48}

${\displaystyle d={\frac {la'_{0}+mb'_{0}+nc'_{0}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}}$

Curvas cuadráticas

La ecuación de una cónica según las coordenadas trilineales x: y: z es^1 :p.118

${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$

Carece de términos lineales y de términos constantes.

La ecuación de un círculo de radio r con centro en las coordenadas de distancia real ( a', b', c' ) es^1 :p.287

${\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}$

Circuncónicas

La ecuación en coordenadas trilineales x, y, z de cualquier circuncónica de un triángulo es^{1 :p. 192}

${\displaystyle lyz+mzx+nxy=0.}$

Si los parámetros l, m, n son respectivamente iguales a las longitudes de los lados d3l triángulo a, b, c (o los senos de los ángulos opuestos) entonces la ecuación coincide con la circunferencia circunscrita.^{1 :p. 199}

Cada circuncónica distinta tiene su propio centro. La ecuación trilineal de la circuncónica con centro x': y': z' es^{1 :p. 203}

${\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.}$

Incónicas

Cada sección cónica inscrita en un triángulo tiene una ecuación en coordenadas trilineales de la forma^{1 :p. 208}

${\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,}$

con exactamente uno o los tres signos no especificados negativos.

La ecuación de la circunferencia inscrita puede ser simplificada a^{1 :p. 210, p.214}

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,}$

mientras que la ecuación para, por ejemplo, la circunferencia exinscrita adyacente al segmento del lado opuesto al vértice A se puede escribir como^{1 :p. 215}

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.}$

Curvas cúbicas

Muchas curvas cúbicas se representan fácilmente usando trilineales. Por ejemplo, el auto-isoconjugado cúbico Z(U,P), definido como el lugar geométrico de un punto X que es el isoconjugado P de X respecto a la línea UX viene dado por la ecuación determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0}$

Entre las cúbicas del tipo Z(U,P) se incluyen las siguientes:

Cúbica de Thomson: Z(X( 2),X(1)), donde X( 2) = centroide, X(1) = incentro

Cúbica de Feuerbach: Z(X( 5),X(1)), donde X( 5) = punto de Feuerbach

Cúbica de Darboux: Z(X(20),X(1)), donde X(20) = punto de De Longchamps

Cúbica de Neuberg: Z(X(30),X(1)), donde X(30) = punto del infinito de Euler

Conversiones

Entre coordenadas trilineales y distancias a los lados

Dada una coordenada trilineal x: y: z, para localizar el punto, las distancias reales del punto a los lados se calculan por a' = kx, b' = ky, c' = kz, donde k puede determinarse por la fórmula ${\displaystyle k={\frac {2\Delta }{ax+by+cz}}}$ en el que a, b, c son las longitudes respectivas de los lados BC, CA, AB; y ∆ es el área del triángulo ABC.

Entre coordenadas baricéntricas y trilineales

Un punto de coordenadas trilineales x: y: z tiene coordenadas baricéntricas ax: by: cz; donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo. Por el contrario, un punto con coordenadas baricéntricas α: β: γ tienen coordenadas trilineales α/a: β/b: γ/c.

Entre coordenadas cartesianas y trilineales

Dado un triángulo de vértices ABC, la posición del vértice B se puede expresar en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas, que se representa algebraicamente como un vector B, con el vértice C como origen. Así mismo, se define el vector de posición del vértice A como A. Entonces cualquier punto P asociado con el triángulo de referencia ABC puede definirse en un sistema cartesiano como un vector P = k₁A k₂B. Si este punto P tiene coordenadas trilineales x: y: z entonces la fórmula de conversión de los coeficientes de k₁ y k₂ en la representación cartesiana a las coordenadas trilineales es, para las longitudes de los lados del triángulo a, b, c opuestos a los vértices A, B, C,

${\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},}$

y la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales para los coeficientes en la representación cartesiana es

${\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.}$

De forma más general, si se elige un origen arbitrario donde las coordenadas cartesianas de los vértices son conocidas y representadas por los vectores A, B y C; y si el punto P tiene coordenadas trilineales x: y: z, entonces las coordenadas cartesianas de P son la media ponderada de las coordenadas cartesianas de los vértices utilizando las coordenadas baricéntricas ax, by y cz como pesos. Por lo tanto, la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales x, y, z al vector de coordenadas cartesianos P del punto está dada por

${\displaystyle {\underline {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\underline {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\underline {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\underline {C}},}$

donde son las longitudes de los lados son | C − B | = a; | A − C | = b; y | B − A | = c.