Geometría proyectiva

plano de Fano (cuyo nombre se debe a Gino Fano) es el plano proyectivo finito con el menor número posible de puntos y líneas: sólo 7 de cada uno.

Definiciones formales

Coordenadas homogéneas

Está construido sobre el espacio vectorial

Z_{2}^{3}

y sus siete puntos pueden representarse como coordenadas homogéneas utilizando una codificación binaria de números distintos de cero, de la siguiente manera:

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

(0,1,1)

(1,0,1)

(1,1,0)

(1,1,1)

Definición axiomática

Otra manera de definir el plano de Fano es mediante los siguientes axiomas:

Cada línea del plano tiene al menos tres puntos.
Por cada punto del plano pasan al menos tres líneas.
Por cada par de puntos pasa una y sólo una línea.
Cada par de líneas se une exactamente en un punto.
Cada línea del plano tiene un máximo de tres puntos.
Por cada punto del plano pasan a lo más tres líneas.

Los dos últimos axiomas son los que realmente determinan un plano de Fano.

Matriz de incidencia

Sea A={1,2,3,4,5,6,7} el conjunto de vértices que conforman el Plano de Fano, entonces éste también puede representarse como el hipergrafo conformado por las hiperaristas {1,2,3}, {1,4,7}, {1,5,6}, {2,4,5}, {2,6,7}, {3,4,6} y {3,5,7}. Una tercera manera de definir el Plano de Fano es, entonces, a través de la matriz de incidencia de este hipergrafo. Es decir, como la matriz booleana:

1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

Plano de Fano

En este ejemplo presentaremos un modelo de geometrías finitas en el plano. En él interpretaremos sólo las nociones de $\mbox{\underline{\tt punto}}$ y $\mbox{\underline{\tt recta}}$ y a las relaciones que las involucran. Consideraremos un conjunto de siete rectas y un conjunto de siete puntos. La relación $\mbox{\underline{\tt pasa\_por}}$ la interpretamos como una del conjunto de rectas al conjunto de puntos. Sea $\mbox{\it Fano}=\left(f_{ij}\right)_{i,j=1}^7$ la matriz tal que

$\begin{displaymath}f_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{\rm si la recta $i$... ...nto $j$ } \\ 0 &\mbox{\rm en otro caso } \end{array}\right.\end{displaymath}$

Explícitamente, hemos de tener:

$\begin{displaymath}\mbox{\it Fano}=\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 &... ... 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 %%\\ \end{array}\right]\end{displaymath}$

Puede verse fácilmente que siempre es posible encontrar una recta única que pase por dos puntos dados, cada recta contiene al menos dos puntos y existe una tríada (de hecho hay $28={7 \choose 3}-7$ ) de puntos no colineales. Así que se cumplen inmediatamente los tres primeros axiomas de incidencia de la Geometría de Hilbert. Ahora, interpretemos a la relación $\mbox{\underline{\tt entre}}$ como sigue:

$\begin{eqnarray*} \mbox{\underline{\tt entre}}(p_i,p_j,p_k) &\Leftrightarrow& \... ...ales}\right) \ \land \\ &\ & \left(i<j<k\ \lor\ k<j<i\right) \end{eqnarray*}$

Resulta con esto, que si una recta ``entra'' a un triángulo por un lado, entonces ha de ``salir'' por uno de los otros dos lados. En consecuencia, este modelo satisface los axiomas primero, tercero y cuarto de orden. Deja de cumplir con el segundo pues siendo éste un modelo finito, no puede ocurrir que entre cualesquiera dos puntos exista un tercero entre ellos.

El plano proyectivo es el conjunto estudiado por la geometría proyectiva. Surge en geometría euclidiana al añadir a un plano un punto por cada familia de rectas paralelas (es decir, uno por cada par de direcciones opuestas). Los puntos así añadidos reciben el nombre de puntos del infinito, y su introducción unifica y simplifica mucho los enunciados de la geometría. Por ejemplo, la afirmación que dice que dos rectas de un plano se cortan en un único punto o son paralelas, en el plano proyectivo se enuncia: Dos rectas siempre se cortan en un único punto.

Empleo en la geometría proyectiva

La geometría proyectiva surge realmente al estudiar «solamente» las relaciones de incidencia cuando los puntos ordinarios y los puntos del infinito se consideran en pie de igualdad. Una forma de visualizar la geometría proyectiva es tomar un punto P exterior al plano y definirlo como las proyecciones de los elementos tridimensionales sobre un plano. Cada punto del plano define claramente una recta que pasa por P; pero así no obtenemos todas las rectas que pasan por P: faltan las rectas paralelas al plano dado, que se corresponden precisamente con las direcciones del plano.

Los puntos del plano proyectivo se corresponden naturalmente con las rectas que pasan por P, y las rectas del plano proyectivo con los planos que pasan por P. Esta correspondencia conserva las relaciones de incidencia, es un isomorfismo entre sus respectivas estructuras. Podemos definir sin más el plano proyectivo como la radiación de rectas de vértice un punto dado P. Además esta perspectiva permite introducir también la recta proyectiva, como radiación de rectas de vértice dado en un plano, y espacios proyectivos tridimensionales, como radiación de rectas que pasan por el origen en un espacio vectorial de dimensión 4, o de cualquier otra dimensión n (sin más que considerar espacios vectoriales de dimensión n+1).

De la pobreza de enunciados a su riqueza

Viendo sus dos principios (dos rectas se cortan en un punto y dos puntos definen una recta), la geometría proyectiva parece la más pobre de todas las geometrías, pues en sus enunciados sólo interviene el concepto de incidencia. No admite los conceptos de paralelismo, de perpendicularidad, distancia o ángulo. Solo permite enunciados de incidencia tales como:

«Por dos puntos pasa una única recta» o bien
Teorema de Desargues: «Si las tres rectas que unen los vértices de dos triángulos concurren en un punto, entonces los tres puntos de corte de las prolongaciones de los lados correspondientes están alineados».

Sin embargo, según hemos visto, los enunciados geométricos en que además interviene el concepto de paralelismo (la llamada geometría afín) pueden reformularse en el plano proyectivo sin más que fijar una recta, recta que entonces recibe el nombre de «recta del infinito». Así, todo enunciado afín admite un enunciado proyectivo equivalente, y la geometría afín puede verse como una pequeña parte de la geometría proyectiva: es la geometría de un plano proyectivo con una recta prefijada (o un plano en el espacio proyectivo, etc.). Igualmente se vio que la geometría euclídea se obtiene al fijar dos puntos complejos conjugados en la recta del infinito (los puntos donde cortan todas las circunferencias), quedando así englobada en la Geometría proyectiva: es la geometría de un plano proyectivo donde se han fijado dos puntos complejos conjugados de una recta. Incluso la geometría hiperbólica, la primera de las geometrías no euclídeas, puede obtenerse fijando una cónica: los puntos de la geometría son los puntos interiores de la cónica, las rectas son las secciones del interior de la cónica con rectas, y la distancia entre dos puntos A, B es esencialmente su razón doble con los puntos de corte P, Q de la recta AB con la cónica dada:

d(A,B) := | ln(A,B;P,Q) |

De este modo, la geometría proyectiva, la más humilde de todas, pasó a ser «la reina de la geometría».

Los axiomas y teoremas

Pero aún nos queda abordar la cuestión de la estructura subyacente en la geometría proyectiva, de explicitar sus axiomas. Los geómetras alemanes del siglo XIX alcanzaron a exponerla considerando el retículo formado por las subvariedades lineales (puntos, rectas, planos, etc.). Lo caracterizaron como un retículo de dimensión 3 (en el caso del espacio) con las siguientes propiedades:

dim(A+B) = dim(A) + dim(B) - dim(A∩B)
Hay 5 puntos en posición general (ningún plano pasa por 4 de ellos).
Es válido el Teorema de Desargues.

La contribución española

Si se desea que el cuerpo de coordenadas sea conmutativo, se ha de imponer la validez del teorema del hexágono de Pappus. De hecho, el catedrático de instituto Ventura de los Reyes Prósper (Castuera, 31 de mayo de 1863 - Toledo, 27 de noviembre de 1922) escribió una carta a Pasch explicando cómo en el espacio el teorema de Desargues se sigue de las otras dos propiedades y es, por tanto, superfluo. Pasch, asombrado ante la sencillez del argumento («... auf denkbar einfachste Art...») que simplificaba notablemente su reciente libro, lo publicó en 1888 en los Matematische Annalen. Es la primera contribución española publicada en revista de tal importancia. En el caso del plano proyectivo, obviamente se ha de exigir que se un retículo de dimensión con 4 puntos en posición general (ninguna recta pasa por 3 de ellos); pero en tal caso el teorema de Desargues ya no es consecuencia de las otras dos propiedades, sino que debe seguir manteniéndose como un axioma adicional.

En pleno siglo XX

Pero la sencilla recta proyectiva se resiste a ser caracterizada como retículo, pues su relación de orden es absolutamente trivial. Hasta mediados del siglo XX no se logró un marco conceptual que englobase tanto la estructura de la recta proyectiva como la del plano y el espacio proyectivo. El concepto de «esquema» introducido por Grothendieck permite recogerlos en su seno y, como regalo sobreabundante, también todo el álgebra conmutativa y gran parte de la aritmética.

Plano proyectivo

Autores: Leonardo Fernández Jambrina

La asimetría entre puntos y vectores del plano afín se soslaya en una construcción más compleja, el plano proyectivo. Veremos que en él puntos y vectores están en pie de igualdad y que sólo al descender al plano afín aparecen las diferencias. Los vectores serán los puntos del infinito.

Para ello, consideremos en R³ el conjunto de rectas que pasan por el origen. A cada recta le asignamos un punto del plano proyectivo P². Para identificar los puntos de P², tomamos un punto representante de cada recta cortándolas, por ejemplo, por el plano x₀ = 1. Cada recta corta a dicho plano en un único punto, salvo las rectas horizontales, paralelas al plano, que cortarían a x₀ = 1 en un punto del infinito.

Con esta construcción hemos asignado a cada punto del plano afín x₀ = 1 un punto del plano proyectivo. El resto de puntos son los puntos del infinito y los podemos asociar con cada una de las direcciones horizontales de las rectas del plano x₀ = 0. Es decir, cada punto del infinito se corresponde con un vector, realmente con una recta de vectores.

Esta construcción heurística del plano proyectivo nos permite llevar por proyección al plano afín objetos que están definidos en el proyectivo, ampliando nuestro repertorio. Un punto del plano proyectivo, definido en R³ por el vector (x₀,x₁,x₂), o por cualquier otro de la recta (lx₀,lx₁,lx₂), en coordenadas homogéneas, se refleja en el afín en el punto (1,x₁/x₀,x₂/x₀) si x₀ ¹ 0 en coordenadas inhomogéneas. En caso contrario, tal como queda dicho, se identifica con el vector (0,x₁,x₂).

1 Coordenadas proyectivas

Para definir un sistema de coordenadas en el plano proyectivo, se podría pensar que bastaría dar una terna de puntos no alineados. Si a,b,c son tres puntos no alineados del proyectivo (rectas vectoriales no coplanarias), añadimos un cuarto punto d, de manera que en {a,b,c;d} no haya tres puntos alineados. A este punto lo denominaremos punto unidad, precisamente porque ayuda a solventar la ambigüedad en la elección de representantes vectoriales, escogiendo vectores de R³que verifiquen

d = a+b+c .

(13)

Estos vectores son únicos, salvo un factor multiplicativo global (nótese que la, lb, lc, ld, también verifican dicha condición).

Así, si, una vez fijada la base vectorial, {a,b,c}, las coordenadas de x son (x₀,x₁,x₂), el punto x del proyectivo tendrá coordenadas homogéneas (lx₀,lx₁,lx₂), con cualquier l ¹ 0.

Un ejemplo más sencillo lo constituye la recta proyectiva. En una referencia {a,b;c}, un punto x de la recta tendrá coordenadas homogéneas l(x₀,x₁). Si x₀ ¹ 0, podemos escoger l de modo que las coordenadas del punto sean (1,x₁) con lo cual, como hemos visto, podemos identificar x con el punto x₁ de la recta afín. Sólo queda fuera el único punto de coordenadas (0,l). Este es el único punto adicional que presenta la recta proyectiva frente a la recta afín, así que podemos considerarlo el punto del infinito de esta. La recta proyectiva es, pues, una circunferencia cerrada por dicho punto.

Obviamente, las coordenadas homogéneas de a, b, c, en la referencia que definen son, respectivamente, (1,0), (0,1), (1,1), salvo factor multiplicativo.

2 Aplicaciones proyectivas

Una aplicación proyectiva del plano es una aplicación f: P²® P², es decir, que lleva rectas vectoriales de R³ a rectas vectoriales de R³, y que define a su vez una aplicación lineal f: R³® R³, de modo que, si f(x) = y, entonces f(x) = y, siendo x,y representantes de los puntos x,y del plano proyectivo.

En una base vectorial de R³, {a,b,c}, la aplicación f tendrá una expresión coordenada

(

y₀

y₁

y₂

) = M (

x₀

x₁

x₂

) ,

donde (x₀,x₁,x₂), (y₀,y₁,y₂) son las coordenadas de x,f(x), respectivamente, en dicha base y M es la matriz de f.

En el plano proyectivo, en una referencia {a,b,c;d} para la cual a,b,c,d son vectores representantes que verifican (13), la expresión matricial será la misma,

(

y₀

y₁

y₂

) = lM (

x₀

x₁

x₂

) ,

salvo un factor multiplicativo l ¹ 0.

Veámoslo en un ejemplo sencillo sobre la recta proyectiva, P¹. En este caso, las ecuaciones de una aplicación proyectiva serán de la forma

(

y₀

y₁

) = l(

) (

x₀

x₁

) = l(

A x₀+ B x₁

C x₀+ D x₁

) .

Para ganar intuición, proyectamos sobre la recta afín, dividiendo por la primera componente, es decir, eligiendo representantes en los que y₀ = 1 = x₀,

y₁ =

C + D x₁

A + B x₁

(15)

Son las llamadas transformaciones de Möbius de la recta. En general, son funciones racionales, salvo si B = 0, caso en el que recuperamos las aplicaciones afines de la recta. En caso contrario, la imagen de x₁ = -A/B queda fuera de la recta afín, ya que es el punto del infinito. Son aplicaciones proyectivas que no tienen equivalente afín, ya que mezclan el punto del infinito con los puntos afines.

Si (C,D) fuese proporcional a (A,B), podríamos factorizar la aplicación y nos quedaría y₁ = const.. Este es un caso degenerado que evitamos exigiendo a las aplicaciones de Möbius que AD-BC ¹ 0, es decir, que la aplicación lineal sea regular.

Las aplicaciones proyectivas no respetan la razón simple. Sin embargo, el cociente de dos razones simples sí es conservado. De hecho, se puede demostrar que las aplicaciones proyectivas son las únicas que conservan este cociente, que, por ser razón de dos razones simples, denominaremos razón doble de los puntos a,b,c,x,

[a,b,c,x]: =

[a,b,x]

[a,b,c]

(16)

Si llevamos el punto b al infinito, el cociente cb/xb tiende a la unidad y la razón doble está bien definida. Más aún, si tomamos a = 0, c = 1 (como corresponde a que, si (1,0), (0,1) son las coordenadas de a,b, respectivamente, entonces (1,1) son las del punto unidad c), entonces nos queda [0,¥,1,x] = x, es decir, la razón doble [a,b,c,x] nos proporciona la coordenada inhomogénea de x en la referencia {a,b;c}. Ejemplo

Lo mismo que para la razón simple, existen definiciones alternativas de la razón doble, que tan sólo modifican el orden de los puntos.

http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/curvas-y-superficies-en-el-diseno-geometrico-asistido-por-ordenador/contenido/introduccion/3pproyectivo.htm

AMIGOS PARA SIEMPRE

Páginas

domingo, 29 de enero de 2017

Geometría descriptiva