Geometría descriptiva

Geometría proyectiva

transformación de Möbius es una función de la forma:

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde z, a, b, c, d son números complejos que verifican que ad − bc ≠ 0.

Una transformación de Möbius puede verse en el plano complejo como la composición de una proyección estereográfica del plano sobre la esfera, seguida de una rotación o desplazamiento de la esfera a una nueva localización y finalmente una proyección estereográfica, esta vez de la esfera al plano.

Como veremos más abajo, será más natural considerar directamente las transformaciones de Möbius como transformaciones de la esfera de Riemann (i.e. del plano complejo aumentado con un punto en el infinito ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$).

Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius, aunque también se nombran como transformaciones especiales conformes, transformaciones racionales lineales o transformaciones homográficas.

El grupo de las transformaciones de Möbius

Una transformación de Möbius puede extenderse de modo natural a un biholomorfismo (o sea, una aplicación conforme y biyectiva) de la esfera de Riemann. Para que dicha transformación quede definida en toda la esfera de Riemann, seguiremos los siguientes convenios con el punto del infinito:

• -d/c se aplicará en ${\displaystyle \infty }$,
• ${\displaystyle \infty }$ se aplicará en a/c.

El conjunto de estas transformaciones definidas sobre la esfera de Riemann forma un grupo bajo la composición de funciones llamado el grupo de Möbius.

Este grupo, a su vez, puede dotarse con la estructura de variedad compleja de modo que la composición y la inversión sean aplicaciones holomorfas. Dicho de otro modo: el grupo de Möbius se convierte así en un grupo de Lie complejo.

Transformación de Möbius

Transformación de Möbius 


Este artículo trata sobre la transformación en

geometría proyectiva. 
En geometría, una transformación de Möbius es una función de la forma: 
 
donde z, a, b, c, d son números complejos que verifican que ad - bc ? 0. 

Una transformación de Möbius puede verse en el plano complejo como la composición de una proyección estereográfica del plano sobre la esfera, seguida de una rotación o desplazamiento de la esfera a una nueva localización y finalmente una proyección estereográfica, esta vez de la esfera al plano. 

Se considerará directamente las transformaciones de Möbius como transformaciones de la esfera de Riemann (i.e. del plano complejo aumentado con un punto en el infinito  ). 

Las transformaciones de Möbius también se nombran como transformaciones especiales conformes, transformaciones racionales lineales o transformaciones homográficas. 



El grupo de las transformaciones de Möbius 

Una transformación de Möbius puede extenderse de modo natural a un biholomorfismo (conforme y biyectiva) de la esfera de Riemann. Para que dicha transformación quede definida en toda la esfera de Riemann, seguiremos los siguientes convenios con el punto del infinito: 

 

El conjunto de estas transformaciones definidas sobre la esfera de Riemann forma un grupo bajo la composición de funciones llamado el grupo de Möbius. 
Este grupo, puede dotarse con la estructura de variedad compleja de modo que la composición y la inversión sean aplicaciones holomorfas. Dicho de otro modo: el grupo de Möbius se convierte así en un grupo de Lie complejo. 

La complejidad de las ecuaciones se achica cuando podemos visualizar su sentido. 
La Transformación de Moebius permite definir la inversión mediante el concepto proyectivo entre un plano y una esfera. 

El teorema del hexágono de Pappus afirma lo siguiente:

Si en un par de rectas se escogen tres puntos al azar en cada una y se unen dos a dos, las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una línea recta. Pappus de Alejandría

Puede considerarse como un caso degenerado del teorema de Pascal, que afirma lo mismo para cualquier cónica.

Es un teorema puramente de incidencia —no hace referencia a medidas—, pero se demuestra usando los axiomas de congruencia de segmentos. Es importante en el sistema axiomático de la geometría proyectiva, ya que introducido como axioma permite demostrar todos los teoremas de incidencia conocidos sin tener que introducir axiomas métricos. Gracias a esto, podemos considerar la geometría proyectiva como una geometría puramente de incidencia.