Geometría descriptiva

Geometría proyectiva

 coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.

También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues éste puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.

En coordenadas homogéneas, todo punto bidimensional está definido por tres coordenadas. De tal modo que un punto de dimensiones (x, y), se lo representa por la terna

${\displaystyle \left(\lambda x,\lambda y,\lambda \right),\quad \lambda \neq 0}$

Las coordenadas en dos dimensiones se pueden encontrar más fácilmente si λ = 1, por simplificación. En tres dimensiones, suele ocurrir lo mismo.^1 2

Una consecuencia de esta escritura es que un punto propio tiene infinitas formas de escribirlo, pues está determinado por una relación de equivalencia entre el punto en cuestión y aquellos otros contenidos en la recta que genera.

La idea básica se trata de ampliar el plano euclídeo (en el caso bidimensional) al plano proyectivo. Esto implica la consideración de los puntos impropios, o del infinito. Un punto impropio es aquel donde λ = 0, y está determinado por la dirección de una recta, contenida en el plano proyectivo. ³ Así, si el punto impropio está determinado por una recta en la forma Ax - By = 0, sus coordenadas homogéneas se escriben

${\displaystyle \left(B,A,0\right)}$

Recíprocamente, dadas las coordenadas homogéneas (x, y, z) de un punto, la respectiva proyección sobre el plano euclídeo tiene como coordenadas

${\displaystyle \textstyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right),\quad z\neq 0}$

Si z = 0 el punto es impropio, y por lo tanto no existe una manera de definirlo en el plano euclídeo.

Coordenadas homogéneas (espacios proyectivos)

Objetivos

Espacio vectorial

Espacio afín

Espacio proyectivo 2D

Espacio proyectivo 3D

Interpretación

Operación

Transformaciones

---

Objetivos

1. En 2D las rectas siempre se deben cortar
2. En 3D los planos siempre se deben cortar y las rectas siempre deben cortar a los planos
3. Tratamiento homogéneo de todas las transformaciones (traslación, escala, ...)
4. Un conjunto de transformaciones se podrá representar por una única matriz de transformación

Espacio vectorial Vⁿ

1. Basado en vectores: módulo, dirección, sentido
2. Operaciones:
   1. Suma (resta): vector nulo: 
   2. Producto por escalar
   3. Combinación lineal
   4. Producto escalar
   5. Producto vectorial ()
3. Ejemplo: 

Espacio afín Aⁿ

1. Basado en puntos: ninguno privilegiado
2. Operaciones
   1. Diferencia de puntos: 
   2. Suma de punto y vector: 
3. Distancia
4. Sistemas de coordenadas: punto origen  y vectores base 
5. Ejemplo: 

Coordenadas homogéneas en 2D: espacio proyectivo P²

1. P² es conjunto cociente:
   
   ej: (2,1,1) , (4,2,2) , (10,5,5) ... son el mismo punto en P²
2. Paso de espacio afín al espacio proyectivo (coordenadas homogéneas)
    es inyectiva
   ej: punto afín (2,1) , punto en coordenadas homogéneas correspondiente (2,1,1)
3. Puntos propios () e impropios o ideales ()
   1. Puntos impropios no tienen ningún punto correspondiente en el espacio afín
4. Rectas en P²:
   1. Implícita en P²: 
   2. Implícita en A²: 
   3. Paramétrica en P²: 
   4. Paramétrica en A²: 
   5. Recta ideal o impropia:  (definida por dos puntos P₀, P₁ impropios)
   6.  es punto impropio de la recta: (a₂,-a₁,0) (es la intersección con la recta ideal w=0)
   7. Rectas en P² siempre se cortan (¡incluso las paralelas!)

Coordenadas homogéneas en 3D: espacio proyectivo P³

1. Conjunto cociente 
   
2.  es inyectiva
3. Planos en P³:
   1. Implícita en P³: 
   2. Implícita en A³: 
   3. Paramétrica en P³: 
   4. Paramétrica en A³: 
   5. Plano ideal o impropio: 
   6.  es recta impropia del plano (intersección con plano ideal w=0)
   7. Planos en P³ siempre se cortan (¡incluso los paralelos!)
4. Rectas en P³:
   1. Implícita en P³: 
   2. Implícita en A³: 
   3. Paramétrica en P³: 
   4. Paramétrica en A³: 
   5.  es punto impropio de la recta (intersección con plano ideal w=0)
   6. Una recta y un plano en P³ siempre se cortan (¡incluso si son paralelos!)

Interpretación

1. Mezcla de espacio vectorial (w=0) y afín (w <> 0)
2. Añadir puntos del infinito (impropios) al espacio afín
3. Planos w=1 (puntos: espacio afín) y w=0 (vectores, puntos del infinito) de P²
4. Puntos impropios como direcciones

Modo de operación

1. Paso de puntos afines a puntos en coordenadas homogéneas
   
   ej: (3,2) -> (3,2,1)
2. Transformaciones en Pⁿ (traslación, rotación, escala, ...)
   
   ej: (3,2,1) -> (4,8,2)
3. Paso de puntos en coordenadas homogéneas a puntos afines
   
   ej: (4,8,2) -> (2,4)
   No se puede realizar para puntos impropios

Ejemplo de transformaciones en P²

1. Usamos vectores fila (x,y,w)
2. Traslación según  :
   1. Transformación:
      
   2. Paso a coordenadas homogéneas
      
   3. Matriz de transformación:
      
   4. ¡Sin forma matricial en espacio afín!
3. Escala (homotecia) según factores (a,b):
1. Transformación:
   
2. Paso a coordenadas homogéneas
   
3. Matriz de transformación:
   

http://arantxa.ii.uam.es/~pedro/graficos/teoria/Homogeneas/Homogeneas.htm

teorema de Desargues, llamado así en honor al geómetra y arquitecto francés Gérard Desargues (1591-1661) que lo enunció en 1638,¹ expone:

En el plano proyectivo, dos triángulos son proyectivos desde un punto si y sólo si son proyectivos desde una recta.

Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean proyectivos desde un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O. De modo parecido, el que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan respectivamente sobre una misma recta r.

Al punto O se le llama centro de perspectiva y a la recta r, eje de perspectiva.

[Contraer]Demostración

Para demostrar este teorema, considere los planos p y q secantes en la recta r. Sea AB un segmento sobre el plano q y M la intersección de la recta AB con la recta r. Sean S y T dos puntos exteriores a dichos planos. Sean C y D las proyecciones sobre el plano p de los puntos A y B desde el punto S y E y F las proyecciones del mismo segmento AB desde el punto T sobre el plano p. El plano determinado por los puntos SAB corta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, pero considerando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r. Sea O la intersección de la recta ST sobre el plano p. El plano STA corta al plano p sobre la recta CE que contiene al punto O. De manera similar, el plano STB corta al plano p en la recta DF que también contiene al punto O. Por tanto, las rectas CE y DF se cortan en dicho punto. De modo que los pares de puntos C, E y D, F son proyectivos desde el punto O. Las rectas CD y EF son proyectivas desde la recta r. El recíproco también es cierto: Si las rectas CD y EF pertenecen al mismo plano p, son proyectivas desde una recta r y los puntos correspondientes C, E y D, F son proyectivos desde un punto O en dicho plano, entonces existe un plano q, secante al plano p en r, una recta AB sobre dicho plano y un par de puntos exteriores a ambos planos desde los cuales la recta AB se proyecta sobre CD y EF, el punto A sobre C y E, y el punto B sobre D y F. En el teorema de Desargues, podemos considerar los triángulos como las proyecciones de un único triángulo sobre algún plano q desde dos puntos distintos S y T. La recta r y el punto O son respectivamente, la intersección del plano q con aquel donde los dos triángulos son proyectivos y la intersección de la recta ST con aquel plano. Los vértices correspondientes en ambos triángulos serán proyectivos desde el punto O y los lados correspondientes de ambos triángulos serán proyectivos desde la recta r. Esto demuestra el teorema.

teorema de Desargues, llamado así en honor al geómetra y arquitecto francés Gérard Desargues (1591-1661) que lo enunció en 1638,¹ expone:

En el plano proyectivo, dos triángulos son proyectivos desde un punto si y sólo si son proyectivos desde una recta.

Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean proyectivos desde un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O. De modo parecido, el que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan respectivamente sobre una misma recta r.

Al punto O se le llama centro de perspectiva y a la recta r, eje de perspectiva.

[Contraer]Demostración

Para demostrar este teorema, considere los planos p y q secantes en la recta r. Sea AB un segmento sobre el plano q y M la intersección de la recta AB con la recta r. Sean S y T dos puntos exteriores a dichos planos. Sean C y D las proyecciones sobre el plano p de los puntos A y B desde el punto S y E y F las proyecciones del mismo segmento AB desde el punto T sobre el plano p. El plano determinado por los puntos SAB corta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, pero considerando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r. Sea O la intersección de la recta ST sobre el plano p. El plano STA corta al plano p sobre la recta CE que contiene al punto O. De manera similar, el plano STB corta al plano p en la recta DF que también contiene al punto O. Por tanto, las rectas CE y DF se cortan en dicho punto. De modo que los pares de puntos C, E y D, F son proyectivos desde el punto O. Las rectas CD y EF son proyectivas desde la recta r. El recíproco también es cierto: Si las rectas CD y EF pertenecen al mismo plano p, son proyectivas desde una recta r y los puntos correspondientes C, E y D, F son proyectivos desde un punto O en dicho plano, entonces existe un plano q, secante al plano p en r, una recta AB sobre dicho plano y un par de puntos exteriores a ambos planos desde los cuales la recta AB se proyecta sobre CD y EF, el punto A sobre C y E, y el punto B sobre D y F. En el teorema de Desargues, podemos considerar los triángulos como las proyecciones de un único triángulo sobre algún plano q desde dos puntos distintos S y T. La recta r y el punto O son respectivamente, la intersección del plano q con aquel donde los dos triángulos son proyectivos y la intersección de la recta ST con aquel plano. Los vértices correspondientes en ambos triángulos serán proyectivos desde el punto O y los lados correspondientes de ambos triángulos serán proyectivos desde la recta r. Esto demuestra el teorema.

Teorema de Desargues:
Dos triángulos copolares son coaxiales, y viceversa.

1.-  Experimenta moviendo los vértices de ambos triángulos y comprueba la veracidad del teorema. 

2.-  Experimenta y comprueba su "naturaleza proyectiva" (son intrascendentes las medidas de longitudes o de ángulos).

Inspirándose en la obra de Desargues, Blaise Pascal (1.623-1.662) obtuvo su teorema del hexagrama místico para una cónica general cuando sólo tenía 16 años. Nadie sabe cómo lo demostró el propio Pascal, ya que su demostración original se ha perdido. Sin embargo, antes de perderse, la demostración fue conocida y alabada por Leibniz .Las consecuencias de este teorema son muy numerosas y atractivas, y se ha hecho una cantidad casi increíble de investigación sobre su configuración.