Geometría descriptiva

Geometría afín

transformación afín o aplicación afín (también llamada afinidad) entre dos espacios afines (en particular, dos espacios vectoriales) consiste en una transformación lineal seguida de una traslación:

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {b} }$

En el caso de dimensión finita, toda transformación afín puede representarse por una matriz ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ y un vector ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {b} }$ que satisfacen ciertas propiedades que se especifican a continuación.

Geométricamente, una transformación afín en un espacio euclídeo es una transformación que preserva:

1. Las relaciones de colinealidad (y coplanaridad) entre puntos, es decir, puntos que recaían sobre una misma línea (o sobre un mismo plano) antes de la transformación, son preservadas tras una transformación afín.
2. Las razones entre distancias a lo largo de una línea, es decir, para tres puntos alineados distintos ${\displaystyle \scriptstyle P_{1},P_{2},P_{3},}$ las razones ${\displaystyle \scriptstyle |{\overline {P_{2}P_{1}}}|/|{\overline {P_{3}P_{2}}}|}$ antes y después de la transformación son iguales.

En general, una transformación afín está compuesta de transformaciones lineales (rotaciones, homotecias y sesgos) compuestas con una traslación o desplazamiento. En el caso 1-dimensional A y b se llaman, respectivamente, la pendiente y el término independiente.

Representación

El álgebra vectorial ordinaria usa la multiplicación por matrices para representar transformaciones lineales y la suma de vectores para representar traslaciones. Mediante "matrices ampliadas", resulta posible representar ambos tipos de transformaciones exclusivamente mediante multiplicación por matrices. La técnica para "ampliar los vectores" consiste en añadir un vector con una componente extra de valor unitario al resto de las componentes y a todas las matrices se le añade una columna al final con el vector que da la traslación y una fila al final con componentes cero y un 1 en la última posición, es decir:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\,\,\sim \,\,{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}&b_{n}\\0&\dots &0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\1\end{pmatrix}}}$

O en forma más compacta:

${\displaystyle {\vec {y}}=\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {b}}\,\,\sim \,\,{\begin{pmatrix}{\vec {y}}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} &{\vec {b}}\ \\0,\ldots ,0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {x}}\\1\end{pmatrix}}}$

Esta representación permite ver rápidamente que el conjunto de todas las transformaciones afines invertibles es el producto semidirecto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} \oplus {\text{GL}}(n,\mathbb {K} )}$, el grupo anterior bajo las operación de composición de transformaciones es un grupo llamado, grupo afín de orden n. Como puede verse este grupo es un subgrupo de ${\displaystyle \scriptstyle {\text{GL}}(n+1,\mathbb {K} )}$

Isometrías y semejanzas

Propiedades

Una transformación es invertible si y sólo si ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ es invertible. En la representación matricial descrita anteriormente, la inversa tiene la forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}{\vec {b}}\ \\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}}$

Las tranformaciones afines invertibles (de un espacio afín en sí mismo) forman el llamado grupo afín que como se ha mencionado tiene al grupo lineal de orden n como subgrupo. El propio grupo afín de orden n es a su vez subgrupo del grupo lineal de orden n+1.

 variedad lineal es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Geométricamente, es la generalización a cualquier número de dimensiones de las rectas y los planos. También es el concepto análogo al de subespacio vectorial en el ámbito de la geometría afín (es decir, una variedad lineal es la denominación correcta de lo que intuitivamente denominaríamos «subespacio afín»).

Definición

Conjunto de todos los vectores que pueden ser expresados como combinación lineal. Se representa como: L (U1,U2,...,Un)

Sea ${\displaystyle k}$ un cuerpo. Sea ${\displaystyle E=E(V)}$ un espacio afín definido sobre ${\displaystyle k}$. Se dice que ${\displaystyle F\subset E}$ es una variedad lineal si ${\displaystyle F}$ es también un espacio afín.

Definiciones alternativas

Siguiendo con la notación anterior, si ${\displaystyle V}$ es el espacio vectorial asociado a ${\displaystyle E}$, se dice que ${\displaystyle F}$ es variedad lineal si existen un subespacio vectorial ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle V}$ y un ${\displaystyle a\in E}$ de manera que ${\displaystyle F=a+S=\{a+b:b\in S\}}$.

La Transformación Afín  expresa la relación que existe (o la transformación que es preciso realizar) entre dos sistemas cartesianos que discrepan en la situación del origen, en la orientación de los ejes y en la unidad de medida a lo largo de los mismos de manera que dicha variación en unidad de medida es constante a lo largo de cada eje pero no entre los dos ejes.

Igualmente puede considerarse como el modelo que da cuenta de la transformación que sufre un cuerpo al ser trasladado, girado y deformado de tal manera que la deformación tiene distinta magnitud a lo largo de las dos direcciones básicas del objeto.

Aplicación Fotogramétrica: la más frecuente es la de la Orientación Interna: paso de Coordenadas Instrumentales (como coordenadas de entrada) a Fotocoordenadas (como coordenadas de salida)  cuando no puede suponerse que entre ambos sistemas se conserva la semejanza pero sí que las deformaciones concuerdan ortogonalmente con los sistemas cartesianos.

El cálculo de los parámetros (fase de cálculo) puede realizarse sólo si se dispone de Fotocoordenadas de una serie de puntos. Estos puntos son las Marcas Fiduciales y la determinación de sus Fotocoordenadas es el objeto de los procesos de calibración de cámaras métricas.

Así pues, la ejecución práctica (del cálculo) de una Orientación Interna consiste en la obtención (midiendo) de las Coordenadas Instrumentales de las Marcas Fiduciales de un fotograma y en la comparación (mediante el modelo matemático correspondiente) de las mismas con las Fotocoordenadas de dichas Marcas Fiduciales tal y como quedan recogidas en los certificados de calibración que expiden las casas especializadas en esta cuestión.