Geometría descriptiva

Geometría afín

hiperplano es una extensión del concepto de plano.

En un espacio unidimensional (como una recta), un hiperplano es un punto: divide una línea en dos líneas. En un espacio bidimensional (como el plano xy), un hiperplano es una recta: divide el plano en dos mitades. En un espacio tridimensional, un hiperplano es un plano corriente: divide el espacio en dos mitades. Este concepto también puede ser aplicado a espacios de cuatro dimensiones y más, donde estos objetos divisores se llaman simplemente hiperplanos, ya que la finalidad de esta nomenclatura es la de relacionar la geometría con el plano.

En general, un hiperplano es un espacio afín de codimensión 1. En otras palabras, un hiperplano es un análogo de muchas dimensiones al plano (de dos dimensiones) en el espacio tridimensional.

Un hiperplano afín en un espacio n-dimensional puede ser descrito por una ecuación lineal no degenerada con la siguiente forma:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$

Aquí no degenerada significa que no todas las a_i son 0. Si b=0, se obtiene un hiperplano lineal, que pasa a través del origen.

Las dos mitades del espacio definidas por un hiperplano en espacios de n dimensiones son:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}\leq b}$

y

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}\geq b}$

Hiperplanos

Publicado el mayo 19, 2014 por Fernando Revilla

Estudiamos los hiperplanos de un espacio vectorial.

Solución
Sea V$V$ un espacio vectorial real de dimensión n>1.$n>1.$ Se dice que H$H$ es un hiperplano de V$V$cuando H$H$ es un subespacio vectorial de dimensión n−1.$n-1.$ Se pide:

(a) Determinar cuales de los subconjuntos H1,H2,H3,H4$H_1,H_2,H_3,H_4$ del espacio vectorial R3${\mathbb{R}}^3$ son subespacios, y cuales hiperplanos. Justificar las respuestas.

H1={(x,x,x):x∈R},H2={(x,x,y):x∈R,y∈R},H3={(x,x,0):x∈R},H4={(x,x,1):x∈R}.$$\begin{array}{rl}& H_1=\{(x,x,x):x\in \mathbb{R}\},\\ & H_2=\{(x,x,y):x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\},\\ & H_3=\{(x,x,0):x\in \mathbb{R}\},\\ & H_4=\{(x,x,1):x\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

(b) Sea f:V→R$f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal no idénticamente nula. Demostrar que entonces el núcleo de f$f$ es un hiperplano de V.$V.$

(c) Enunciar la proposición recíproca de la anterior, y estudiar su validez (en caso afirmativo da una demostración, y en caso contrario construir un contraejemplo.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

SOLUCIÓN

(a) Un vector pertenece a H1$H_1$ si y sólo si es de la forma x(1,1,1)$x(1,1,1)$ con x∈R$x\in \mathbb{R}$. Es decir, H1=L[(1,1,1)],$H_1=L[(1,1,1)],$ y sabemos que todo subconjunto de un espacio vectorial de la forma L[S]$L[S]$ es subespacio. Además, (1,1,1)$(1,1,1)$ es linealmente independiente y genera a H1$H_1$ lo cual implica que {(1,1,1)}$\{(1,1,1)\}$ es base de H1$H_1$ y por tanto dimH1=1.$\dim H_1=1.$ Concluimos que H1$H_1$ es hiperplano de R3.${\mathbb{R}}^3.$

De manera análoga, H2=L[(1,1,0),(0,0,1)],$H_2=L[(1,1,0),(0,0,1)],$ es decir H2$H_2$ es subespacio de R3.${\mathbb{R}}^3.$ Los vectores anteriores son linealmente independientes y generan H2.$H_2.$ Entonces, dimH2=2$\dim H_2=2$lo cual implica que H2$H_2$ no es un hiperplano de R3.${\mathbb{R}}^3.$

Podemos expresar H3=L[(1,1,0).$H_3=L[(1,1,0).$ Como se hizo para H1,$H_1,$ concluimos que H3$H_3$ es hiperplano de R3.${\mathbb{R}}^3.$ Por último, el vector nulo no pertenece a H4$H_4$, con lo cual no es subespacio de R3.${\mathbb{R}}^3.$

(b) Sea f:V→R$f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal no idénticamente nula, entonces existe v∈V$v\in V$ tal que f(v)=a≠0.$f(v)=a\ne 0.$ Es decir, a∈Imf.$a\in \text{Im}f.$ Dado que {0}≠Imf⊂R$\{0\}\ne \text{Im}f\subset \mathbb{R}$, que Imf$\text{Im}f$ es subespacio de R$\mathbb{R}$y que dimR=1$\dim \mathbb{R}=1$ se deduce que dimImf=1.$\dim \text{Im}f=1.$ Por el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales:

dim(kerf)=dimV−dim(Imf)=n−1⇒kerf es hiperplano de R3.$\dim (\ker f)=\dim V-\dim (\text{Im}f)=n-1\Rightarrow \ker f\text{ es hiperplano de }{\mathbb{R}}^3.$

(c) La proposición recíproca de la anterior es:

Sea f:V→R$f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal. Si kerf$\ker f$ es un hiperplano de V$V$, entonces f$f$ no es idénticamente nula.

Esta proposición es cierta. En efecto, aplicando de nuevo el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales tenemos que n=n−1+dim(Imf)$n=n-1+\dim (\text{Im}f)$, lo cual implica que dim(Imf)=1$\dim (\text{Im}f)=1$ y por tanto f$f$ no es idénticamente nula.

homología afín o afinidad homológica es un caso particular de homología en la que el vértice o centro es un punto impropio situado en el infinito. Dos puntos afines (A-A') están unidos por una recta que es paralela a la dirección de afininidad.

Determinación de imágenes de puntos en un sistema de afinidad

Para hallar la imagen I' de un punto I en el infinito (punto virtual o impropio), se procede de manera semejante a la de una homología. Se traza la recta PI (que será una dirección), que corta al eje de homología (e) en un punto doble Q. Dicha recta se transforma en la recta P'Q. La imagen del punto I, como cualquier otro punto, se halla sobre la intersección de la recta P'Q con la recta OI (en el plano euclídeo, las rectas PI y IOI' son paralelas). Se verifica que la recta L, paralela al eje de homología e por el punto I', es el lugar geométrico de todas las imágenes de los puntos impropios del plano, y recibe la denominación de recta límite.

Homología y Afinidad

1) Homología

1.1. Introducción

Se dice que el punto A, es homólogo del punto A’, cuando se cumplen las siguientes condiciones: Fig. 154.

Fig. 154

a)     Que estén en línea recta con un punto fijo O, llamado centro de  homología.

b)     Dos rectas r y r’ son homólogas, cuando se cortan en un mismo punto del eje de homología.

Todos los puntos del eje de homología CC’, son puntos dobles, al ser homólogos de si mismo.

a)Hallar el homólogo del punto 2, conociendo el Centro de homología O, un par de puntos Homólogos 3 y 3’ y el eje de homología e. Fig. 155.

Fig. 155

Unimos los puntos homólogos 3 y 3’, la

recta ha de pasar por O.

Unimos el centro de homología con el punto 2, recta t.

Unimos el punto 3 con el 2, recta s.

Hallamos la recta r, homologa de s, uniendo n con 3’, que corta a t en el punto

Buscado.

1.2. Rectas límite

Lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos del infinito. Serán dos y la representamos por li y li’.

Para hallar las rectas límite procedemos de la forma siguiente:

Partimos de dos rectas homólogas s y s’, del centro de homología O y del eje e. Fig. 156.

Fig. 156

Trazamos una paralela a la recta s’ por el centro de de homología hasta que corte a la recta s en el punto m.

Por m trazamos la paralela al eje de homología e.

Repetimos la operación para la recta s.

Cuando dos rectas cualquiera se cortan en un mismo punto de la recta límite, sus homólogas son paralelas. Fig. 157.

Sean las rectas s y t, el centro de homología O, la y el eje de homología e.

Trazamos la recta mO.

Las rectas homólogas serán s’ y t’, paralelas a la dirección mO.

Fig. 157

Dos figuras situadas en un mismo plano son homológicas, cuando se corresponden punto a punto y recta a recta, de tal formas que las rectas que unen pares de puntos homólogos se cortan en un punto dado, centro de homología y los pares de rectas homólogas se cortan en un mismo punto del eje de homología.

a)Dado el eje de homología e, recta límite li, centro de homología o y un polígono A, B, C, D. hallar la figura homóloga. Fig. 158

Prologamos los lados AB y CD, hasta que corten a la recta límite en m y al eje de homología en RS.

Unimos m con O, y por los puntos R y S, trazamos dos paralelas a dicha recta.

Prolongamos los lados AD y CB, hasta que corten a la recta límite en n y al eje en PQ.

Unimos n con O, y por los puntos P y Q, trazamos dos rectas paralelas a dicha dirección.

Fig. 158

La figura homóloga quedará determina por los puntos A’, B’, C’, D’.

2) Afinidad

La afinidad es una transformación geométrica, en el que el centro de afinidad se  encuentre en el infinito. Fig. 159.

En toda afinidad debe de cumplirse:

1. Toda recta que une dos puntos afines AA’, son  paralelas a la dirección de afinidad.

2. Dos rectas afines r y r’, y se cortan en un mismo punto del eje de afinidad CC’, siendo este un punto doble.

Fig. 159

a) Dado el hexágono a ,b ,c, d, e ,f, el punto homólogo de O y el eje de homología e. Hallar la figura afín. Fig. 160.

Fig. 160

Unimos O con O’ para hallar la dirección de afinidad d.

Trazamos por los vértices del polígono, paralelas a dicha dirección.

Hallamos la recta r y su afín r’, obteniendo los puntos A’ y D’.