Geometría descriptiva

Geometría proyectiva

La Dualidad en la geometría proyectiva, una característica notable de plano proyectivo, es la "simetría" de las funciones desempeñadas por los puntos y líneas en las definiciones y teoremas. La (plano) dualidad es la formalización de este concepto metamatemático. Hay dos aproximaciones al tema de la dualidad, uno a través del lenguaje (el Principio de Dualidad) mientras que el otro es un enfoque más funcional. Estos son completamente equivalentes y cada uno de éstos tiene como punto de partida la versión axiomática de las geometrías que se consideran. En el enfoque funcional hay un mapeado entre geometrías relacionadas que se llama una dualidad. En ejemplos específicos, tal mapa puede construirse de muchas maneras. El concepto de plano dualidad se extiende fácilmente a la dualidad espacial, y más aún, a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.

Principio de Dualidad

Si se define un plano proyectivo axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas, y una relación de incidencia que determina qué puntos se encuentran en las líneas, entonces uno puede definir una estructura de plano dual .

Intercambiar el papel de los "puntos" y "líneas" en

C = (P, L, I)

para obtener la estructura dual

C * = (L, P, I *),

donde I * es la relación inversa de I . C * es también un plano proyectivo, llamado el doble plano de C.

Si C y C * son isomorfos, entonces C se llama auto-dual . Los planos proyectivos PG (2, K ) para cualquier campo (o, más en general, para cada anillo de división isomorfo a su doble) K son auto-dual. En particular, los planos Desargusianos de orden finito son siempre auto-dual. Sin embargo, existen planos no Desarguesianos que no son auto-dual, como el plano de Hughes .

En un plano proyectivo, una afirmación que involucre puntos, líneas e incidencias entre ellos que se obtienen de otro, tal afirmación, cambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo cualquier otro ajuste gramatical que fuera necesario, es llamada la afirmación de plano dual. La versión dual de "Dos puntos se encuentran una misma línea" es "Dos líneas se unen en un mismo punto. El proceso de determinar el doble plano de una afirmación es conocido como dualizar la afirmación.

Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo C, entonces el plano dual de esa declaración debe ser verdadera en el doble plano C *. Esto ocurre, dado que dualizar cada sentencia de la prueba "en C" da una declaración de la prueba "en C *."

El Principio de Plano Dualidaddice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo auto-dual C produce otro teorema válido en C.

Los conceptos anteriores pueden generalizarse a hablar acerca de la dualidad espacial, donde se intercambian los términos "puntos" y "planos" (y las líneas siguen siendo líneas). Esto lleva al Principio de Espacio Dual . Aún mayor generalización es posible (véase más adelante).

Estos principios proporcionan una buena razón para preferir usar un término "simétrico" para la relación de incidencia. Así, en lugar de decir "un punto se encuentra en una línea" se debe decir "un punto es incidente con una línea", dado que dualizar este último sólo involucra cambiar punto y línea ("una línea es incidente con un punto").

Tradicionalmente, en la geometría proyectiva, el conjunto de puntos de una línea se considera que incluye la relación de armónicos proyectivos conjuados. En esta tradición, los puntos de una línea forman un rango proyectivo, un concepto dual a un lápiz de líneas en un punto.

Dual Teoremas

Dado que el plano real proyectivo, PG (2, 'I' ), es auto-dual existe una serie de pares de resultados bien conocidos que son duales entre sí. Algunos de estos son:

• Teorema de Desargues ⇔ Inverso del teorema de Desargues
• Teorema de Pascal ⇔ Teorema de Brianchon
• Teorema de Menelao ⇔ Teorema de Ceva

La dualidad como un mapeo

Una dualidad (plano) es un mapeo de un plano proyectivo C = (P, L, I) a su plano dual C * = (L, P, I *) (ver arriba) que conserva la incidencia. Es decir, una (plano) dualidad σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos (P ^σ = L y L ^σ = P) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotado por QI m), entonces Q ^σ I * m ^σ ⇔ m ^σ IQ ^σ . Una (plano) dualidad que es un isomorfismo se llama una 'correlación' ¹ La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es auto-dual.

En el caso especial de que el plano proyectivo es del tipo PG (2, K ), con K un anillo de división, una dualidad se llama una reciprocidad²Por el Teorema fundamental de la geometría proyectiva una reciprocidad es la composición de un función automorfica de K y un homografıa. Si el automorfismo involucrado es la identidad, la reciprocidad se llama una correlación proyectiva .

Una correlación de orden dos (un involución) se llama un 'polaridad' . Si un φ correlación no es una polaridad entonces φ ² es una colineación no trivial.

Este concepto de mapeo de dualidad también se puede extender a espacios de dimensiones superiores por lo que el modificador "(plano)" puede erradicarse en esas situaciones.

Dualidad de dimensiones superiores

La dualidad en el plano proyectivo es un caso especial de la dualidad de espacio proyectivo, transformaciones de PG (n, K ) (también denotado por K P ⁿ ) con K un campo, que intercambia objetos de dimensión r con objetos de dimensión n - 1 - r (= codimensión r + 1) . Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión n , los puntos (dimensión 0) se hacen corresponder con hiperplano (codimensión 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) se hacen corresponder con la intersección de dos hiperplanos codimensión (2), y así sucesivamente.

Los puntos de PG (n, K ) se pueden tomar para ser los vectores no nulos en el ( n  + 1) espacio vectorial de dimensión n+1 sobre K , donde identificamos dos vectores que difieren por un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos de espacios proyectivos n-dimensionales son las líneas pasan por el origen en K ^n  + 1 , que son subespacios vectoriales unidimensionales.³

Un vector no nulo u = ( u ₀ , u ₁ , ..., u _n ) en K ^{n   +   1} también determina un subespacio geométrico (n - 1)-dimensional (hiperplano) H _u , por

H _u = {( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ): u ₀ x ₀ + ... + u _n x _n = 0}.

Cuando se utiliza un vector u para definir un hiperplano de esta manera, se denota por u _H , mientras que si está designando un punto usaremos u _P . En términos del producto escalar usual, H _u = { ' _P : u _H • x _P = 0}. Dado que K es un campo, el producto escalar es simétrico, es decir, u _H • x _P = u ₀ x ₀ + u ₁ x ₁ + ... +u _n x _n = x ₀ u ₀ ' + x ₁ u ₁ + ... + x _n u _n = x _H • u _P . Una reciprocidad se puede darse por U _P ↔ H _u entre puntos y hiperplanos. Esto se extiende a una reciprocidad entre la línea generada por dos puntos y la intersección de dos de tales hiperplanos, y así sucesivamente.

En el plano proyectivo, PG (2, K ), con K un campo tenemos la reciprocidad dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a, b​​, c ) ↔ líneas con ecuaciones ax + by + cz = 0 . En el espacio proyectivo correspondiente, PG (3, K ), una reciprocidad está dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a, b​​, c, d ) ↔ planos ecuaciones ax + by + cz + dw = 0 Esta reciprocidad sería también asignaría línea determinada por dos puntos ( a ₁ , b ₁ , c ₁ , d ₁ ) y ( a ₂ , b ₂ , c ₂ , d ₂ ) a la línea, que es la intersección de los dos planos con ecuaciones a ₁x + b ₁ y + c ₁ z + d ₁ w = 0 y a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z + d ₂ w = 0.

La dualidad es un concepto omnipresente en toda la Matemática, pero tal vez sea en Geometría Proyectiva donde es más fácil ilustrar su interés. Es un diccionario que permite traducir de un contexto a otro nociones y resultados. Podemos formularla técnicamente como sigue:

V = espacio vectorial de dimensión n+1	V* = espacio vectorial dual, formado por las aplicaciones lineales h:V —>K con valores en el cuerpo base K
P = espacio proyectivo de dimensión n formado por las rectas vectoriales de V	P* = espacio proyectivo dual, formado por los hiperplanos proyectivos H de P, que se representan mediante una ecuación h=0, que está determinada salvo proporcionalidad
L = subvariedad proyectiva de P	L* = subvariedad proyectiva dual, formada por todos los hiperplanos H de P que contienen a L.
Las dos propiedades fundamentales de esta dualidad son: dim(L)+dim(L*) = n-1 Si L contiene a M, entonces L* está contenida en M*

En el plano proyectivo, una recta tiene por dual un haz de rectas, que se identifica con su punto base, y se obtiene lo siguiente:

El punto m está en la recta l, en el plano proyectivo P	La recta m* dual del punto m contiene  al punto l* dual de la  recta l, en el plano proyectivo dual P*

 

Los puntos P,Q,R están alineados	Las rectas P*,Q*,R* son concurrentes

 

Los puntos P,Q,R están en posición general	Las rectas P*,Q*,R* están en posición general

 

Las rectas tangentes a una cónica C forman la cónica dual C*

  

Una vez se conoce el diccionario entre variedades y variedades duales, se cumple el denominado Principio de Dualidad, según el cual una proposición relativa a variedades proyectivas es cierta si y sólo si es cierta su dual. Este principio fue establecido inicialmente por Jean-Victor Poncelet (1788-1867), pero ligado a la noción de polaridad respecto de una cónica dada.

Tal vez uno de los ejemplos más bellos de dualidad sea el denominado Teorema de Brianchon, que es el enunciado dual del Teorema de Pascal o Hexagrama Místico. En efecto, utilizando la noción que acabamos de mencionar de dualidad asociada a una cónica, Julien Brianchon (1785-1864) demuestra lo siguiente:

TEOREMA DE BRIANCHON: Si se circunscribe un hexágono a una cónica, las diagonales que unen vértices opuestos son concurrentes en un punto.

El  Principio de Dualidad general, formulado como antes independientemente de la polaridad respecto de una cónica, se debe a Joseph-Diez Gergonne (1771-1859). 

http://www.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/dual.html

esfera de Bloch es una representación geométrica del espacio de estados puros de un sistema cuántico de dos niveles. Su nombre alude al físico suizo Felix Bloch. Por extensión, también suele llamarse esfera de Bloch al conjunto de estados puros de sistema física de un número finito arbitrario de niveles. En este caso, como se mostrará después, la esfera de Bloch ya no es una esfera, pero posee una estructura geométrica conocida como espacio simétrico.

Geométricamente la esfera de Bloch puede ser representada por una esfera de radio unidad en R³. En esta representación, cada punto de la superficie de la esfera corresponde unívocamente a un estado puro del espacio de Hilbert de dimensión compleja 2, que caracteriza a un sistema cuántico de dos niveles.

Cada par de puntos diametralmente opuestos sobre la esfera de Bloch corresponde a dos estados ortonormales en el espacio de Hilbert, pues la distancia entre estos es 2, lo que de inmediato implica ortogonalidad. Como consecuencia forman una base del mismo. Tales estados resultan ser autovectores de la proyección del operador de espín ½ sobre la dirección que determinan los dos puntos. Dicho operador se expresa empleando las matrices de Pauli, y todo sistema cuántico de dos niveles puede equipararse al caso de espín ½.

El punto de coordenadas cartesianas (0,0,1) corresponde al autovector con autovalor positivo de la matriz de Pauli ${\displaystyle \sigma _{z}}$, mientras que el punto opuesto (0,0,-1) corresponde al autovector con autovalor negativo. En la terminología de computación cuántica, empleada al tratar los qubits, ambos estados se designan por ${\displaystyle |0\rangle }$ y ${\displaystyle |1\rangle }$ respectivamente. Estos estados en terminología de espín ½ pueden designarse por ${\displaystyle |+\rangle }$ y ${\displaystyle |-\rangle }$, o “espín arriba” y “espín abajo”.

Lo dicho para los puntos sobre el eje Z vale para los otros ejes empleando en cada caso la matriz de Pauli correspondiente.

Definición

Cualquier punto de la esfera de Bloch es un estado cuántico o qubit se puede expresar como:

- ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta /2)|0\rangle +e^{i\phi }\sin(\theta /2)|1\rangle }$

Donde ${\displaystyle \theta ,\phi }$ son numeros reales tales que ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ y ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$.

Desarrollo

El qubit

Un qubit se puede representar como una combinación lineal de los estados ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$ y ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$, es decir:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Donde tanto ${\displaystyle \alpha }$ como ${\displaystyle \beta }$ pueden ser números complejos, los cuales podemos escribir en forma exponencial:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle =r_{\alpha }e^{i\phi _{\alpha }}|0\rangle +r_{\beta }e^{i\phi _{\beta }}|1\rangle }$

Entonces hemos caracterizado el qubit en términos de cuatro parámetros reales.

Invarianza respecto a la fase global

Sin embargo, las únicas cantidades medibles son las probabilidades ${\displaystyle \scriptstyle |\alpha |^{2}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle |\beta |^{2}}$, entonces multiplicar este estado por un factor arbirtrario ${\displaystyle \scriptstyle e^{i\gamma }}$ (una fase global) no tiene consecuencias observables, ya que:

${\displaystyle |\alpha e^{i\gamma }|^{2}={\overline {(\alpha e^{i\gamma })}}(\alpha e^{i\gamma })=e^{-i\gamma }{\bar {\alpha }}(e^{i\gamma }\alpha )={\bar {\alpha }}\alpha =|\alpha |^{2}\,}$

y de forma similar para ${\displaystyle \scriptstyle |\beta |^{2}}$. A esto se le conoce como invarianza con respecto a la fase global. Así, que podemos multiplicar libremente nuestro estado por ${\displaystyle \scriptstyle e^{-i\phi _{\alpha }}}$:

${\displaystyle |\psi '\rangle =e^{-i\phi _{\alpha }}|\psi \rangle =|\psi \rangle =r_{\alpha }|0\rangle +r_{\beta }e^{i(\phi _{\beta }-\phi _{\alpha })}|1\rangle =|\psi \rangle =r_{\alpha }|0\rangle +r_{\beta }e^{i\phi }|1\rangle }$

Donde hemos usado ${\displaystyle \scriptstyle \phi =\phi _{\beta }-\phi _{\alpha }}$, reduciendo el número de parámetros a tres.

Condicion de normalización

Además, tenemos la condición de normalización ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$. Si escribimos ${\displaystyle r_{\beta }e^{i\phi }}$ en forma cartesiana, podemos escribir esta condicion como:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\langle \psi |\psi \rangle &=&1\\&=&|r_{\alpha }|^{2}+|x+iy|^{2}\\&=&r_{\alpha }^{2}+x^{2}+y^{2}\end{array}}}$

Pero la ecuación ${\displaystyle 1=r_{\alpha }^{2}+x^{2}+y^{2}}$ corresponde a una esfera unitaria en el espacio real 3D (x,y,${\displaystyle r_{\alpha }}$).

Coordenadas esféricas

Esto nos sugiere que se puede representar el estado ${\displaystyle |\psi \rangle }$ como un punto sobre la superficie de esta esfera unitaria. Estos puntos se escriben en términos de los ángulos ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \phi }$ como:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\cos(\phi )\sin(\theta )\\y&=&\sin(\phi )\sin(\theta )\\z&=&\cos(\theta )=r_{\alpha }\end{array}}}$

Sustituyendo esto en nuestro estado tenemos:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|\psi \rangle &=&r_{\alpha }|0\rangle +(x+iy)|1\rangle \\&=&\cos(\theta )|0\rangle +(\cos(\phi )\sin(\theta )+i\sin(\phi )\sin \theta ))|1\rangle \\&=&\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle \end{array}}}$

Ángulos medios

Notemos ahora que si ${\displaystyle \scriptstyle \theta =0}$, ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle =|0\rangle }$, y si ${\displaystyle \scriptstyle \theta =\pi /2}$, ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle =e^{i\phi }|1\rangle }$. Esta última expresion corresponde a los estados sobre el ecuador de nuestra esfera. Esto sugiere que en realidad basta ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ para tener todos los estados posibles.

Consideremos ahora un estado ${\displaystyle |\psi '\rangle }$ que este en el lado opuesto de la esfera, que tenga coordenadas ${\displaystyle (1,\pi -\theta ,\phi +pi)}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|\psi '\rangle &=&\cos(\pi -\theta )|0\rangle +\sin(\pi -\theta )e^{i(\phi +\pi )}|1\rangle \\&=&-\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i(\phi +\pi )}|1\rangle \\&=&-\cos(\theta )|0\rangle -\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle \\&=&-|\psi \rangle \end{array}}}$

Es decir que todos los estados debajo del ecuador son el negativo de algún estado por encima del ecuador. Para no repetir los estados sobre la esfera, cambiamos la expresión

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle }$

por

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta /2)|0\rangle +\sin(\theta /2)e^{i\phi }|1\rangle }$

De tal manera que todos los puntos sobre la esfera corresponden a algún único estado distinto.

Ayuda visual

Uno de los usos de la esfera de Bloch es el de visualizar la acción de diferentes puertas lógicas en computación cuántica, o la evolución temporal del estado de un sistema de dos niveles descrito por un hamiltoniano, como al estudiar los pulsos empleados en resonancia magnética nuclear. En ambos casos se debe estudiar la acción de una matriz unitaria 2x2, que siempre se puede descomponer como producto de operadores de rotación.

Un operador de rotación se define por un eje y un ángulo de giro. La acción de un operador de rotación sobre el estado cuántico se traduce, en lo que se refiere al punto asociado al estado sobre la esfera de Bloch, en una rotación del punto respecto al eje de rotación en el ángulo de giro. Por ejemplo la puerta lógica cuántica que realiza la transformación de Hadamard, se describe por la matriz

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

Sobre la esfera de Bloch la transformación de Hadamard equivale a una rotación de 90º en torno al eje Y, seguida de una rotación de 180º respecto al eje X. O también, de forma equivalente, a una rotación de 180º respecto al eje Z seguida de una rotación de 90º respecto al eje Y. Así puede comprobarse visualmente que la transformación de Hadamard lleva el punto de coordenadas cartesianas (1,0,0) al punto (0,0,1), lo que corresponde a la expresión analítica

${\displaystyle H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)=|0\rangle }$

La esfera de Bloch

Si interpretamos un estado cuántico de 1 solo qubit como el spin de una partícula, cada una de las matrices de Pauli tiene relevancia física y corresponden a una dirección de rotación en la dirección del spin. Esta representación del qubit se le llama la esfera de Bloch.

En particular si queremos rotar un qubit en la dirección  por un ángulo , el estado del qubit resultante se debe multiplicar por . Esta expresión aunque parece extraña (estamos elevando a  al valor de una matriz) se puede despejar de la siguiente manera:

Utilizando un análisis similar podemos deducir que

Ahora bien, por razones físicas a las cuales no nos referiremos, una rotación en la esfera de Bloch en la direccion  nos da una matriz de rotación determinada por

Mas concretamente, para rotaciones en  tenemos que:

Para rotaciones en  tenemos que

y para rotaciones en  tenemos

Por otra parte, dado un estado cuántico  las matrices de Pauli conforman una base tal que es posible representar la matriz proyección del estado

donde , , y , corresponden a las coordenadas del qubit en la esfera de Bloch.

Esta representación permite tambien expresar la esfera de Bloch mediante tres ángulos un ángulo de latitud , uno de longitud , y otro ángulo de fase  que corresponde a valores no observables del qubit. Bajo esta representacion un qubit arbitrario

Cumple con que

http://www.ic-itcr.ac.cr/~jcastro/libro/libro/node21.html