Geometría descriptiva

geometría afín

El teorema de Menelao, atribuido a Menelao de Alejandría, es un teorema acerca de triángulos en geometría plana.

Teniendo en cuenta los puntos A, B, C que forman el triángulo ABC, y los puntos D, E, F que se encuentran en las líneas de BC, AC, AB, entonces el teorema establece que D, E, F son colineales si y sólo si:

${\displaystyle {\frac {EA}{EC}}\cdot {\frac {DC}{DB}}\cdot {\frac {FB}{FA}}=1}$

En cambio, si se utilizan segmentos dirigidos, será:¹

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}\cdot {\frac {BF}{FA}}=-1}$

Sea ABC$ABC$ un triángulo y X,Y,Z$X,Y,Z$ tres puntos sobre los lados BC,CA,AB$BC,CA,AB$, respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que los puntos X,Y,Z$X,Y,Z$ sean colineales es que el producto de las razones AZ/ZB,BX/XC,CY/YA$AZ/ZB,BX/XC,CY/YA$ sea la unidad.

Demostración(es)

Demostración: 

En la figura se muestran los puntos X,Y,Z$X,Y,Z$ en las prolongaciones de BC,CA,AB$BC,CA,AB$, respectivamente, para enfatizar el hecho de que --lo mismo que en el teorema de Ceva-- "lado" debe entenderse como la recta definida por el lado. La construcción auxiliar es una paralela BW$BW$ al lado AC$AC$. El trazo de esta paralela es sugerido por la configuración y el objetivo de demostrar que el producto de las razones es 1 (mediante cancelaciones).

La condición es necesaria (si colineales, entonces el producto de razones es 1)

Supongamos entonces que X,Y,Z$X,Y,Z$ son colineales. Vamos a demostrar que (AZ/ZB)(BX/XC)(CY/YA)=1$(AZ/ZB)(BX/XC)(CY/YA)=1$. Para la primera razón focalicemos el triángulo AZY$AZY$con BW$BW$ paralela a la base AY$AY$ y apliquemos Tales: AZ/ZB=AY/BW$AZ/ZB=AY/BW$. De manera similar, para la segunda razón, focalizamos el triángulo BWX$BWX$ con la paralela CY$CY$ a la base BW$BW$: BX/XC=BW/CY$BX/XC=BW/CY$. Ahora sustituimos y ya está. (La sustitución se deja como ejercicio para el lector.)

La condición es suficiente (si producto de razones es 1 entonces colineales)

Si XZ$XZ$ cortara en Y′$Y^{\prime }$ el lado CA$CA$, entonces aplicamos Menelao con X.Y′,Z$X.Y^{\prime },Z$. Resulta entonces que (AZ/ZB)(BX/XC)(CY′/Y′A)=1$(AZ/ZB)(BX/XC)(C{Y}^{\prime }/Y^{\prime }A)=1$. Pero,por hipótesis, (AZ/ZB)(BX/XC)(CY/YA)=1$(AZ/ZB)(BX/XC)(CY/YA)=1$. De aquí que  CY′/Y′A=CY/YA$C{Y}^{\prime }/Y^{\prime }A=CY/YA$. Pero tanto Y$Y$ como Y′$Y^{\prime }$ están sobre AC$AC$ y dividen a AC$AC$ en la misma razón. Por lo tanto Y$Y$ coincide con Y′$Y^{\prime }$. (Sobre un segmento, el punto que lo divide en una razón dada es único.)

transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

Traslación

La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición o lugar en el espacio, manteniendo las direcciones (medidas angulares) y longitudinales de todos los elementos del espacio, dicha traslación puede ser determinadas por un vector o por dos puntos (el origen y el destino).

Traslación del punto A a su imagen A' según el vector AA'

Traslación de un triángulo.

Simetría

Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.

Simetría central

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen estén a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenezcan a una misma recta.

Simetría central del punto A.

Simetría central del triángulo ABC, respecto del punto O.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.

Simetría axial

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Simetría axial del punto A.

Simetría axial de un triángulo.

En la simetría axial se conservan las distancias pero no la dirección de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.

Composición de simetrías

Si se aplica la misma simetría dos veces, se obtiene una identidad.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes paralelos, se obtiene una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre dichos ejes.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes que se cortan en O, se obtiene giro con centro en O, cuyo ángulo es el doble del que forman dichos ejes.

Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

• Un punto denominado centro de rotación.
• Un ángulo
• Un sentido de rotación.

estas transformaciones pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro. Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.