Geometría descriptiva

Geometría proyectiva

teorema de Brianchon, nombrado así en honor a Charles Julien Brianchon (1783—1864), establece lo siguiente:

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto P.

El punto de intersección P se denomina punto de Brianchon.

El teorema de Brianchon se cumple en el plano afín y en el plano proyectivo real. Sin embargo, su enunciado en el plano afín puede ser menos informativo y más complicado que en el plano proyectivo. Considérese, por ejemplo, el caso de cinco rectas tangentes a una parábola. Pueden ser considerardas como cinco de los seis lados de un hexágono, siendo el lado restante la recta del infinito; sin embargo, no hay tal recta en el plano afín (ni en el plano proyectivo a menos que uno escoja una recta para desempeñar ese papel). Una recta que vaya desde un vértice al vértice opuesto sería entonces una recta paralela a una de las cinco rectas tangentes. El teorema de Brianchon para el plano afín no informaría de una situación así.

El teorema dual de este teorema es el teorema de Pascal, que tiene excepciones en el plano afín pero no en el proyectivo.

El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante el concepto de eje radical o la reciprocación.

Relación con el Teorema de Pascal

Teorema de Pascal. Recta de Pascal OPQ del hexágono ABCDEF inscrito en una elipse.

Teorema de Brianchon. El punto de Brianchon.

Brianchon demostró el teorema que lleva su nombre:

"En cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales se cortan en el mismo punto" (el punto de la cónica).

Los teoremas de Pascal y Brianchon ocupan una posición clave en el estudio de las cónicas desde el punto de vista proyectivo. Forman, también, el primer ejemplo claro de un par de teoremas duales importante.

Dos teoremas se llaman duales si se transforma uno en el otro cuando todos los elementos y todas las operaciones se sustituyen por sus duales correspondientes. En la geometría plana el punto y la línea recta se denominan elementos duales. Dibujar una línea a través de un punto en una línea y marcar un punto en una línea son operaciones duales. La naturaleza dual de los teoremas de Pascal y Brianchon es evidente si se formulan de la siguiente manera:

• Teorema de Pascal: "dados seis puntos en una cónica, prolónguense los lados opuestos dos a dos hasta que se corten. Entonces los tres puntos obtenidos por la intersección están situados en una misma línea recta."

• Teorema de Brianchon: "dadas seis tangentes a una cónica, crúcense dos a dos determinando seis puntos de intersección. Entonces las tres líneas rectas que unen estos puntos opuestos se cruzan en un mismo punto."

Estas relaciones entre los puntos y las líneas rectas de un cono más tarde fueron explotadas eficazmente por Jean Victor Poncelet (1788-1867). Entre los primeros descubrimientos realizados por Poncelet hubo uno que hizo en colaboración con Brianchon y que se publicó en un artículo firmado en los Annales de Gergonne de 1820-1821. En este artículo Brianchon y Poncelet aportaban una prueba del teorema que establece que:

"La circunferencia que pasa a través de los pies de las perpendiculares, bajados por los vértices de un triángulo en lados opuestos, también pasa a través de los puntos de la mitad de estos lados, así como por los puntos de la mitad de los segmentos que unen los vértices con el punto de intersección de la perpendicular",

es decir, en la circunferencia de los nueve puntos (ver la figura) por los puntos D, E y F, el pie de las alturas relativas de los tres lados del triángulo, pasa a través de los puntos H, I y G, que son los puntos medios de los lados del triángulo. Además, el círculo también pasará a través de los puntos L, M y N puntos medios de los segmentos AO, BO y CO.

TEOREMA DE BRIANCHON

El teorema de Brianchon es degut a Charles Julien Brianchon (1783-1864) i afirma que:

Les diagonals d´un hexàgon circumscrit a una cònica es tallen en un punt.

La següent figura mostra una elipse inscrita en un hexàgon. Al punt comú a les tres diagonals, colorejat en vermell a la figura, se´l coneix amb el nom de punt de Brianchon

El teorema de Brianchon és el teorema dual del teorema de Pascal. Què és un teorema dual?

Casos límit

Fent coincidir dos costats consecutius de l´hexàgon en un de sol i substituint el vèrtex desaparegut pel punt de contacte, obtenim que

En tot pentàgon circumscrit a una cònica, la recta que uneix un vèrtex amb el punt de contact del costat oposat, i les diagonals que uneixen els altres vèrtexs no consecutius, són tres rectes que concorren en un mateix punt.

Aplicant el mateix procediment, podem obtenir que:

En tot quadrilàter circumscrit a una cònica, si es prenen els punts de contacte de dos costats que es tallen en un vèrtex, la recta d´unió d´aquest amb el seu oposat i les d´unió dels punts de contacte amb els altres dos vèrtexs són tres rectes que concorren en un mateix punt.

O també,

En tot quadrilàter circumscrit a una cònica, les dues diagonals i les rectes que uneixen els punts de contacte de costats oposats són quatre rectes que concorren en un punt.

Per últim,

En tot triangle circumscrit a una cònica, les rectes que uneixen els vèrtexs amb els punts de contacte dels costats oposats són tres rectes que concorren en un punt.

teorema de Pascal (también denominado Hexagrammum Mysticum Theorem) establece que: Si un hexágono arbitrario ABCDEFse encuentra inscrito en alguna sección cónica, y se extienden los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos OPQ en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta, denominada la recta de Pascal de esta configuración. En su configuración más clásica, el teorema se suele visualizar sobre un hexágono cíclico inscrito en una elipse (es decir, con sus vértices unidos correlativamente en el orden en que aparecen al recorrer la cónica). Sin embargo, el teorema también se cumple sea cual sea el orden en el que se conecten los seis puntos (de acuerdo con el concepto de hexágono ARBITRARIO que se incluye en el enunciado del teorema). De igual manera, se cumple para cualquier cónica (como es bien sabido, recta, círculo, elipse, parábola o hipérbola). Por ejemplo, en la segunda imagen se representa la materialización del teorema en un hexágono auto-intersecante inscrito en una elipse, en el que los puntos de la recta de Pascal resultan del corte de los propios lados del polígono, sin necesidad de prolongarlos. Así mismo, también se cumple en el caso de "hexágonos degenerados", en los que varios vértices pueden ser coincidentes entre sí (es decir, con lados de longitud cero), en la práctica polígonos de 5, 4 o 3 lados. En estos casos, los lados se sustituyen por tangentes a la cónica en los puntos dados. Este teorema es una generalización del teorema del hexágono de Pappus, y es el dual proyectivo del teorema de Brianchon. Fue descubierto por Blaise Pascal en 1639 cuando solamente tenía dieciséis años. El teorema fue generalizado por Möbius en 1847, en la siguiente forma: si un polígono con 4n + 2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n + 1 puntos. Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto remanente también se encontrará ubicado sobre dicha línea. Teorema de Pascal. Recta de Pascal OPQ del hexágono cíclico ABCDEF inscrito en una elipse. Recta de Pascal GHK de un hexágono auto-intersecante ABCDEF inscrito en una elipse. Los lados opuestos del hexágono tienen el mismo color.