Apuntes de óptica

introducción a la óptica
Entender que la óptica geométrica se ocupa de las trayectorias de la energía radiante a través de distintos medios.
- Conocer el principio de Fermat y las leyes y principios fundamentales de la óptica.
- Conocer el significado de los conceptos y nomenclatura más utilizada en óptica geométrica.
- Conocer el criterio de signos y saber aplicarlo.
- Saber deducir la ecuación del dioptrio esférico (óptica paraxial) y saber aplicarla.
- Conocer el concepto de aumento lateral y aplicarlo con correción.
- Conocer los elementos cardinales de una superficie. En particular el concepto de focal.
- Deducir la formación de imágenes a través de una superficie esférica refractante mediante el trazado de rayos.
- Deducir a partir de la ecuación del dioptrio esférico las ecuaciones que gobiernan la óptica de cualquier otra superficie: plana refractante, espejos esféricos y espejos planos.
- Deducir la formación de imágenes a través de cualquier superficie mediante el trazado de rayos.
- Conocer el concepto de lente delgada y conocer los tipos de lentes.
- Deducir a partir de la ecuación del dioptrio esférico la ecuación que gobierna la óptica de las lentes delgadas.
- Deducir la formación de imágenes a través de una lente delgada mediante el trazado de rayos.
- Conocer los instrumentos ópticos fundamentales y el aumento visual de cada uno de ellos.
- Conocer los defectos de visión más comunes y saber interpretarlos.
- Resolver con corrección cuestiones y problemas relacionados con los contenidos explicados.
- Dominio de las unidades correspondientes.

1. Introducción. Óptica geométrica.

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La Óptica geométrica se ocupa del estudio de la propagación de la luz, determinando las trayectorias de la energía radiante a través de distintos medios o disponer estos de modo que la propagación se ajuste a determinadas trayectorias. La Óptica geométrica se trabaja como una verdadera geometría a partir de un único postulado: el principo de Fermat, cuyo enunciado se puede resumir en "el camino óptico que recorre la luz es mínmo"
En un medio homogéneo e isótropo, definimos el camino óptico como el producto del índice de refracción (n), por el camino real (s), que recorre la luz:
L=n⋅s=cv⋅s=c⋅t
Por tanto, las ondas se propagan en línea recta siguiendo la dirección de sus rayos. Un rayo de luz es la trayectoria que sigue la energía luminosa siendo perpendicular a su frente de onda.

Existen otras leyes básicas sobre la luz:

• Ley de propagación rectilínea de la luz.
• Ley de independencia de los rayos luminosos: La ley de independencia de los rayos luminosos establece que la acción de cada rayo es independiente de la de los demás.
• Leyes de reflexión y refracción.
• Ley de reciprocidad: La ley de reciprocidad establece que trayectoria de un rayo que, partiendo de F, llega a un punto P por reflexión/refracción en O sería la misma que seguiría un rayo que partiera de P y se reflejara/refractara en dicho punto O. Este rayo, por consiguiente, pasaría por F.

2. Representación óptica. Nomenclatura.

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Sistema óptico: conjunto de superficies que separan medios de diferente índice de refracción. el sistema más sencillo es el formado por una sola superfici, que llamaremos dioptrio esférico.

Centro de curvatura: es el centro geométrico de la esfera a la que corresponde la superficie del espejo o lente. Se representa mediante la letra C. Tratándose de espejos planos, podemos considerar que el centro de curvatura se encuentra localizado en el infinito.

Radio de curvatura: Es la distancia existente entre el centro de curvatura y el vértice.

Sistema centrado: sistema formado por superficies esféricas cuyos centros están alineados.

Eje óptico:línea imaginaria que une los centros de las superficies que forman el sistema óptico.

Vértice: es el punto de corte de la superficie esférica con el eje óptico.

Objeto: punto del cual parten los rayos que van a atravesar el sistema óptico.
Los objetos pueden ser reales (si los rayos parten efectivamente de ese punto) o virtuales (si los rayos aparentemente parten de ese punto, pero en realidad no)

Imagen: punto donde convergen todos los rayos que salen del objeto.
Las imágenes pueden ser reales (si los rayos convergen realmente en ese punto) o virtuales (si los rayos convergen en ese punto sólo en apariencia)

Un sistema óptico perfecto es aquél que cumple las condiciones de Maxwell: (i) a un plano objeto normal al eje del sistema debe corresponder un plano imagen también normal; (ii) todos los rayos que entran en el sistema concurrentes en un punto cualquiera del plano objeto pasan a la salida por un punto del plano imagen y (iii) cualquier figura contenida en el plano objeto se representa en una figura semejante contenida en el plano imagen, siendo la razón de semejanza constante.

Sistema óptico

3. La esfera como superficie óptica. Criterio de signos.

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A partir de un dioptrio esférico y teniendo en cuenta que los sistemas ópticos son perfectos, podemos establecer el siguiente trazado de rayos:

Criterio de signos

En Óptica geométrica se trabaja con un acuerdo que asigna a cada magnitud que interviene en el trazado de rayos un signo. Este acuerdo es el llamado criterio de signos:

• En todas nuestras construcciones geométricas la luz se propagará de izquierda a derecha, y éste será el sentido positivo. El origen de coordenadas es S (polo del casquete esférico o vértice. A partir de este punto contaremos las distancias en el sentido de la luz incidente.

• Distancias horizontales: Puntos a la izquierda de S presentan distancia negativa y a la derecha, positiva.

• Distancias verticales: Puntos en el semiplano superior al eje SC tienen altura positiva y en el inferior, negativa.

• Ángulos de incidencia o refracción: Los ángulos que forman los rayos con la normal al dioptrio son positivos si al llevar el rayo sobre la normal por el menor ángulo, el sentido de giro es el de las agujas de un reloj; en caso contrario, son negativos.

• Ángulos con el eje óptico: Los ángulos que forman los rayos con el eje son positivos, si al llevar el rayo sobre el eje por el menor ángulo, el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj; en caso contrario, son negativos.

4. Formación de imágenes en una superficie esférica. Óptica paraxial.

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Como trabajamos con un sistema óptico perfecto a cada punto del espacio objeto le corresponde un punto conjugado en el espacio imagen.

Dioptrio esférico

Se trabaja en óptica paraxial cuando los objetos y aberturas son tan pequeños que nos situamos en una zona muy próxima al eje óptico. Es decir, los senos y tangentes de los ángulos utilizados pueden sustituirse por los ángulos.

Se puede deducir que la ecuación del dioptrio esférico es:

n′s′−ns=n′−nr

expresión que nos permite obtener la posición de la imagen conociendo el resto de variables que intervienen. Es necesario aplicar el criterio de signos

5. Aumento lateral.

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La relación entre la altura de la imagen y la altura del objeto se denomina aumento lateral de la imagen.

Aumento lateral

A partir de la figura, aplicando el criterio de signos y teniendo en cuenta que trabajamos en óptica paraxial, se puede deducir que, el aumento lateral se obtiene:
β=y′y=nn′⋅s′s

Los posibles valores de beta son:

• Si beta > 0, entonces imagen directa
• Si beta < 0, entonces imagen inversa
• Si beta > 1, entonces imagen aumentada
• Si beta < 1, entonces imagen reducida

en óptica geométrica existen otros dos tipos de aumentos el aumento angular y el aumento axial

γ=σ′σ

α=z′z
siendo z el segmento del espacio imagen.

6. Elementos cardinales. Distancia focal y potencia.

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Los elementos cardinales son parejas de puntos y planos del sistema óptico que lo caracterizan y que nos permiten, gráfica y numéricamente, encontrar imágenes a través de dicho sistema.

Focos y planos focales

• El foco objeto es el punto del eje óptico que tiene su imagen en el infinito, y el plano focal objeto es el plano perpendicular que contiene al foco objeto.

• El foco imagen es el punto del eje óptico donde convergen todos los rayos paralelos a dicho eje(proceden del infinito) y elplano focal imagen es el plano perpendicular al eje que contiene al foco imagen.

Para deducir las posiciones de los focos y por tanto de las llamadas distancias focales, sólo tenemos que sustituir en la ecuación del dioptrio esférico, obteniendo:

Para el foco objeto:

Foco objeto

Objeto ≡ f = s
Imagen ≡ infinito
f=nn−n′⋅r=−n⋅rn′−n


Para el foco imagen:

Foco imagen

Objeto ≡ infinito
Imagen ≡ f´ = s´
f′=n′n′−n⋅r


Existe, por tanto dos expresiones que relacionan las distancias focales:
ff′=−nn′

f+f′=r

7. Espejos. Formación de imágenes.

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A partir de la ecuación del dioptrio esférico (caso general) se pueden deducir las ecuaciones que gobiernan la óptica de la reflexión (espejos).

En el caso de un espejo plano tenemos:

Imagen virtual, simétrica, derecha y de igual tamaño que el objeto

Objeto ≡ s
Radio ≡ infinito
Imagen ≡ s'
n=-n' (criterio de signos)

n′s′−ns=n′−nr=0⇒1s′−1s=0→s=−s′

En el caso de un espejo esférico, éste puede ser cóncavo (r < 0) o convexo (r > 0).

Se puede comprobar, sin más que sustituir en las ecuaciones generales de las distancias focales que, en espejos esféricos los focos están juntos y situados a la mitad del radio del espejo.

Foco imagen: f'= s'= r/2

Foco objeto: f = r/2

Por tanto, para un espejo esférico la imagen se calcula a partir de:

1s+1s′=2r

o bien:
1s+1s′=1f

Espejo cóncavo

Espejo convexo

El trazado de rayos se dibuja de acuerdo con las siguientes directrices:

1. El rayo paralelo al eje. Este rayo se refleja por el punto focal.
2. El rayo focal, que pasa por el punto focal. Este rayo se refleja paralelamente al eje.
3. El rayo radial, que pasa por el centro de curvatura. Este rayo incide sobre el espejo perpendicularmente a su superficie y, por ello, se refleja coincidiendo consigno mismo.

Como ejemplos podemos considerar:

Imagen real e invertida

Imagen virtual y derecha

Los tipos de espejos e imágenes formadas según la situación del objeto son:

Tipo de espejo	Posición del objeto	Imagen formada
Plano	s	Virtual, derecha, tamaño natural
Esférico cóncavo	s > r	Real, invertida, disminuida
	s = r	Real, invertida, tamaño natural
	r > s > f	Real, invertida, aumentada
	s = f	No se forma imagen nítida
	s < f	Virtual, derecha, aumentada
Esférico convexo	Cualquier posición	Virtual, derecha, disminuida

Respecto al aumento lateral se cumple que:

β=y′y=−s′s

8. Sistemas compuestos. Lentes delgadas.

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Una lente es un sistema óptico centrado formado por dos o más superficies refractoras (dioptrios), de las que al menos una es esférica. Atendiendo a su grosor, las lentes pueden clasificarse en gruesas y delgadas. Una lente se considera delgada si su grosor es pequeño comparado con los radios de curvatura de los dos dioptrios.

Las lentes pueden clasificarse atendiendo a su forma en:

• Lentes convexas o convergentes, conocidas también como positivas (porque su distancia focal es positiva). Son más gruesas en su parte central y hacen converger los rayos que las atraviesan (considerando siempre que el índice de refracción de la lente es mayor que el del medio que la rodea).
• Lentes cóncavas o divergentes, también conocidas como negativas (porque su distancia focal es negativa). Son más delgadas en su parte central, lo que provoca la divergencia de los rayos que las atraviesan (considerando siempre que el índice de refracción de la lente es mayor que el del medio que la rodea).

Lente convergente

Lente divergente

A partir de la ecuación del dioptrio esférico se pueden deducir las ecuaciones que gobiernan las lentes delgadas. Hay que tener en cuenta que la imagen formada por el primer dioptrio es el objeto del segundo.

⎛⎝⎜⎜⎜1s′−1s=(n−1)(1r1−1r2)1f=(n−1)(1r1−1r2)⎞⎠⎟⎟⎟⇒1s′−1s=1f′

β=y′y=s′s

Las representaciones de F y F' son:

El trazado de rayos se dibuja de acuerdo con las siguientes directrices:

1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo se desvía de modo que pasa, real o virtualmente, por el foco imagen de la lente.
2. El rayo central, que pasa por el centro (vértice) de la lente. Este rayo no sufre desviación (las dos caras de la lente son paralelas en este punto, de modo que el rayo emerge en la misma dirección pero ligeramente desplazado; como la lente es delgada, dicho desplazamiento es despreciable).
3. El rayo focal, que proviene, real o virtualmente, del foco objeto. Este rayo emerge paralelo al eje.

Diagrama de rayos en una lente convergente

Diagrama de rayos en una lente divergente

El comportamiento convergente o divergente de una lente depende del medio en el que se encuentre inmersa: una lente biconvexa se comporta como convergente cuando el medio circundante es el aire, pero lo hace como divergente si el medio circundante tiene un índice de refracción mayor que el vidrio de la lente.

Lente	nmedio < nlente	nmedio > nlente
Biconvexa	Convergente	Divergente
Bicóncava	Divergente	Convergente

9. Instrumentos ópticos fundamentales.

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El instrumento óptico por excelencia es el ojo. La luz entra en el ojo a través de una abertura variable: la pupila. El sistema córnea-lente (córnea-cristalino) del ojo enfoca la luz sobre la retina. El ojo que enfoca correctamente tanto los objetos lejanos como los cercanos se denomina ojo normal u ojo emétrope.
Los defectos más comunes de la visión son los que se derivan de problemas de enfoque, a saber:

• Hipermetropía: el ojo es menos convergente de lo que debiera, dando como resultado que las imágenes quedan enfocadas detrás de la retina. Una persona hipermétrope puede ver correctamente objetos lejanos, para los que se requiere poca convergencia, pero tiene problemas a la hora de ver claramente objetos cercanos. La hipermetropía se corrige merced a la acción de una lente convergente (positiva).

Hipermetropía y su corrección

• Miopía: el ojo de una persona miope presenta una excesiva convergencia y enfoca la luz procedente de objetos distantes delante de la retina. Una persona miope puede ver objetos cercanos, ya que sus rayos incidentes demasiado convergentes pueden enfocarse sobre la retina, pero no puede enfocar con nitidez los objetos lejanos. La miopía se corrige con una lente divergente (negativa).

Miopía y su corrección

• Astigmatismo: Es un defecto debido a que la córnea o el cristalino no son perfectamente esféricos, lo que provoca que la imagen de un punto sea un trazo.

Otros instrumentos ópticos conocidos son:

• Lupa o microscopio simple: Su poder amplificador es:

Γ′=θθ0=xppf

Lupa o microscopio simple

• Microscopio compuesto: Su poder amplificador es:

\Gamma' = \displaystyle\ \beta_0 \cdot{ \gamma_e} = - \frac{L}{f_0}\cdot{\frac{x_\textrm{pp}}{f_e}

Microscopio compuesto

• Telescopio: Su poder amplificador es:

Γ′=θeθ0=−f0fe

Telescopio