ESPECTRO DE LINEAS

Cantidades Observables

Las líneas espectrales se caracterizan por lo que se llama su ``perfil'' (line profile en Inglés), que es la distribución de energía en función de la frecuencia. Con la actual tecnología disponible, y con la obvia excepción del Sol, podemos observar tan sólo el flujo de luz integrado en toda la superficie del disco estelar. Para el caso del sol podemos estudiar parámetros asociados con una línea en distintas posiciones del disco, pero para el resto de las estrellas podremos definir una sola cantidad asociada a cada líinea. El perfil de una línea espectral se describe generalmente en función de su flujo residual

$\begin{displaymath}R_{\nu}= \frac{F_{\nu}}{F_{c}}\end{displaymath}$

$\sigma$ de la profundidad de absorción

$\begin{displaymath}A_{\nu} = 1 - R_{\nu} - \frac{F_{\nu}}{F_{c}}\end{displaymath}$

La interpretación física de estas cantidades es trivial, como muestra la figura en la página siguiente donde se han graficado el flujo ${F_{\lambda}}$ , con una línea y sin ella (panel superior), el flujo residual (panel del medio) y la profundidad de absorción (panel inferior). El flujo residual es simplemente lo que queda de energía en cada longitud de onda cuando el contínuo se ha normalizado a la unidad, y la profundidad de absorción es la fracción residual de flujo que se transmite, cuando la absorción causada por la línea muy lejos del núcleo de la misma es cero.

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Se pueden definir cantidades equivalentes $A_{\lambda}$ y $R_{\lambda}$ , expresando los flujos en ${F_{\lambda}}$

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Para el caso del Sol, pueden definirse, además, cantidades en diferentes partes de su superficie, caracterizada por $\mu$ , (el coseno del ángulo de rayos emergentes).

$\begin{displaymath}a_{\nu}(\mu) \equiv 1 - \left( \frac{I_{\nu}(0,\mu)}{I_{c} (0,\mu)} \right) = 1 - r_{\nu}(\mu)\end{displaymath}$

Donde $I_{\nu}(0,\mu)$ y $I_{c} (0,\mu)$ son ahora las intensidades específicas dentro de la línea y en el contínuo para cada $\mu$ dado.

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En casos en que la S/N ratio (Relación Señal/Ruido) del espectro no sea buena, no es posible medir con claridad la forma del perfil de línea. En estos casos se recurre a una cantidad integrada que, como tal, puede medirse con más precisión porque promedia el ruido estadístico a lo largo del rango de longitud de onda en que la línea esta definida. Esta cantidad es el ``Ancho Equivalente'' de la misma, que es el perfil de línea integrado. Puede definirse tanto a partir de unidades de frecuencia como de longitud de onda. Las definiciones son equivalentes aunque, numéricamente, los anchos equivalentes dados por estas dos definiciones no van a coincidir en general. (Unidades de frencuencia) $W_{\nu} \equiv \int^{\infty}_{0} A_{\nu}d_{\nu}$ ó (Unidades de longitud de onda) $W_{\lambda} \equiv \int^{\infty}_{0} A_{\lambda}d_{\lambda}$

Ensanchamiento Natural

Considere para comenzar, una oscilación variable en el tiempo, con amplitud f(t). Su transformada de Fourier es

$\begin{displaymath} F(w) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(t)~e^{-iwt}~dt \end{displaymath}$

(5.1)

que satisface

$\begin{displaymath} f(t) = \frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty} F(w)~e^{-iwt}~dw \end{displaymath}$

(5.2)

Es espectro de energía del oscilador está dado por

$\begin{displaymath} E(w) = \frac{F^{*}(w)F(w)}{2\pi} \end{displaymath}$

(5.3)

Relación que deriva su nombre de

$\begin{displaymath}\int^{+\infty}_{-\infty} E(w)dw = \frac{1}{2\pi} \int^{+\inf... ...fty} F^{8}F(w)dw = \int^{+\infty}_{-\infty} f^{*}(t) f(t) dt \end{displaymath}$

Esta relación, que se puede verificar por integración directa, indica la proporcionalidad sugerida entre $f^{*}(t) \times f(t)$ , que siendo el cuadrado de la amplitud de oscilación es una medida de la energía de la misma E(w); entonces es una medida de la energía de la oscilación en la frecuencia particular w.
Muchas veces se usa la energía por unidad de tiempo (i.e. el espectro de potencia), que se define como

$\begin{displaymath}I(w) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi T} \left\v... ...^{\frac{T}{2}}_{\frac{-T}{2}} f(t)~e^{-iwt}~dt \right\vert^{2} \end{displaymath}$

El modelo más simple de un átomo radiando energía es el que es considerado un oscilador clásico cargado, cuya energía decae por la aceleración de la carga. ^5.1Tomando una carga e y masa m para el oscilador, en el caso más general en que el oscilador puede estar bajo la acción de una fuerza externa, la ecuación de movimiento se escribirá:
(Ec. más general)

$\begin{displaymath}m(\ddot{x} + w_{0}^{2} x )= e E_{0} e^{iwe} - m \gamma \dot{x}\end{displaymath}$

Donde w₀ es la frecuencia de oscilación natural del sistema, $\gamma$ es la constante de amortiguamiento clásica dada por

$\begin{displaymath}\gamma = \frac{2e{2} w_{0}^{2}}{3m c^{3}}, \end{displaymath}$

y E₀ e^iwet es un campo externo que podría estar forzando la oscilación del sistema. En este caso $E_{0} \equiv 0$ ya que nos interesa un átomo que fué exitado abruptamente en un cierto momento, y la perturbación externa no se mantuvo en el tiempo.

$\begin{displaymath}\ddot{x} = - w_{0}^{2} x - \gamma \dot{x} \end{displaymath}$

Para los sistemas de interés en este curso, al término de amortiguamiento es pequeño, lo que da paso al caso débilmente amortiguado. Este equivalía, en términos Físicos a aproximar el término de amortiguamiento $- \gamma \dot{x}$ , por el que resultaría si la velocidad $\dot{x}(t)$ fuera la del caso no amortiguado

$\begin{displaymath}\dot{x}(t) = \frac{d}{dt} [x(t)] = \frac{d}{dt} \left[ x_{0} e^{iw_{0}}t \right] \end{displaymath}$

con esta aproximación, la ecuación queda

$\begin{displaymath}\ddot{x}(t) = - (w_{0}^{2} t i \gamma w_{0} ) x(t) \end{displaymath}$

Si se ignoran términos del orden $\gamma^{2}$ , la solución de esta ecuación es:

$\begin{displaymath}x(t) = x_{0}~e^{i w_{0} t} e - \frac{\gamma}{2} t \end{displaymath}$

que es la que conocemos para el caso de amortiguamiento débil. Esta es una muestra ``f(t)'', en el lenguaje de la ecuación . El espectro de frecuencias, o energía, de la misma será obtenible a partir de la transformada de Fourier

$\begin{displaymath}F(w) = x_{0} \int^{\infty}_{0} e^{-i(w-w_{0})t}~e^{\frac{- \g... ... x_{0} \over \left[ i(w - w_{0}) + \frac{1}{2} \gamma \right]} \end{displaymath}$

Tomando ahora $[F^{*} (w) \times F(w)]/(2 \pi)$ , tenemos finalmente

$\begin{displaymath}E(w) = \left( \frac{x_{0}^{2}}{2 \pi} \right)~ \frac{1}{ \le... ... w_{0})^{2} + \left( \frac{1}{2} \gamma \right)^{2} \right] } \end{displaymath}$

Esta ecuación corresponde al espectro de energía para un oscilador cuya amplitud inicial es x₀. En el caso más general tendremos un conjunto de osciladores que son creados contínuamente por otros procesos (los procesos de excitación de niveles de energía) y cuyas fases fases y amplitudes iniciales son arbitrarias. En este caso, para un nivel dado, que implica un w₀ dado, el espectro de energía resultante será proporcional al E(w)) anterior, resultante de sumar diferentes amplitudes y fases iniciales en torno a la misma frecuencia w₀. La convención usual es tomar el perfil normalizado de forma que

$\begin{displaymath} \int^{+\infty}_{-\infty} I(w) dw = 1 \end{displaymath}$

(5.4)

$\begin{displaymath}I(w) = \left( \frac{\gamma}{2 \pi} \right)~ \frac{1}{ \left[... ... w_{0})^{2} + \left( \frac{1}{2} \gamma \right)^{2} \right] } \end{displaymath}$

Esta forma funcional es llamada perfil de Lorentz o lorentziana. El oscilador clásico, entonces, da un perfil de Lorentz, con un $FWHM \equiv \gamma$ . En unidades de longitud de onda, este es

$\begin{displaymath}FWHM = \Delta_{\rm clasico} = \frac{2 \pi c \gamma}{w_{0}^{2}... ...rac{4 \pi e^{2}}{3m c^{2}} \cong 1.2 \times 10^{-4}\, {\rm\AA} \end{displaymath}$

El modelo simple de un oscilador clásico para un átomo decayendo de un cierto estado de exitación es muy limitado, pero tiene algunos aciertos. El más notable de ellos es que proporciona la forma funcional adecuada que se observa en las líneas de átomos aislados. La frecuencia de oscilación natural w₀ también corresponde en orden de magnitud a los valores observados para la luz. Las fallas más notorias son que $\Delta_{\rm clasico}$ es mucho más pequeño que los valores observados, y que en general $\Delta \lambda$ es diferente para diferentes transiciones, cuando el modelo clásico no contempla mas que una posible $\gamma$ para todas las transiciones. Es necesario buscar un modelo más realista para obtener un mejor acuerdo con las observaciones.

Cálculo usando Mecánica Cuántica

El caso análogo al oscilador clásico en el ámbito de la Mecánica Cuántica es el de un sistema (átomo o ión en nuestro caso), que hace una transición desde un estado de energía excitado de tiempo de vida finito, a un estado de energía inferior, en general también con un tiempo de vida medio finito. Para estos estados, la probabilidad de hallar el sistema en el estado excitado, luego de un tiempo t de haber sufrido la transición al estado, está dada por

$\begin{displaymath} P_{j} (t) = \psi_{j}^{*} \psi_{j} e^{-\Gamma t} \end{displaymath}$

(5.5)

Donde $\Gamma = A_{ji}$ es el coeficiente de Einstein de emisión espontánea, y $\psi_{j}(\vec{r}, t)$ es la función de onda del estado j. ^5.2
El desarrollo temporal de $\psi_{j}(\vec{r}, t) e^{-\Gamma t}$ es

$\begin{displaymath} \psi_{j}(\vec{r}, t) e^{\frac{-\Gamma t}{2}} = U_{j} (\vec{... ...ec{r}) \cdot e^{-i \left( w_{j} + \frac{1}{2} \Gamma \right)t} \end{displaymath}$

(5.6)

Consistentemente con el principio de incertidumbre, tenemos que considerar que el estado j, cuyo tiempo de vida medio es $\Delta t_{j}$ , no tiene una energía perfectamente definida E_j, sino es una superposición de estado de energía similar a E_j con una incerteza dada por $\Delta E_{j} \sim \frac{\hbar}{\Delta t_{j}}$ . De acuerdo a los postulados de reciprocidad de la U.C. la amplitud de la distribución de energía es la transformada de Fourier de la dependencia temporal de la función de onda (análogo al caso clásico), y la distribución de probabilidad de los estados de energía está dada por el cuadrado de su amplitud.Tomando la transformada de Fourier de la ecuación y luego, normalizando el resultado en forma análoga a la ecuación , obtenemos

$\begin{displaymath}I(w) = \frac{\Gamma}{2 \pi} \left[ (w - w_{0})^{2} + \left( {\Gamma \over 2} \right)^{2} \right]^{-1} \end{displaymath}$

En el análisis de la ecuación , vimos que $\Gamma$ es el inverso del tiempo de vida media del estado superior. Si hay varios niveles posibles para decaer del superior, tendremos que sumarlos (recordar $\Gamma = A_{ji}$ se suman las probabilidades de decaer). Tendremos un total

$\begin{displaymath}\Gamma_{u} = \sum_{i < u} A_{ui}\end{displaymath}$

Donde esta ecuación vale para frecuencias similares dentro de la misma transición (o niveles de energía similar). Esta diferente multiplicidad de los niveles de energía es una de las razones por las cuales el modelo clásico falla.
Notemos en este punto que, con la normalización anterior, I(w) puede ser visto como la probabilidad de hallar el sistema decayendo desde una frecuencia w, que corresponde a una energía $E = \hbar(w - w_{0}) + E_{0}$ . Llamando $\psi = \frac{E - E_{0}}{\hbar}$ a la diferencia entre los niveles de energía, y $\delta = \frac{\Gamma}{2}$ , podemos escribir el perfil Lorentziano como:

$\begin{displaymath}P(\psi) = \frac{\delta}{\pi} \frac{1}{(x^{2} + \delta^{2})} \end{displaymath}$

que representa a la probabilidad de decaer desde un estado de energía E separado de E₀ por $\psi$ . En general, el estado inferior de energía (hacia el cual el sistema decae) también va a tener una distribución de energía en torno a un valor medio, y el ancho de esta distribución de energía estará dado por otro perfil Lorentziano con su propio $\Gamma$ . Llamando $\Gamma_{u}$ y $\Gamma_{L}$ ( $\delta_{u}$ y $\delta_{L}$ ) a los anchos del nivel superior y del inferior, tendremos que la probabilidad conjunta de decaer desde un estado E (con aportamiento $\psi$ de energía desde el nivel medio superior E₀^u) a un estado E¹ del nivel inferior (con aportamiento $\psi^{1}$ de energía desde su propio valor medio E₀^L) es:

$\begin{displaymath}P(\psi, \psi^{1}) = \frac{\delta_{u} \delta_{L}}{\pi^{2}} \f... ...\psi^{2} + \delta_{u}^{2}) ( (\psi^{1})^{2} + \delta_{L}^{2})} \end{displaymath}$

Notar que se supuso que el estado inicial y el final no están correlacionados (es decir, que son independientes). Si prestamos atención solamente a transiciones que producen una frecuencia dada w; tendremos a $\psi$ y $\psi^{1}$ relacionadaas por

$\begin{displaymath}w_{0} + \psi - \psi^{1} = w~~~~~~o~~~~~~\psi^{1} = \psi - \psi_{0} \end{displaymath}$

Donde $\psi_{0} = w - w_{0}$
La intensidad total en la frecuencia w se obtiene sumando para todos los posibles estados $\psi$ , con $\psi^{1} = \psi - w_{0}$ . Es decir

$\begin{displaymath}I(w) = \int^{+\infty}_{-\infty} P (\psi, \psi - \psi_{0})dx =... ... \delta_{U}^{2} [(\psi - \psi_{0}^{2})^{2} + \delta_{L}^{2}]} \end{displaymath}$

Esta integral puede resolverse pasando al plano complejo y usando el Teorema de los residuos, teniendo en cuenta los polos en $z = \pm i \delta u$ y $z = \psi_{0} \pm i \delta_{L}$ . El resultado es:

$\begin{displaymath}I(w) = \left( \frac{\Gamma_{u} + \Gamma_{L}}{2 \pi} \right) ... ...w_{0})^{2} + \frac{(\Gamma_u) + \Gamma_{L})^{2}}{4} \right] } \end{displaymath}$

Una vez más, el mismo resultado anterior, pero con $\Gamma \equiv \Gamma_{u} + \Gamma_{L}$ . El perfil es Lorentziano con FWHM igual a la suma de los anteriores. Este perfil es un perfil de emisión. En el caso de LTE a nivel microscópico (balance detallado), a cada transición de emisión se debe corresponder una absorción. El perfil de absorción correspondiente debe ser el mismo.El número anterior debe convertirse en sección de absorción por átomo, para lo que se usa
$\sigma_{scattering~(clasico)} = \left( \frac{\pi e^{2}}{mc} \right)$ Sección de scattering para un oscilador clásico de carga e, excitado por un campo externo.
Y escribimos si $\alpha_{\nu}$ es el coeficiente de absorción por átomo

$\begin{displaymath}\int^{+\infty}_{-\infty} \alpha_{\nu} d_{\nu} = \left( \frac... ...mc} \right) \cdot f_{eu}~\rightarrow~\lq\lq fuerza~ de~oscilador'' \end{displaymath}$

Este ancho natural $\Gamma_{u} + \Gamma_{L}$ se observa sólo en líneas muy intensas en medios de baja densidad. Por ejemplo $L_{\alpha}$ (la línea producida por transición entre el nivel 2 y el 1 en un átomo de hidrógeno) cuando el gas emisor se encuentra en regiones de baja densidad en el medio interestelar. Finalmente, para una frecuencia dada

$\begin{displaymath}\alpha_{\nu} = \left( \frac{\pi e^{2}}{mc} \right) \cdot f_{e... ...{2} + \left( \frac{\Gamma_{uL}}{4 \pi} \right)^{2} \right] } \end{displaymath}$

(5.7)

Notar también que la integral anterior tiene que ser igual a $h \nu_{0} B_{eu} \equiv$ energía media del fotón absorbido (probabilidad de transición).

$\begin{displaymath}f_{eu} = \left( \frac{mc}{\pi e^{2}} \right) h \nu B_{eu} \end{displaymath}$

Como,

$\begin{displaymath}B_{eu} = \frac{g_{u}}{g_{e}} A_{ue} \cdot \left( \frac{2 h \nu^{3}}{c^{2}} \right)^{-1} \end{displaymath}$

Obtenemos,

$\begin{displaymath}f_{eu} = \frac{mc}{\pi e^{2}} h \nu \cdot \frac{g_{u}}{g_{e}} A_{ue} \cdot \left( \frac{2 h \nu^{3}}{c^{2}} \right)^{-1} \end{displaymath}$