jueves, 15 de octubre de 2015

Análisis matemático


multiplicidad de un miembro de un multiconjunto es el número de pertenencias que éste tiene en el multiconjunto. Por ejemplo, este término se usa para referirse al número de veces que cierto polinomio tiene raíz en un punto determinado.
La razón más habitual para considerar nociones de multiplicidad es para contar sin especificar excepciones (por ejemplo, especificar que las raíces dobles se cuentan dos veces). De aquí la expresión contado con multiplicidad (en ocasiones implícita).

Multiplicidad de un factor primo

En la factorización en factores primos
60 = 2 × 2 × 3 × 5
la multiplicidad de 2 es 2; la de 3 es 1, y la de 5 es 1. Así, 60 tiene 3 factores primos, pero sólo 3 factores primos distintos.

Multiplicidad de la raíz de un polinomio

Sea F un campo y p(x) un polinomio de una variable con coeficientes en F. Un elemento a ∈ F se llama raíz de multiplicidad k de p(x) si existe un polinomio s(x) tal que s(a) ≠ 0 y p(x) = (x-a)^ks(x). Si k=1, entonces a recibe el nombre de raíz simple.
Por ejemplo el polinomio p(x)=x^3+2x^2-7x+4 tiene 1 y -4 como raíces, y puede escribirse como p(x)=(x+4)(x-1)^2. Esto significa que 1 es una raíz de multiplicidad 2, y -4 es una raíz 'simple' (multiplicidad 1).

Multiplicidad de cero de una función

de Sea I un intervalo de R y f una función de I a R o C y c ∈ I sea un cero de f, por ejemplo, un punto tal que f(c)=0. El punto c toma el nombre de cero de multiplicidad k de f si existe un número real l ≠ 0 tal que
\lim_{x\to c}\frac{|f(x)|}{|x-c|^k}=\ell.
De forma más general, sea f una función de un subconjunto abierto A de un espacio vectorial con norma E en un espacio vectorial con norma F, y sea c ∈ A cero def, por ejemplo, un punto tal que f(c) = 0. El punto c recibe el nombre de cero de multiplicidad k de f si existe un número real l ≠ 0 tal que
\lim_{x\to c}\frac{\|f(x)\|_{\mathcal F}}{\|x-c\|_{\mathcal E}^k}=l.
El punto c se llama cero de multiplicidad ∞ de f si para cada k, se cumple que
\lim_{x\to c}\frac{\|f(x)\|_{\mathcal F}}{\|x-c\|_{\mathcal E}^k}=0.
Ejemplo 1. Dado que
\lim_{x\to 0}\frac{|\sin x|}{|x|}=1,
0 es un cero de multiplicidad 1 de la función seno.
Ejemplo 2. Dado qué
\lim_{x\to 0}\frac{|1-\cos x|}{|x|^2}=\frac 12,
0 es un cero de multiplicidad 2 de la función 1-\cos.
Ejemplo 3. Considérese la función f de R en R tal que f(0) = 0 y que f(x)= \exp(1/x^2) cuando x ≠ 0. Entonces, dado que
\lim_{x\to 0}\frac{|f(x)|}{|x|^k}=0 para todo k ∈ N
0 es un cero de multiplicidad ∞ para la función f.

En análisis complejo

Sea z_0 una raíz de una función holomorfa f, y n el último entero positivo m tal que, la mésima derivada de f evaluada en z_0 es diferente de cero. Entonces la serie de potencias de f sobre z_0 empieza con el término nésimo, y f entonces tiene raíz de multiplicidad (o “orden”) n. Si n=1, la raíz recibe el nombre de raíz simple (Krantz 1999, p. 70).








método de la fase estacionaria o aproximación de fase estacionaria es un principio básico del análisis asintótico, se aplica a las integrales oscilatorias, una clase de integrales de Fourier del tipo.
I(k) = \int g(x) e^{ikf(x)}\,dx
definidas en el espacio n-dimensional Rn, donde i es la unidad imaginaria. Aquí f y g son funciones continuamente diferenciables que toman valores reales. El papel de la función g es para asegurar la convergencia, es decir, g es una función test. El gran parámetro real k se considera en el límite cuando k → ∞.

Conceptos básicos

La idea principal de los métodos de la fase estacionaria se basa en la cancelación de sinusoides cuando la fase varía rápidamente. Si muchas sinusoides tienen la misma fase y son sumadas, se tendrá una suma constructiva. Si, sin embargo, estas mismas sinusoides tienen fases que cambian rápidamente a medida que cambia la frecuencia, se tendrá una suma destructiva.

Un ejemplo

Consideremos la función
f(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} F(\omega) e^{i(kx - \omega t)} d\omega
El término de fase en esta función, \phi = kx - \omega t es "estacionario" cuando
\frac{d}{d\omega}\left(k\left(\omega\right)x - \omega t\right) \approx 0
o de modo equivalente,
\frac{d\omega}{dk} \approx \frac{x}{t}
Las soluciones de esta ecuación producen frecuencias dominantes \omega_{dom}(x, t) for a given x and t. Si expandimos \phi en una serie de Taylor sobre \omega_{dom} y anulamos los términos de orden superior a (\omega - \omega_{dom})^2,
\phi \sim k(\omega_{dom})x - \omega_{dom} t + \frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2
Cuando x es relativamente grande, incluso una pequeña diferencia \omega-\omega_{dom} generará oscilaciones rápidas dentro de la integral, lo que lleva a la cancelación. Por lo tanto podemos extender los límites de la integración más allá del límite para un desarrollo de Taylor. Si duplicamos la contribución real de las frecuencias positivas de la transformación para tener en cuenta las frecuencias negativas,
f(x, t) = \frac{1}{2\pi} 2 \mbox{Re}\left\{ \exp\left[i\left[k(\omega_{dom})x-\omega_{dom}t\right]\right] \left|F(\omega_{dom})\right| \int_{\mathbb{R}}\exp\left[i\frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2\right]d\omega\right\}
Esto se integra como
f(x, t) \sim \frac{\left|F(\omega_{dom})\right|}{\pi} \sqrt{ \frac{2\pi}{x\left|\frac{d^2k}{d\omega^2}\right|}} \cos\left[ k(\omega_{dom})x - \omega_{dom}t \pm \frac{\pi}{4}\right]

Etapas de reducción

La primera afirmación general importante del principio en cuestión establece que el comportamiento asintótico de I(k) depende sólo de los puntos críticos de f. Si por causa de g la integral se localiza en una región del espacio donde f no tiene un punto crítico, el resultado de la integral tiende a 0 cuando la frecuencia de las oscilaciones se toman hasta el infinito. Véase, por ejemplo, el lema de Riemann-Lebesgue.
La segunda afirmación es que, cuando f es una función de Morse, de modo que los puntos singulares de f sean puntos críticos no degenerados y aislados, entonces la cuestión se reduce al caso n = 1. De hecho, a continuación, la elección de g se puede hacer para dividir la integral en casos con un solo punto crítico de P en cada uno de ellos. En ese punto, porque la matriz hessiana en P es por suposición distinta de 0, se aplica el lema de Morse. Mediante un cambio de coordenadas f podrá ser sustituido por
x12 + ….+ xj2 − xj + 12 − xj + 22 − … − xn2.
El valor de j está dado por la signatura de la matriz hessiana de f en P. En cuanto a g, el caso esencial es que g es un producto de funciones de activación (bump function) de xi. Si se asume ya sin pérdida de generalidad que P es el origen, tomamos una función de activación continuamente diferenciable h con valor 1 en el intervalo [-1,1] y que rápidamente tiende a 0 fuera de ella.
Tomemos
g(x) = Π h(xi).
Por tanto el teorema de Fubini reduce I(k) a un producto de integrales sobre la línea real, como
J(k) = \int h(x) e^{ikf(x)}\,dx
con f(x) = x2 o −x2. El caso con el signo menos es el complejo conjugado del caso con el signo más, por lo que hay esencialmente una estimación asintótica necesaria.
De esta manera asintótica se pueden encontrar soluciones para las integrales oscilatorias de las funciones de Morse. El caso degenerado requiere técnicas adicionales. Véase, por ejemplo, la función de Airy.

Caso unidimensional

La definición esencial es esta:
\int_{-1}^1 \exp\left(ikx^2\right)\,dx = \sqrt{\pi \over k} \,\exp\left({\pi i \over 4}\right) + O\left({1 \over k}\right).
De hecho por integración de contorno se puede demostrar que el término principal en el lado derecho de la ecuación es el valor de la integral en el lado izquierdo, extendida sobre el intervalo [- ∞, ∞]. Por eso, la cuestión es la estimación de la integral sobre, por ejemplo, [1, ∞].1
Este es el modelo para todas las integrales de una dimensión I(k) con f teniendo un único punto crítico no degenerado en el que f tiene segunda derivada mayor que 0. De hecho, el caso modelo tiene como segunda derivada 2 en 0. Con el fin de escalar con k, teniendo en cuenta que la sustitución de k por ck donde c es una constante es la misma que escalar x mediante √ c. De ello se deduce que para los valores generales de f "(0)> 0, el factor √ (π / K) se convierte en
\sqrt{2\pi \over kf''(0)}.
Para f "(0) <0 antes.="" como="" compleja="" conjugada="" f="" la="" mencion="" p="" rmula="" se="" usa="">
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