jueves, 15 de octubre de 2015

Análisis matemático


El Teorema de Robbins, nombrado en honor a Herbert Robbins establece:
Una función f es Riemann super-integrable en un intervalo [a, b] si y sólo si es contínua en dicho intervalo.
en donde la condición de Riemann super-integrabilidad establece:
Una función real f es Riemann super-integrable en un intervalo [a, b] si existe un número I tal que para toda ε>0 y C>0, existe δ>0 tal que
\left| I - \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\right| < \varepsilon
para cualquier elección de puntos x_0, x_1, \ldots, x_n y \xi_i,\xi_2,\ldots,\xi_n en el intervalo [a, b] que satisfagan
\sum_{i=1}^n |x_i-x_{i-1}|\le C,
en donde x_0=a, x_n=b, 0<|x_i - x_{i-1}|<\delta y cada \xi_i está en el intervalo con puntos extremos x_i, x_{i+1} (observando que los puntos no necesariamente están ordenados).












En matemática, la torsión tiene varios significados, en general sin relación el uno con el otro:
  1. En geometría diferencial elemental en tres dimensiones, la torsión de una curva de una curva mide cuan agudamente está torcida. Es análoga a la curvatura en dos dimensiones. Dado una función a valores vectoriales r(t), la torsión en un valor dado de t es:
((r' \times r'') \cdot r_{}^{(3)}) \|r' \times r'' \|_{}^{-2}
  1. Un segundo significado de la torsión en geometría diferencial es el tensor de torsión, que depende de la conexión. Es un (1, 2) tensor dado por la fórmula:
T(u,v)=\nabla_u v - \nabla_v u -[u,v] \,
donde [u, v] es el corchete de Lie de los dos campos vectoriales. Las conexiones libres de torsión son las que se consideran más frecuentemente -la conexión de Levi-Civita presupone tener torsión cero, por ejemplo-.
  1. En álgebra abstracta, subgrupo de torsión de un grupo abeliano consiste en todos los elementos de orden finito. Se llama a un grupo abeliano libre de torsión si todos sus elementos tienen orden infinito (este concepto se generaliza al de módulo de torsión). En el funtor de Tor del álgebra homológica, que se presenta porque el producto tensorial no preserva en general las secuencias exactas, el símbolo Tor es el usado para esta clase de torsión algebraica, hablando, de todos modos, históricamente. Estos funtores fueron introducidos para hacer sistemático el teorema universal del coeficiente de la teoría de la homología, en los casos donde los grupos de homología Hi(X, Z) de un espacio X tenían cierta torsión.
Algunos invariantes topológicos se llaman torsiones: por ejemplo la torsión de Reidemeister-Schreier de un grupo que actúa en un complejo finito; y también la torsión analítica definida usando Laplacianos.







 Transformada de Fourier de Tiempo Corto (Short-time Fourier transform, STFT) o Transformada de Fourier de Término Reducido (short-term Fourier transform) está relacionada con la transformada de Fourier usada para determinar el contenido en frecuencia sinusoidal y de fase en secciones locales de una señal así como sus cambios con respecto al tiempo.

STFT de tiempo continuo

Simplemente, en el caso del tiempo continuo, la función a ser transformada se multiplica por una función ventana que solo es diferente de cero por un pequeño período. La trasformada de Fourier (una función de una sola dimensión) de la señal resultante es tomada como la ventana que se desliza a lo largo del eje del tiempo, resultando una representación en dos dimensiones de la señal. Matemáticamente, se escribe como:
\mathbf{STFT} \left \{ x(t) \right \} \equiv X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) e^{-j \omega t} \, dt
donde w(t) es la función ventana, comúnmente una ventana de Hann o ventana campana Gaussiana centrada en cero, y x(t) es la señal a ser transformada, x(t, w) es esencialmente la Transformada de Fourier de x(t)x(t - τ), una función compleja que representa la fase y magnitud de la señal sobre tiempo y frecuencia. A menudo se emplea la fase instantánea junto con el eje del tiempo τ y el eje de la frecuencia w para suprimir cualquier discontinuidad por salto en la fase resultante en la STFT. El índice de tiempo τ normalmente se considera un tiempo "lento" y usualmente no se expresa con tan alta resolución como con el tiempo t

STFT en tiempo discreto

Véase también: transformada modificada discreta del coseno
En el caso del tiempo discreto, la información a ser transformada podría ser dividida en pedazos o tramas (que usualmente se traslapan unos con otros, para reducir irregularidades en la frontera). Cada pedazo una transformación de Fourier, y el resultado complejo se agrega a una matriz, que almacena magnitud y fase para cada punto en tiempo y frecuencia. Esto se puede expresar así:
\mathbf{STFT} \left \{ x[n] \right \} \equiv X(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]w[n-m]e^{-j \omega n}

Donde, x[n] es la señal y w[n] es la ventana. En este caso m es disctreta y ω es contínua, pero en la mayoría de aplicaciones típicas la STFT se hace en un computador usando la Tranasformada Rápida de Fourier, así ambas variables son discretas y cuantizadas. De nuevo, el índice de tiempo discreto m es normalmente considerado como un tiempo "lento" y usualmente no se expresa con tan alta resolución como con el tiempo n.
La magnitud cuadrada de la STFT origina el espectrograma de la función:
\mathrm{espectrograma} \left \{ x( t ) \right \} \equiv \left| X(\tau, \omega) \right|^2
Vea también la transformada modificada discreta del coseno (MDCT), que está también relacionada con la transformada de Fourier y que usa ventanas traslapadas.

STFT inversa

La STFT es invertible, esto es, la señal original puede ser recuperada de la transformación por medio de la STFT inversa. La forma más ampliamente aceptada de invertir la STFT es usando el método suma solapada (overlap-add, OLA), que también permite modificar al espectro complejo de STFT. Esto lo hace un método de procesamiento de señal versátil, referido como el método de solapamiento y suma con modificaciones.

STFT en tiempo continuo

Dado el ancho y definición de la función ventana w(t), se requiere inicialmente que el área de la función ventana sea ajustada así que
\int_{-\infty}^{\infty} w(\tau) \, d\tau = 1.
Es fácil deducir que
\int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = 1 \quad \forall \ t
y
x(t) = x(t) \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau.
La transformada de Fourier contínua es
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \, dt.
Substituyendo x(t) de arriba:
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau \right] \, e^{-j \omega t} \, dt
= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-j \omega t} \, d\tau \, dt.
Cambiando el orden de integración:
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-j \omega t} \, dt \, d\tau
= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-j \omega t} \, dt \right] \, d\tau
= \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) \, d\tau.
Por lo que la Transformada de Fourier puede ser vista como una suma coherente de fases de todos los STFTs de x(t), Debido a que la transformada inversa de Fourier es
x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{+j \omega t} \, d\omega,
entonces x(t) puede ser recuperada de X(τ,ω) como
x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+j \omega t} \, d\tau \, d\omega.
o
x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+j \omega t} \, d\omega \right] \, d\tau.
Se puede ver que, al comparar arriba que la ventana de "grano" o "wavelet" de x(t) es
x(t) w(t-\tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+j \omega t} \, d\omega.
la transformada de Fourier inversa de X(τ, ω) para una τ fija.

La STFT en tiempo discreto

Cuestiones de la resolución

Uno de los problemas del STFT es que tiene una resolución fija. El ancho de la función de ventana está relacionado con el como la señal es representada, esto determina si hay buena resolución en frecuencia (las componentes de frecuencia que están cerca pueden ser separadas) o buena resolución en tiempo (el tiempo en cuyas frecuencias cambian). Una ventana amplia da una mejor resolución en frecuencia pero también una pobre resolución en el tiempo. Una ventana angosta da una buena resolución en el tiempo pero una pobre resolución en frecuencia. Estas son llamadas transformadas de banda angosta y de banda amplia, respectivamente.
La comparación de resolución STFT. El de la izquierda tiene una mejor resolución en el tiempo y el de la derecha tiene una mejor resolución en frecuencia
Esta es una de las razones de la creación de la transformada wavelet (o análisis multiresolución en general), que puede dar una buena resolución en el tiempo para eventos de alta frecuencia y buena resolución en frecuencia para eventos de baja frecuencia, que es el tipo de análisis mejor utilizado para muchas señales reales.
Esta propiedad está relacionada con el principio de incertidumbre de Heisenberg, pero no es una relación directa. El producto de la desviación estándar en el tiempo y en la frecuencia es limitado. La frontera del principio de incertidumbre (la mejor resolución en frecuencia de ambas) es alcanzado por una función de ventana Gausiana, debido a que el Gausiano minimiza el principio de incertidumbre de Fourier.
Uno puede considerar la STFT para ventanas de tamaño variable como si fuera un dominio en dos dimensiones (tiempo, frecuencia), como se ha ilustrado en el ejemplo de abajo, que puede ser calculado al variar el tamaño de la ventana. De todas, maneras, esto no es más que una estricta representación del tiempo y la frecuencia.

Ejemplo

Usando la siguiente muestra de señal x(t) que está compuesta por un conjunto de 4 formas de onda sinusoidales unidas en secuencia. Cada forma de onda está únicamente compuesta de una de cuatro frecuencias (10, 25, 50, 100 Hz). La definición de x(t) es.
x(t)=\begin{cases} \cos (2 \pi 10 t); & 0 \le t < 5 s \\ \cos (2 \pi 25 t); & 5 \le t < 10 s \\ \cos (2 \pi 50 t); & 10 \le t < 15 s \\ \cos (2 \pi 100 t); & 15 \le t < 20 s \\ \end{cases}
Entonces, muestreado a 400 Hz se obtuvo el siguiente espectrograma:
ventana de 25 ms.
ventana de 125 ms.
ventana de 375 ms.
ventana de 1000 ms.

La ventana de 25 ms nos permite identificar un tiempo preciso en el cual la señal cambia pero los cambios precisos en la frecuencia son difíciles de identificar- En el otro extremo de la escala, la ventana de 1000 ms permite que las frecuencias sean vistas de forma precisa pero el tiempo entre los cambios de frecuencia es borroso.

Explicación

También puede ser explicado con referencia al muestreo y a la frecuencia de Nyquist
Tome una ventana de N muestras del valor real de una señal arbitraria con una tasa de muestreo de fs. Tomando la transformada de Fourier se produce N coeficientes complejos. De estos coeficientes solo la mitad son útiles (el último N/2 siendo el complejo conjugado del primer N/2 en orden inverso, ya que este es el valor real de una señal).
Estos N/2 coeficientes representan las frecuencias 0 a fs/2 (Nyquist) y dos coeficientes consecutivos son espaciados aparte por fs/N Hz.
Para incrementar la resolución en frecuencia de la ventana, la frecuencia de espaciado de los coeficientes necesita ser reducida. Hay solo dos variables, pero el disminuir fs (y mantener N constante) causará que el tamaño de la ventana aumente, debido a que ahora hay menos muestras por unidad de tiempo. La otra alternativa es incrementar N, pero esto causa de nuevo que el tamaño de la ventana se incremente. Cualquier intento de incrementar la resolución en frecuencia causa un mayor tamaño de la ventana y por lo tanto una reducción en la resolución del tiempo y viceversa.

Aplicación

Una STFT está siendo usada para analizar una señal de audio con respecto al tiempo.
Las STFTs al igual que las transformaciones estándar de Fourier y otras herramientas son frecuentemente usadas para analizar música. El espectrograma puede por ejemplo, mostrar la frecuencia en el eje horizontal, con las frecuencias más bajas a la izquierda y las más altas a la derecha. La altura de cada barra (resaltada con color) representa la amplitud de las frecuencias dentro de la banda. La dimensión del fondo representa el tiempo, donde cada nueva barra fue una transformación distinta. Los ingenieros de Audio usan este tipo de visualización para obtener información a cerca de una muestra de audio, por ejemplo, para localizar las frecuencias de ruidos específicos (especialmente cuando se usó con gran resolución en frecuencia) o encontrar frecuencias que podrían ser más o menos resonantes en el espacio donde la señal fue grabada.. Esta información puede ser usada para la ecualización o entonación de otros efectos de audio.











transformada de Legendre si cada una de sus primerasderivadas son función inversa de la otra:
Df = \left( Dg \right)^{-1}
Se dice entonces de f y g que están relacionadas por una transformada de Legendre. Son unívocas hasta una constante aditiva que normalmente se fija mediante el requisito adicional de que
f(x) + g(y) = x\,y.
La transformada de Legendre es su propia inversa, y está relacionada a la integración por partes. Dicha transformada se puede generalizar a la transformada de Legendre-Fenchel. Una transformada de Legendre da como resultado una nueva función, en la que se sustituye una o más variables independientes con la derivada de la función original respecto a esa variable. Reciben su nombre debido a Adrien-Marie Legendre.

Motivación

En ciertos problemas matemáticos o físicos es deseable expresar una cierta magnitud f (como la energía interna) como función diferente g en que los argumentos sean precisamente las derivadas de la función respecto a las antiguas variables. Si designamos al nuevo argumento y se tiene que la relación con el viejo argumento es y =df/dx.
La transformación de Legendre permite la construcción anterior, mediante el teorema de la función implícita, de una nueva función g que satisface los requisitos anteriores:
g(y):=(\mathcal{L}f)(y) = x(y)y - f(x(y))

Donde f(x) \, es la función original y \mathcal{L}:C^{(2)}(D,\mathbb{R}) \to C^{(2)}(D,\mathbb{R}) es el operador transformada de Legendre. Una función f(x) \, admite transformada de Legendre, si existe su derivada segunda y no se anula nunca:
En esas condiciones el Teorema de la Función Implícita aplicado a la función:
\begin{array}{lcr} F:\mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R} \\ F(x,y) & = & y-\frac{df}{dx} \end{array}

garantiza que existe la función diferenciable, x(y).

Aplicaciones a los potenciales termodinámicos

La estrategia tras el uso de las transformadas de Legendre es desplazar la dependencia de una función de una variable independiente a otra (la derivada de la función original con respecto a su variable independiente) tomando la diferencia entre la función original y su producto. Se usan para realizar transformaciones entre los diversos potenciales termodinámicos.
Por ejemplo, mientras las energía interna es una función explícita de las variables extensivas, entropía, volumen (y composición química)
U = U(S,V,\{N_i\})\,
la entalpía es otra función de estado que puede construirse como la transformada de Legendre de la energía interna U con respecto a −PV
H = U + PV \, = H(S,P,\{N_i\})\,
P =\, -\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_S\,
se convierte en función de la entropía y la cantidad intensiva, presión, como variables naturales, y es útil cuando la P (externa) es constante. La transformación estará definida siempre que sea posible "invertir" el volumen en función de la presión y la entropía, cosa que requiere que:
0 \neq \left( \frac{\partial^2 U}{\partial V^2} \right)_S = \left( \frac{\partial P}{\partial V}\right)_S = -\frac{1}{\beta_sV}
Donde βs es la compresibilidad adiabática.
Las energías libres (Helmholtz y Gibbs se obtienen mediante sucesivas transformadas de Legendre, eliminando TS (de U y H, respectivamente), cambiando la dependencia de la entropía S a su variable conjugada intensiva temperatura T, y es útil cuando ésta es constante.

Aplicaciones a la electrotecnia

Otro ejemplo de la física: considere un condensador de placas plano-paralelas cuyas placas puedan aproximarse o alejarse una de otra, intercambiando trabajo confuerzas mecánicas externas que mantienen la separación de las placas (análogo a un gas en un cilindro con un pistón. Queremos que la fuerza atractiva f entre las placas sea función de la separación variable x (Los dos vectores espaciales apuntan en sentidos opuestos). Si las cargas de las placas se mantienen constantes mientras se mueven, la fuerza es el gradiente negativo de la energía electrostática.
U (Q, \mathbf{x} ) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} QV \,.
Sin embargo, si se mantiene constante el voltaje entre las placas V conectando una batería, que es una reserva de carga a diferencia de potencial constante, la fuerza se convierte en el gradiente negativo de la transformada de Legendre
U - QV = -\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} QV \,.
Las dos funciones resultan ser negativas sólo por la linealidad de la capacitancia. Por supuesto, para una carga, voltaje y distancia dadas, la fuerza estática debe ser la misma mediante cualquier cálculo ya que las placas no pueden "saber" qué se mantendrá constante mientras se mueven.

Aplicaciones en mecánica clásica

En mecánica clásica se usa una transformada de Legendre para derivar la formulación hamiltoniana partiendo de la formulación lagrangiana, y viceversa.
Eso es posible, puesto que la función lagrangiana o lagrangiano que aparece en la formulación lagrangiana es un función explícita de las coordenadas posicionales qj y las velocidades generalizadas dqj /dt (y tiempo). Por su parte la función de Hamilton o hamiltoniano que aparece en la formulación hamiltoniana es función explícita de las coordenadas posicionales y los momentos. El punto importante es que los momentos pueden ser obtenidos como derivadas del lagrangiano:
p_j=\frac{\partial L(q_i,\dot{q}_i)}{\partial \dot{q}_j}

con lo cual estamos en la condiciones para construir el hamiltoniano a partir del lagrangiano (siempre y cuando además se cumpla la condición requerida por el teorema de la función implícita). En esas condiciones el hamiltoniano viene dado como transformación de Legendre del lagrangiano:
H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t) = \sum_i \dot{q}_i((q_i,p_i)) p_i - L(q_j,\dot{q}_j(q_i,p_i),t)

La transformación anterior es posible que el lagrangiano en cada punto del espacio de configuración sea una forma bilineal cuadrática no-degenerada de las velocidades puesto que en ese caso, la condición de existencia de la inversa \dot{q}_j = \dot{q}_j(p_j,q_j) está automáticamente garantizada por el teorema de la función implícita ya que:
\frac{\partial^2 L}{\partial {\dot{q}_j}^2} = a_{jj} \neq 0

Cada una de las dos formulaciones de la mecánica clásica tiene su propio campo de aplicación, tanto en los fundamentos teóricos del tema como en la práctica, dependiendo de la sencillez de cómputo de un problema en particular. Las coordenadas no tienen necesariamente que ser rectilíneas o cartesinas, sino también ángulos, etc. Una opción óptima tomaría ventaja de las simetrías físicas reales.

Ejemplos

La función exponencial ex tiene a  x ln x − x  como transformada de Legendre, dado que las primeras derivadas respectivas ex y ln x son inversa una de la otra. Este ejemplo muestra que los dominios respectivos de una función y su transformada de Legendre no tienen por qué coincidir.
De forma similar, la forma cuadrática
u(x) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \, x^t \, A \, x
donde A es una matriz simétrica invertible de n por n, tiene por transformada de Legendre a
v(y) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \, y^t \, A^{-1} \, y

Transformada de Legendre en una dimensión

En una dimensión, se puede encontrar la transformada de Legendre de una función f : R → R con primera derivada invertible usando la fórmula
g(y) = y \, x - f(x), \, x = f^{\prime-1}(y)
Se puede ver esto como la integración de ambos lados de la condición definitoria restringida a una dimensión
f^\prime(x) = g^{\prime-1}(x)
de x0 a x1, haciendo uso del teorema fundamental del cálculo en el lado izquierdo y sustituyendo
y = g^{\prime-1}(x)
en el lado derecho para encontrar
f(x_1) - f(x_0) = \int_{y_0}^{y_1} y \, g^{\prime\prime}(y) \, dy
donde g′(y0) = x0, g′(y1) = x1. Usando integración por partes la última integral se simplifica como
y_1 \, g^\prime(y_1) - y_0 \, g^\prime(y_0) - \int_{y_0}^{y_1} g^\prime(y) \, dy = y_1 \, x_1 - y_0 \, x_0 - g(y_1) + g(y_0)
Por tanto,
f(x_1) + g(y_1) - y_1 \, x_1 = f(x_0) + g(y_0) - y_0 \, x_0
Dado que el lado izquierdo de esta ecuación sólo depende de x1 y el derecho sólo de x0, tienen que evaluar a la misma constante.
f(x) + g(y) - y \, x = C,\, x = g^\prime(y) = f^{\prime-1}(y)
Resolviendo para g y escogiendo que C sea cero obtenemos la fórmula mencionada anteriormente.

Interpretación geométrica

Para una función estrictamente convexa, se puede interpretar la transformada de Legendre como una correspondencia entre la gráfica de la función y la familia detangentes de la gráfica. (Para una función de una variable, las tangentes están bien definidas en todos los puntos excepto para un conjunto numerable de ellos, dado que una función convexa es diferenciable en todos sus puntos excepto en una cantidad numerable de ellos.)
La ecuación de una línea con pendiente m y punto b de corte del eje de las ordenadas la da
y = mx + b\,
Para que esta línea sea tangente a la gráfica de una función f en el punto (x0, f(x0)) se precisa que
f\left(x_0\right) = m x_0 + b
y
m = f^{\prime}\left(x_0\right)
f es estrictamente monótona ya que es la derivada de una función estrictamente convexa, y la segunda función se puede resolver para x0, permitiendo eliminar x0 de la primera, dejando el término b' de la tangente como función de su pendiente m:
b = f\left(f^{\prime-1}\left(m\right)\right) - m \cdot f^{\prime-1}\left(m\right) = -f^\star(m)
Aquí f* denota la transformada de Legendre de f.
La familia de tangentes de la gráfica de f la da por tanto, parametrizada por m,
y = mx - f^\star(m)
o, escrito de forma explícita, viene dada por las soluciones de la ecuación
F(x,y,m) = y + f^\star(m) - mx = 0
La gráfica de la función original se puede reconstruir partiendo de esta familia de líneas como la envolvente de esta familia exigiendo que
{\partial F(x,y,m)\over\partial m} = f^{\star\prime}(m) - x = 0
Eliminando m de estas dos ecuaciones obtenemos
y = x \cdot f^{\star\prime-1}(x) - f^\star\left(f^{\star\prime-1}(x)\right)
Identificando y con f(x) y reconociendo el lado derecho de la ecuación anterior como la transformada de Legendre de f*, encontramos que
f(x) = f^{\star\star}(x)

Transformada de Legendre en más de una dimensión

Para una función real diferenciable sobre un subconjunto abierto U de Rn, el conjugado de Legendre del par (U, f) se define como el par (V, g), donde V es la imagen deU según la función gradiente Df, y g es la función sobre V dada por la fórmula
g(y) = \left\langle y, x \right\rangle - f\left(x\right), \, x = \left(Df\right)^{-1}(y)
donde
\left\langle u,v\right\rangle = \sum_{k=1}^{n}u_{k} \cdot v_{k}
es el producto escalar sobre Rn.
De forma alternativa, si X es un espacio vectorial real e Y es un espacio dual, entonces para cada punto x \in X e y \in Y, existe una identificación natural de losespacios cotangentes T*Xx con Y y T*Yy con X. Si f es una función real diferenciable sobre X, entonces ∇f es una sección del fibrado cotangente T*X y como tal, podemos construir una correspondencia de X sobre Y. De forma similar, si g es una función real diferenciable sobre Y, ∇g define una correspondencia de Y sobre X. Si ambas correspondencias son inversas de la otra, decimos que tenemos una transformada de Legendre.

Más propiedades

En lo que sigue, la transformada de Legendre de una función f se denota como f*.

Propiedades de escalado

La transformada de Legendre tiene las siguientes propiedades de escala:
f(x) = a \cdot g(x) \Rightarrow f^\star(p) = a \cdot g^\star\left(\frac{p}{a}\right)
f(x) = g(a \cdot x) \Rightarrow f^\star(p) = g^\star\left(\frac{p}{a}\right)
Se sigue de aquí que si una función es homogénea de grado r entonces su imagen bajo la transformada de Legendre es una función homogénea de grado s, donde 1/r + 1/s = 1.

Comportamiento ante traslación

f(x) = g(x) + b \Rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - b
f(x) = g(x + y) \Rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - p \cdot y

Comportamiento ante inversión

f(x) = g^{-1}(x) \Rightarrow f^\star(p) = - p \cdot g^\star\left(\frac{1}{p}\right)

Comportamiento ante transformaciones lineales

Sea A una transformación lineal de Rn en Rm. Para cualquier función convexa f sobre Rn, tenemos
\left(A f\right)^\star = f^\star A^\star

donde A* es el adjunto de A definido por
\left \langle Ax, y^\star \right \rangle = \left \langle x, A^\star y^\star \right \rangle
Una función convexa cerrada f es simétrica con respecto a un conjunto dado G de transformaciones lineales ortogonales,
f\left(A x\right) = f(x), \; \forall x, \; \forall A \in G
si y sólo si f* es simétrica con respecto a G.

Convolución infimal

La convolución infimal de dos funciones f y g se define como
\left(f \star_\inf g\right)(x) = \inf \left \{ f(x-y) + g(y) \, | \, y \in \mathbb{R}^n \right \}
Sean f1, …, fm funciones convexas propias sobre Rn. Entonces
\left( f_1 \star_\inf \cdots \star_\inf f_m \right)^\star = f_1^\star + \cdots + f_m^\star















valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de unnúmero real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Definición

El valor absoluto se define en cualquiera de los sistemas numéricos, de los números enteros, racionales, reales como:
  • |a| = a si a ≥ 0;
  • |a| = -a en otro caso; para un elemento a de los sistemas numéricos indicados.2

Definiciones equivalentes

Si  a  es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:
  1. |a| = \sqrt{a^2}
  2. |a|  es igual al máximo de {a, -a}. 3

Valor absoluto de un número real

Función 01 abs.svg
La función se define de los números reales sobre los números reales positivos. Formalmente, el valor absoluto o módulode todo número real x\, está definido por:4
\begin{array}{rccl} \text{abs} : & \R & \to & \R^{+} \cup \{0\} \\ & x & \to & y = \text{abs}(x) \end{array}
que se expresa:
\text{abs}(x) = |x| = \left \{ \begin{array}{rcl} x, & \mbox{si} & x \ge 0 \\ -x, & \mbox{si} & x < 0 \end{array} \right .
La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:
\text{id}(x) = \text{sgn}(x) \; \text{abs}(x)
Por definición, el valor absoluto de  x \,  siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real x\, es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
La función valor absoluto una función continua definida por trozos.

Propiedades fundamentales

|a| \ge 0No negatividad
|a| = 0 \iff a = 0Definición positiva
|ab| = |a| |b|\, Propiedad multiplicativa
|a+b| \le |a| + |b|Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
-|a|\le a \le |a|

Otras propiedades

|-a| = |a|\,Simetría
|a-b| = 0 \iff a = bIdentidad de indiscernibles
|a-b| \le |a-c| + |c-b|Desigualdad triangular
|a-b| \ge ||a| - |b||(equivalente a la propiedad aditiva)
\left| \frac {a}{b}\right| = \frac {|a|}{|b|} (\text{si } \ b \ne 0)Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
\left| x \right|' = \text{sgn}(x) derivada (en el sentido de las distribuciones)
Otras dos útiles inecuaciones son:
  • |a| \le b \iff -b \le a \le b
  • |a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12
El conjunto de los reales con la norma definida por el valor absoluto (\R,|\cdot|) es un espacio de Banach.[cita requerida]

Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo z\, es la distancia r\, desde z\,al origen. Aquí vemos que z\, y suconjugado \bar{z}\, tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
|a| = \sqrt{a a^*} donde a* es el conjugado del número complejo a.
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
a = x + iy\,
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:
|a| = \sqrt{x^2 + y^2}
Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta elorigen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si
z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi )
y
\bar{z} = x - iy
es el conjugado de z, entonces se verifica que:
|z| = r\,
|z| = |\bar{z}|
|z| = \sqrt{z\bar{z}}
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como unendomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Generalizaciones

Números hipercomplejos

Además de en los números complejos la función valor absoluto puede extenderse a números hipercomplejos como los cuaterniones o los octoniones. En estas álgebras sobre los números reales el valor absoluto de un número h se define como:
|h| = \sqrt{h\bar{h}}
Donde \bar{h} representa el hiperconjungado de h.

Espacios vectoriales

En espacios vectoriales que no son álgebras sobre los reales, los conceptos de módulo, norma y seminorma generalizan la noción de valor absoluto de los números reales.

Programación del valor absoluto

En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran,Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs(),llabs(), fabs(), fabsf() y fabsl().
La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:
int abs (int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}
Sin embargo, al tratar con puntos flotantes la codificación se complica, pues se debe lidiar con la infinitud y valores NaN.[cita requerida]
Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en unaarquitectura x86, con la sintaxis de Intel:
cdq
xor eax, edx
sub eax, edx
cdq extiende el bit de signo de eax en edx. Si eax es no-negativa, entonces edx se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando eax sin cambios. Si eax es negativa, entonces edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una inversión complemento a dos, dejando el valor absoluto del valor negativo en eax.
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