Campo escalar

En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física. Los campos escalares se usan en física, por ejemplo, para indicar la distribución de la temperatura o la presión de un gas en el espacio.

Como expresión matemática, un campo escalar es una función de

\R^n \to \R

. Esto quiere decir que asocia cada punto de un espacio vectorial con un número o escalar

f \left ( x_1,x_2,\dots,x_n \right )

. Esta función también es conocida como función de punto o función escalar.

En mecánica de fluidos la presión puede ser tratada como un campo escalar, o la distribución de temperatura sobre un cuerpo es otro campo escalar. Todos estos campos son clasificados como campos escalares por motivo de la descripción matemática necesaria. Una construcción que caracteriza los campos escalares son las superficies equipotenciales que son los conjuntos de puntos sobre los cuales la función toma un mismo valor.

En física cuántica, se usa el término "campo escalar" de una forma más restringida, se aplica a describir el campo asociado a partículas de espín nulo (p.ej. los piones).

Dada una variedad diferenciable

\mathcal{M}

y dado un atlas de la misma:

$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)|\quad U_\alpha \subset \mathcal{M},\ \phi_\alpha:U_\alpha \to \R^n \}$

Un campo escalar diferenciable,

\Psi:\mathcal{M} \to R

es cualquier función tal que:

$\forall \alpha, \quad (\Psi\circ\phi_\alpha^{-1}): \phi_\alpha(U_\alpha)\subset \R^n \to \mathbb{R}$

Es campo escalar diferenciable en

\R^n

Campo escalar : :

El concepto de campo escalar data del siglo XIX y su aplicación está orientada a la descripción de fenómenos relacionados con la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, las presiones en el interior de fluidos, el potencial electrostático, la energía potencial en un sistema gravitacional, las densidades de población o de cualquier magnitud cuya naturaleza pueda aproximarse a una distribución continua.

Definición de campo escalar

Físicamente un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar.

Matemáticamente un campo escalar es una función escalar de las coordenadas cuya representación física se muestra en la Figura 17 .

Figura 17 Campo escalar en

Las representaciones de estos campos en un espacio tridimensional requieren cuatro dimensiones, por lo que graficarlas resulta imposible en tres dimensiones pero pueden usarse como herramientas de optimización para modelado de casos donde intervienen distintas variables.

Representación de un campo escalar

Los campos escalares se representan mediante la función que los define o mediante líneas o superficies equipotenciales.

Una superficie o línea equipotencial se define como el lugar geométrico de los puntos tales que:

En un mapa de relieve por ejemplo se tiene un campo escalar correspondiente a elevación sobre el nivel del mar como función de las coordenadas latitud y longitud geográfica. Este caso corresponde a un campo escalar definido en dos dimensiones matemáticas.

En este caso, las superficies equipotenciales se denominan curvas de nivel, y como se deduce de la definición, todos los puntos pertenecientes a una curva de nivel tienen la misma elevación sobre el nivel del mar.

En los mapas de temperatura, las líneas o superficies que unen los puntos de igual temperatura se llaman isotermas, mientras en la electrostática, las líneas o superficies que unen los puntos de igual potencial electrostático se denominan líneas o superficies equipotenciales.

Figura 18 Curvas de nivel de un campo escalar definido en

La diferencia entre superficies y líneas equipotenciales radica en el número de variables independientes involucradas en la función. Si se representa el campo en función de dos variables, entonces se forman líneas equipotenciales en caso de que se usen tres variables independientes entonces se habla de superficies equipotenciales.

De acuerdo con la definición de superficie equipotencial, el diferencial total entre dos puntos de la misma vecindad de una superficie equipotencial es cero.

Esta propiedad, a la luz de las propiedades del gradiente expresadas en la Ecuación 19 y de la definición del diferencial vectorial de superficie expresada en la Ecuación 23 implica que el gradiente de un campo escalar apunta siempre en dirección perpendicular a las líneas o superficies equipotenciales, como se muestra en la Figura 19 .

Figura 19 Representación del gradiente de un campo escalar y su relación con la superficie equipotencial.

campo electromagnético dependiente del tiempo es un campo generado por una distribución no estacionaria de cargas móviles. Para un campo de ese tipo, es necesario contar con las contribuciones de las derivadas parciales respecto al tiempo de todas las magnitudes en las ecuaciones de comportamiento.

Otra peculiaridad de este tipo de campos, es que no existen campos eléctricos puros o magnéticos puros, sino que cualquier campo electromagnético variable presentará los dos tipos de campo. Es decir, para un campo electromagnético variable no es posible encontrar un observador que sólo detecte uno de los dos campos (excepto quizás en un instante dado). Una consecuencia de esta coocurrencia de los dos campos es la ley de Faraday que afirma que un campo magnético variable induce uncampo eléctrico. E igualmente, Maxwell predijo que un campo eléctrico variable induce un campo magnético. Este apoyo mutuo del uno al otro, esto es, un campo magnético que produce un campo eléctrico y un campo eléctrico que produce un campo magnético, resultados en el fenómeno de propagación de onda. La predicción de ondas electromagnéticas y los subsecuentes del uso exitoso de estas ondas en sistemas de la comunicación sea un clímax excelente a los siglos de exploración y experimentación que lo precedieron.

Modificación de las ecuaciones del campo estático bajo condiciones variantes en el tiempo

Antes de presentar las ecuaciones generales para el campo electromagnético que varía con el tiempo, resumiremos las ecuaciones básicas que gobiernan la eléctrica estática, campos magnéticos y el campo de flujo de corriente estacionaria. Varias opciones equivalentes son posibles, pero las ecuaciones siguientes son escogidas porque muestran la propiedad del irrotational del campo electrostático, la propiedad de la divergencia del magnetostático y campos de flujo corrientes estacionarias claramente.

Ecuación del campo electrostático

(1) $\nabla\times\vec{E}=0, \qquad \nabla\cdot\vec{D}=\rho$

Ecuación del campo magnetostático

(2) $\nabla\times\vec{H}= \vec{J}, \qquad \nabla\cdot\vec{H}=0$

Ecuación de las corrientes estacionarias

(3) $\nabla\cdot\vec{J}=0$

Potencial vector y escalar

Fijada una región del espacio simplemente conexa se puede demostrar que existen un campo escalar

\phi\,

, llamado potencial eléctrico, y un campo vectorial

\mathbf{A}

, llamado potencial vector (magnético), en cada punto del espacio tal que los campos eléctrico y magnético dados por:

$\mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla}\phi - \frac{1}{c}\frac{\part \mathbf{A}}{\part t}, \qquad \mathbf{B} = -\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}$

Satisfacen las cuatro ecuaciones vectoriales de Maxwell idénticamente siempre los potenciales escalar y potencial vector satisfagan las ecuaciones:

$\Delta \phi - \frac{1}{c^2}\frac{\part^2 \phi}{\part t^2} = \rho, \qquad \Delta \mathbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\part^2 \mathbf{A}}{\part t^2} = \mathbf{j}$

Una propiedad notable de los potenciales anteriores es que a partir de ellos puede formarse un cuadrivector relativista.

Generalización de la ley de Ampère

A partir de la ley de conservación de la carga,

(4) $\nabla\cdot\mathbf{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

y con ayuda de la ley de Gauss, llegamos a la siguiente ecuación

(5) $\nabla \cdot \left(\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right)=0$

Al segundo término dentro de la divergencia se le conoce como corriente de desplazamiento. Podemos agregar este término a la ley de Ampère sin perder consistencia en nuestras ecuaciones. Consecuencia de este resultado es la aparición de las ecuaciones de onda.

Potenciales de Liénard-Wiechert

La forma general de un campo electromagnético variable pueden deducirse de los potenciales retardados de Liénard-Wiechert.

Una consecuencia importante de los potenciales anteriores es parte de la energía electromagnética un sistema de cargas móviles cuyo movimiento se restringe a una región finita del espacio es radiada hacia el exterior. Por lo que la energía dentro de la región finita donde se encuentran las cargas no se mantiene constante.

Espiras en un campo magnético variable con el tiempo

En este pagina, se describe un experimento que nos permite comprobar la ley de inducción de Faraday.

donde F es el flujo a través de una espira, y N es el número de espiras iguales.

El experimento consta de un generador de ondas en el que podemos seleccionar la forma de la onda (cuadrada, triangular o senoidal). El generador está unido a un solenoide (primario) que produce un campo magnético variable con el tiempo. Esta bobina está acoplada a otra (secundario) cuyo número de espiras podemos elegir entre las siguientes: 300, 600, 900, 1200. Podemos también cambiar la frecuencia en el generador dentro de un cierto intervalo.

En la pantalla de un osciloscopio se representa la diferencia de potencial variable producida por el generador y la fem en el secundario.

Fundamentos físicos

Analizaremos cada una de las señales que produce el generador

Señal de forma cuadrada

Para crear un campo magnético constante y por tanto, un flujo constante, usamos la señal cuadrada del generador. La señal cuadrada se caracteriza por que durante medio periodo el potencial vale V, y durante el otro medio periodo vale –V.

La señal no es exactamente cuadrada, ya que no pasa del potencial positivo al negativo y viceversa, en un instante concreto, sino durante un intervalo de tiempo, pequeño comparado con el periodo de la señal.

Si el flujo F =cte. Aplicando la ley de Faraday obtenemos la fem inducida

Cuando el potencial del generador es constante, el campo magnético es constante en el primario, el flujo a través del secundario es constante, la fem es nula.

Señal de forma triangular

Cuando el potencial del generador crece linealmente (en color rojo), el flujo a través de cada espira del secundario crece linealmente, la fem inducida en el secundario (en color azul) tiene un valor constante negativo (parte izquierda de la figura)

Si el flujo F =at, (02) , a es la pendiente

Cuando el potencial del generador decrece linealmente (en color rojo), la fem en el secundario (en color azul) muestra un valor constante positivo (parte central de la figura)

Si F =a·(P-t), (P/2)

Señal de forma senoidal

Este caso ya lo hemos estudiado en la página precedente, espiras en un campo magnético variable con el tiempo

El campo magnético producido por el primario y por tanto, el flujo a través de cada espira del secundario tiene forma senoidal (en rojo)F =F₀ sen(w t)
La fem en el secundario (en azul) es la derivada cambiada de signo del flujo

Influencia de los distintos parámetros

Influencia de la amplitud

La fem inducida es proporcional a la amplitud A de la señal.

Influencia del número de espiras del secundario

La fem es proporcional al número de espiras N en el secundario.

Efecto de la frecuencia

La frecuencia f no tiene efecto en la señal cuadrada, pero tiene efecto en la señal triangular y senoidal. Al aumentar la frecuencia, disminuye el periodo, y aumenta la pendiente, por lo que la fem es mayor.
En la figura, se compara la fem de una señal triangular de periodo P (en color rojo), y de la misma señal de periodo P/2. La pendiente de la recta se ha duplicado y por tanto, la fem en el secundario (en color azul) se duplica.

En las señales senoidales, al derivar el flujo F =F₀ sen(w t) respecto del tiempo, se obtiene una fem. que es proporcional a la frecuencia angular w.

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viernes, 23 de octubre de 2015

Magnitudes físicas