jueves, 22 de octubre de 2015

Teorías matemáticas

Teoría de cuerpos

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común a/b con numerador a  y denominador b  distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los números reales (\mathbb{R}).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica. 2
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma comorepresentante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre \mathbb{Z}.

Construcción formal

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:
2,5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
Demostración
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:
\begin{matrix} \mathbb{Q} \subset \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\} \\ \mathbb{Q} = \mathrm{IrrFrac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};\ q>0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\} \end{matrix}
Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:
\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}

Clase de equivalencia

Sea el conjunto  H = Z \times Z^* = \{ (a, b) \}  de pares ordenados de números enteros, con la segunda componente distinta de 0.
Diremos que (a,b) R (c,d) s.s.s. ad = bc; en este caso R es una relación de equivalencia en el conjunto H. De tal modo que la relación de equivalencia R determina en H una partición y a cada elemento del conjunto cociente H/R se llama número racional; en este contexto, un número racional es una clase de equivalencia.
Por ejemplo,  [1,2] = \{ (1, 2), (2,4)(3,6)... \}  es la clase de equivalencia del número racional conocido como 1/2 .
Representante canónico se llama al par (a,b)si el m.c.d (a,b)= 1. cualquier otro par se usa en el caso de operaciones. Al sumar 1/2 con 2/3 se les reemplaza respectivamente por 3/6 y 4/6. 3

Aritmética de los números racionales

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

Propiedades algebraicas

Suma

  • Se define la suma \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}
que es
  • Asociativa. (\frac{a}{b}+\frac{c}{d}) +\frac{e}{f} =\frac{a}{b}+(\frac{c}{d} +\frac{e}{f})
  • Conmutativa. \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}
  • Existe el elemento neutro:  \frac{0}{h} tal que \frac{a}{b}+ \frac{0}{h}= \frac{a}{b} para cualquier \frac{a}{b} . Se nombra cero y se denota 0.
  • Elemento opuesto. Para cualquier número racional \frac{a}{b}  existe -\frac{a}{b} , llamado elemento opuesto, tal que \frac{a}{b}+ (-\frac{a}{b})= 0
Diferencia. La ecuación \frac{a}{b}+ x = \frac{c}{d}  tiene como solución x = \frac{c}{d}+(-\frac{a}{b})
La diferencia \frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{c}{d}+(-\frac{a}{b}) .
La operación que a todo par de números racionales, le hace corresponder su diferencia se llama resta y se la considera operación inversa de la suma. 4

Multiplicación

  • Se define la multiplicación \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b\times d}
  • Asociativa
  • Conmutativa
  • Existe elemento neutro representado por \frac{p}{p}= 1 , distinto de 0, tal que \frac{a}{b}\times 1 = \frac{a}{b}
  • Inverso multiplicativo. Para todo número racional q, distinto de 0, existe q-1,llamado inverso multiplicativo tal que  q\times q^{-1} = 1
Se define el cociente de r entre s distinto de 0, al producto r\times s^{-1}  . En otra notación, \frac{a}{b}\div \frac{c}{d}= \frac{a}{b}\times \frac{d}{c}  .
A la operación que a todo par de racionales, divisor distinto de cero, le hace corresponder su cociente, se llama división, que no es una operación totalmente definida; pero se asume que es una operación inversa de la multiplcación que resuelve la ecuación px = s , p\neq 0.
A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se llaman operaciones racionales 5 .

Propiedad distributiva para los números racionales  q_1, q_2, q_3  se cumple  (q_1+ q_2)\times q_3= q_1\times q_3 + q_2\times q_3  6

Capacidad resolutiva

  • En el sistema numérico ℚ se pueden resolver las ecuaciones de primer grado:  p\cdot x = r, p\cdot x+m = r, p\neq 0; .
La ecuación en  x
m\cdot x = p, m\neq 0. ,
m, p ∈ Q posee la única solución en número racional:
x= m^-1\cdot p = \frac{1}{m}\cdot p = p\cdot \frac{1}{m}
. este resultado no siempre es posible en ℤ.7

  • También en ℚ, se puede resolver una ecuación de segundo grado
    ax^2+bx+c = 0
si el discriminante
\Delta = b^2-4ac > 0
y es cuadrado perfecto: hay dos raíces racionales; en el caso de que
\Delta = b^2-4ac = 0
hay una raíz racional doble. 8

Relaciones de equivalencia y orden

  • Se define la equivalencia \frac{a}{b}=\frac{c}{d} cuando  ad = bc \,
  • Los racionales positivos son todos los \frac{a}{b} tales que  ab > 0 \,
  • Los racionales negativos son todos los \frac{a}{b} tales que  ab < 0 \,
  • El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces \frac{a}{b}>\frac{c}{d} cuando  ad - bc > 0

Equivalencias notables

  • Todo número entero  p \,  se puede escribir como fracción \frac{p}{1}
  • \frac{ca}{cb}=\frac{a}{b} con c\neq 0  y b\neq 0
  • \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
  • \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}
  • \frac{0}{a}=0 con a\neq 0
  • \frac{a}{a}=1 con a\neq 0 .

Propiedades

  • El conjunto \Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros \Z.
  • Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
  • La clausura algebraica de \Q, es el conjunto de los números algebraicos.
  • El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre \N y \Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
  • Propiedad arquimediana: el conjunto \Q es denso en \R por construcción misma de \R; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.
  • Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: q = u p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n} donde p_i\in \mathbb{N} son números enteros primos, \alpha_i\in \mathbb{Z} (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y u\in\{1,-1\}. Por ejemplo 260/693= 2^2 3^{-2}5^1 7^{-1}11^{-1}13^1\,.

Escritura decimal

Representación racional de los números decimales

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:
  • Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.
    • Ejemplo: 34,65 = \frac{3465}{100}
  • Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.
    • Ejemplo: 15,3434\dots=\frac{1534-15}{99}
  • Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.
    • Ejemplo: Sea el número 12,345676767\dots entonces a=1234567 \, y b=12345 \,, por lo que la fracción correspondiente será {1234567-12345}\over{99000}, es decir: {1222222}\over{99000}.

Desarrollo decimal de los números racionales

El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:
  • Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
  • Ejemplo:
\frac 8 5 = 1,6
  • Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}
  • Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}
Nota: lo mismo se aplica al desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.
  • Ejemplos:
    • En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2^n*5^p (n y p enteros).
    • En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Propiedades topológicas del conjunto de los números racionales

  • Sea el conjunto H de los números racionales en el intervalo cerrado [0, 1], entonces H no tiene puntos aislados, todo punto de H es punto de acumulación, los restantes punto de ℝ son exteriores a H. Entre los puntos de acumulación de H algunos están en él y otros no. Cada punto de H es un punto frontera, pues su vecindad contiene puntos de H y de su complemento. H no tiene puntos interiores, ninguna vecindad de un elemento de H está contenida en H; no es un conjunto conexo ya que todo [m,n] con elementos m,n de H no es parte de H.9

Propiedades algebraicas

  • ℚ con la adición forma un grupo conmutativo
  • El conjunto  Q^* de los números racionales no nulos, con la multiplicación, forma un grupo multiplicativo abeliano
  • <ℚ, +, *> es un cuerpo conmutativo
  • En ℚ hay dos operaciones asociativas y conmutativas: adición y multiplicación y dos operaciones no conmutativas ni asociativas: la resta y la división, con elementos identidades por la derecha.
  • En ℚ, siempre es posible resolver una ecuación ax = b, donde a \neq 0
  • Históricamente, los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios 10
  • Sea H = {0, 1, -1} con la adición y multiplicación usuales posee la estructura de cuerpo.
  • Sea el conjunto P = {2n / n es un entero}, constituye un grupo múltiplicativo, donde * es el producto usual de números racionales.
  • El conjunto de los números racionales de la forma  \frac{p}{1}  donde p es un número entero, se denomina el conjunto de los números racionales enteros.

Número p-ádico

Sea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|_p=p^{-n} donde p^n  es la mayor potencia de p  que divide a a.
Si |0|_p=0 y para cada número racional a/b , |a/b|_p=|a|_p/|b|_p entonces la función multiplicativa d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p define una métrica sobre \Q.
El espacio métrico \left(\Q,d_p\right) no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos \Q_p. El teorema de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre \Q es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.


Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

Definición de números racionales

Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.
Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.
Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.
Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:
Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.
A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

Propiedades de los números racionales

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:
Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.
ab+cd=ef
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:
(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
ab+cd=cd+ab
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.
ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
ab−ab=0
Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
ab×cd=ef
Esta además aplica con la división
ab÷cd=ef
Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.
ab×cd=cd×ab
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
ab×1=ab 
 ab÷1=ab

Ejemplos de números racionales

Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo
57
Aunque también podría ser expresado de esta manera:
5/7
Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:
3=31
Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:
155=3
También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:
−6=−61
0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:
2499
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)