jueves, 22 de octubre de 2015

Teorías matemáticas

Teoría de cuerpos

números superreales son una extensión de los números reales, introducida por H. Garth Dales y W. Hugh Woodin como generalización de los números hiperreales cuyo interés fundamental aparece en análisis no estándar, teoría de modelos y el estudio de las álgebras de Banach. Algebraicamente constituyen un cuerpo que de hecho es un subcuerpo de los números surreales:
Los superreales de Dales y Woodin se diferencia de los super-reales de David O. Tall, que no son otra cosa que el cuerpo fracciones de las series de potencias formales con coeficientes den los reales dotadas de un orden lexicográfico1

Definición formal

Supóngase que X es un espacio de Tikhonov, también llamado un espacio T3.5, y sea C(X) el álgebra de funciones reales definidas sobre X. Dentro de esta álgebra búsquese un ideal primo P\subset C(X), y búsquese el álgebra cociente A = C(X)/P que por definición es un dominio de integridad y un álgebra sobre los reales que además puede ser considerada un conjunto totalmente ordenado. El cuerpo de fracciones F de esta álgebra A es precisamente el cuerpo de los números superreales, si dicho cuerpo de fracciones contiene estrictamente un conjunto identificable con los números reales \R, de tal manera que F no es isomorfo en orden a \R. Si el ideal P es además un ideal primo y por tanto un ideal maximal, entonces F coincide con el cuerpo de los números hiperreales de A. Robinson. Por lo cual los números hiperrealespueden considerarse un caso particular de números superreales.






polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio mínimo dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

Teoría de cuerpos

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumple f(α) = 0 es un múltiplo de p.

Álgebra lineal

En álgebra lineal, el polinomio mínimo de una matriz n-x-n A sobre un cuerpo F es el polinomio mónico p(x) sobre F de menor grado tal que p(A)=0. Cualquier otro polinomio q con q(A) = 0 es un múltiplo de p.
Los siguientes tres enunciados son equivalentes:
  1. λ∈F es una raíz de p(x),
  2. λ es una raíz del polinomio característico de A,
  3. λ es un valor propio de A.
La multiplicidad de la raíz λ de p(x) es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a λ.
El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz 4I_n, que tiene como polinomio característico (x-4)^n. Sin embargo, el polinomio mínimo es x-4, ya que 4I-4I=0, por lo que son distintos para n\ge 2. El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.
POLINOMIO MÍNIMO


El polinomio característico de una matriz, o de una transformación lineal, es un instrumento para calcular sus valores propios; en esta lección se estudia el polinomio mínimo de matrices y transformaciones lineales, el cual resulta muy útil para establecer criterios sobre la posibilidad de reducir matrices a formas canónicas simples.
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ sobre un cuerpo $K$ y sea $L_{K}(V)$ el álgebra de las transformaciones lineales del espacio $V$. Sea $T\in L_{K}(V)$, se sabe que la dimensión de$L_{K}(V)$ es $n^{2}$ (véase la Lección 2 del Capítulo 3). Entonces existen escalares no todos iguales a cero MATH tales que MATH , es decir, $T$ es raíz del polinomio no nulo MATH Así pues, se puede asegurar que existe al menos un polinomio no nulo $p(x)$ tal que $p(T)=0$. Sea $S$ la MATH de todos los polinomios que son anulados por $T$, en $S$ se puede escoger un polinomio no nulo $q(x)$ que tenga grado mínimo, además se puede suponer que el coeficiente de $q(x)$ correspondiente al término de mayor grado es 1, es decir, que $q(x) $ es mónico. Con estas condiciones para $q(x)$ se puede demostrar que cualquier otro polinomio $p(x)$ de $S$ es múltiplo de $q(x)$. Esto implica que si en $S$ existiera otro polinomio $t(x)$ mónico del mismo grado de $q(x)$, es decir de grado mínimo, entonces $t(x)=q(x)$. Se ha entonces encontrado un polinomio especial asociado a la transformación $T$, dicho polinomio se denotará por $q_{T}(x)$ y se llamará el polinomio mínimo de T .
La discusión anterior la podemos realizar también para cualquier matriz $A$ de tamaño $n\geq 1$, de tal forma que podemos definir el polinomio mínimo de A, el cual denotaremos por $q_{A}(x)$. Como es de esperarse se tiene el siguiente resultado.
Proposición 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión finita $n\geq 1$ y sea $X$ una base cualquiera de $V$. Si $A $ es la matriz de $T$ en la base $X$, entonces$q_{T}(x)=q_{A}(x)$.
Puesto que dos matrices similares representan la misma transformación lineal, entonces se tiene el siguiente corolario.
Corolario 1. Matrices similares tienen el mismo polinomio mínimo.
El siguiente teorema establece una importante relación entre el polinomio característico y el polinomio mínimo.
Teorema 1 (Hamilton - Cayley). Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$ , $p_{T}(x)$ su polinomio característico y $q_{T}(x)$ su polinomio mínimo. Entonces, MATH . También, si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$, entonces $q_{A}(x)\,|\,$ $p_{A}(x).$
Demostración
Las raíces en $K$ del polinomio mínimo y del polinomio característico coinciden.
Proposición 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$ (o también, sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$). Sea $\QTR{bf}{a\in K}$. Entonces,$p_{T}(a)=0$ si y sólo si $q_{T}(a)=0$ (también, $p_{A}(a)=0$ si y sólo si $q_{A}(a)=0$). En particular, si $K$ es un cuerpo algebraicamente cerrado (véase la Lección 2 del capítulo anterior), entonces las raíces del polinomio mínimo y el MATH coinciden.
Demostración
Ejercicio 1. Calcular el polinomio mínimo de las siguientes matrices:
MATH
MATH

















 polinomio primitivo puede referirse a uno de los dos siguientes conceptos:

Propiedades

Como todos los polinomios mínimos son irreducibles, todos los polinomios primitivos también lo son.
Todos los polinomios primitivos tienen un número impar de términos, entre ellos, el término constante. Si un polinomio primitivo no tiene el término constante entonces x (la indeterminada) puede ser sacada como factor común en todos los términos por lo que el polinomio no es irreducible. Si un polinomio primitivo tiene un número par de términos, entonces (x + a) puede ser sacado como factor común.
Un polinomio irreducible de grado m, F(x) sobre GF(p) para un p primo, es primitivo si el entero positivo n más pequeño tal que F(x) divide xn − 1 es n = pm − 1.
Sobre GF(pm) hay exactamente φ(pm − 1)/m polinomios primitivos de grado m, donde φ es función fi de Euler.
Todas las raíces de un polinomio primitivo tienen orden pm − 1.

Usos

Representación de los elementos de un cuerpo

Los polinomios primitivos se usan en la representación de los elementos de un cuerpo finito. Si α ∈ GF(pm) es una raíz de un polinomio primitivo F(x) entonces el orden de α es pm − 1, lo que significa que todos los elementos de GF(pm) pueden ser representados como las sucesivas potencias de α:
\{ 0, 1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{p^m-2} \}
Cuando estos elementos son reducidos módulo F(x) producen una representación en forma de base polinómica de todos los elementos del cuerpo.

Generación de secuencias pseudoaleatorias

Los polinomios primitivos definen una relación de recurrencia que puede ser usada para generar secuencias pseudoaleatorias.
Por ejemplo, dado el polinomio primitivo x10 + x3 + 1, empezamos con una semilla especificada por el usuario (puede ser escogida al azar, pero no es una condición necesaria). Entonces tomamos el 10º, 3º, y el 0º bit, empezando por el menos significativo, y operamos con una puerta XOR todo ellos, obteniendo así un nuevo bit. La semilla se rota hacia la izquierda y el nuevo bit se convierte en el menos significativo de la semilla. Este proceso puede ser repetido hasta generar 210-1 = 1023 bits pseudoaleatorios.
En general, para un polinomio primitivo de grado m, este proceso genera 2m bits pseudoaleatorios antes de repetir la misma secuencia.

Encontrar polinomios primitivos

La clase más útil de polinomios primitivos es la de trinomios primitivos, esos que tienen solamente tres términos distintos a cero, porque son los más simples y resultan los más eficientes generadores de números al azar. Un número de resultados dan técnicas para localizar y testear la primitividad de trinomios. Una prueba simple es la siguiente: para cada r tal que 2r−1 es un primo de Mersenne, un trinomio de grado r es primitivo si y solo si es irreducible. Los algoritmos recientemente inventados porRichard Brent han permitido el descubrimiento de trinomios primitivos de grado muy grande, por ejemplo x6972593 + x3037958 + 1. Esto se puede utilizar para crear un generador de números al azar de períodos enormes 26972593−1,aproximadamente 102098959.







polinomio P(X) es separable sobre un cuerpo K si sus raíces en una clausura algebraica de K son distintas - es decirP(X) tiene factores lineales distintos en una extensión de cuerpo suficientemente grande. Equivalentemente, P es separable si y solo si es coprimo con su derivada P′.
Los polinomios irreducibles sobre un cuerpo perfecto son separables, lo que incluye en particular todos los cuerpos de característica 0, y todos los cuerpos finitos. Este criterio es de vital importancia en la teoría de Galois. En este contexto, el concepto de separabilidad es de menor importancia si P no se supone irreducible, ya que las raíces repetidas pueden simplemente reflejar que P no es libre de cuadrados.
El criterio que nos lleva a sacar conclusiones rápidas sobre si P es irreducible y no separable es que P′(X) = 0. Esto solo es posible en cuerpos de característica p: necesitamos tener P(X) = Q(Xp) donde el número primo p es la característica.
A continuación veremos un ejemplo:
P(X) = Xp − T
con K un cuerpo de funciones racionales en la indeterminada T sobre un cuerpo finito con p elementos. Aquí uno puede probar directamente que P(X) es irreducible y no separable. De hecho, este es el típico ejemplo donde se puede ver la importancia de lainseparabilidad; en términos geométricos P representa la aplicación en la recta proyectiva sobre un cuerpo finito, tomando coordenadas como sus potencias p-esimas. Dichas aplicaciones son fundamentales en la geometría algebraica de cuerpos finitos.
Si L es la extensión de cuerpo K(T1/p) (el cuerpo de descomposición de P) entonces L/K es un ejemplo de extensión de cuerpo inseparable pura. Es de grado p, pero no tiene automorfismos que dejan fija K, a parte de la identidad, ya que T1/p es la única raíz de P. Esto muestra que la teoría de Galois no es aplicable en este entorno.
Se puede ver que el producto tensorial de cuerpos de L consigo mismo sobre K para este ejemplo tiene elementos nilpotentes no nulos. Ésta es otra manifestación de la inseparabilidad: la operación de producto tensorial en cuerpos necesita no producir un anillo que sea producto de cuerpos.
Si P(x) es separable, y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del cuerpo K), entonces P(x) es un polinomio aditivo.










 transformación de Tschirnhaus, desarrollada por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en 1683, es un tipo deasignación de polinomios. Puede definirse convenientemente por medio de la teoría de cuerpos , como la transformación en polinomios mínimos que implica una elección diferente de elemento primitivo . Esta es la transformación más general de un polinomio irreducibleque lleva cada raíz a la aplicación de una cierta función racional sobre esa raíz.
En concreto, sea K un cuerpo, y P (t) un polinomio sobre K. Si P es irreducible, entonces K [t] / (P (t)) = L,
es el anillo cociente del anillo de polinomios K[t] por el ideal principal generado por P, es una extensión del cuerpo K. Tenemos L = K (α)
donde α es t módulo (P). Es decir, α es un elemento primitivo de L. Habrá otras opciones β como elemento primitivo en L: para cualquier opción de este tipo de β tendremos β = F (α), α = G (β),
polinomios con F y G sobre K. De hecho esto se deriva del cociente de la representación anterior. Ahora bien, si Q es el polinomio mínimo de β sobre K, a Q lo llamamos una transformación de Tschirnhaus de P.
Por lo tanto el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus de un polinomio irreducible se describe como todas las formas de cambiar P, pero dejando L invariante. Este concepto se utiliza en la reducción de quínticas a forma de Bring-Jerrard, por ejemplo. Este concepto está relacionado con la teoría de Galois, cuando L es una extensión de Galois de K. En ese caso, el grupo de Galois se describe como todas las transformaciones de Tschirnhaus de P a sí mismo.
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