Apuntes de óptica

óptica geométrica

Eikonal de un sistema óptico

La luz presenta una longitud de onda menor que una micra; cuando se propaga en un medio en el que las curvaturas de sus obstáculos y las distancias en las que propiedades físicas varían significativamente son mucho mayores que esta longitud, las ecuaciones de Maxwell pueden aproximarse a un modelo matemático conocido como Óptica geométrica. En esta página se presenta este modelo. Dadas las ecuaciones de Maxwell para ondas monocromáticas de pulsación w en ausencia de fuentes

ì ï ï í ï ï î Ñ·(eE) = 0 Ñ×E = - jwmH Ñ·(mH) = 0 Ñ×H = jweE

(1)

se desea establecer el comportamiento de su solución cuando 1/k = w/c es muy pequeño respecto a las dimensiones geométricas  del sistema,  las dimensiones típicas de variación de las características del medio y las curvaturas de sus fronteras. Si se escriben las soluciones en la forma

ì ï í ï î E = eexp(jk0S) H = hexp(jk0S)

(2)

donde k₀ = m₀e₀/w y las funciones

e,h,S

(3)

representan campos vectoriales y escalar. Puede asumirse, sin pérdida de generalidad, que S y e son campos reales. Al calcular el rotacional, teniendo en cuenta que k₀ ® ¥, puede aproximarse

ì í î Ñ×E » j k0exp(jk0S) e ×ÑS Ñ×H » j k0exp(jk0S) h ×ÑS

(4)

al utilizar la segunda y cuarta ecuaciones de Maxwell, se tiene

ì ï ï í ï ï î e×ÑS = - wm k0 h h×ÑS = we k0 e

(5)

lo que indica que los vectores e,h,Ñ S forman una terna ortonormal a derechas y que h es un campo real. Premultiplicando vectorialmente (5) por Ñ S se tiene

ì ï í ï î (ÑS)2 e = w2 me k02 e

(6)

ecuación que, si n es el índice de refracción

n2 = me m0e0

(7)

se escribe

(ÑS)2 = n2

(8)

conocida como eikonal¹ que gobierna la óptica geométrica. Esta ecuación determina la evolución de S. 

Evolución de los campos eléctrico y magnético

Para encontrar la evolución de e,h se puede proceder a utilizar las ecuaciones primera y tercera de Maxwell.

ì í î Ñe·E + eÑ·E = 0 Ñm·H + mÑ·H = 0

(9)

y tomar el rotacional de las ecuaciones segunda y cuarta de Maxwell

ì í î Ñ×(Ñ×E) = -jwÑm×H -j wmÑ×H Ñ×(Ñ×H) = +jwÑe×E +j weÑ×E

(10)

tomando la primera ecuación, se tiene

- Ñ(Ñ(lne) ·E)- Ñ2 E = Ñ( lnm) ×(Ñ×E)+ w2 meE

(11)

sustituyendo (2) y seleccionando la parte imaginaria se tiene

jk0 exp(jk0S) { 2(ÑS ·Ñ)e + e Ñ2 S - Ñlnme+2(e ·Ñlnn)} = 0

(12)

que simplificando origina

2(ÑS ·Ñ)e + e Ñ2 S - Ñlnme+2(e ·Ñlnn) = 0

(13)

ecuación que, junto a la correspondiente a la segunda de (10)

2(ÑS ·Ñ)h + h Ñ2 S - Ñlnee+2(h ·Ñlnn) = 0

(14)

determinan la evolución de los vectores eléctrico y magnético a lo largo de las normales a las superficies S = cte. Evidentemente, a lo largo de una normal que no tenga campos en un punto, los campos deben ser idénticamente nulos. Las ecuaciones anteriores, además, indican que la propagación a lo largo de cada una de estas normales es independiente, lo que indica que la onda se propaga según estas normales o rayos.

Se considera el valor medio del vector de Pointing

< P > = c 8 e×h = e 8pn2 c |e|2 ÑS = m 8pn2 c |h|2 ÑS

(15)

cuya divergencia es nula. Si se toma un tubo del campo Ñ S coronado por dos superficies S = s₀,s₁ y se efectúa la integral

ó õ < P > ·ds = 0

(16)

y por tanto

ó õ 1  a1 A2 ds1 = ó õ 2  a2 A2 ds2

(17)

donde si A² representa el campo | e|² entonces a = e/n y si A² representa el campo |h |² entonces a = m/n .

Si las dos superficies son esféricas, entonces

a1 A12 R12 = a2 A22 R22

(18)

que es la conocida ley del inverso del cuadrado. Si se denomina

I = a A2

(19)

se tiene

I = K R2

de modo que pueden enunciarse las leyes fundamentales de la Óptica geométrica

• existe una familia de superficies S = cte que satisfacen la ecuación eikonal (8)
• la energía sigue las curvas normales a dicha familia de superficies

Propiedades de la eikonal: fórmula de Smith-Helmholtz

Son destacables las siguientes características 

• La ecuación eikonal

  |ÑS|2 = n2

  (1)

  necesita, como condición de contorno, una ecuación del tipo

  "x,y,z f(x,y,z) = 0Þ S(x,y,z) = 0

  (2)

• Si r(l) es una normal a la familia de superficies

  S(x,y,z) = a

  (3)

  entonces la integral

  J = ó õ l L  n ds

  (4)

  presenta un valor estacionario en r(l), donde toma el valor

  J = S(r(l))-S(r(L))

• DemostraciónEl problema variacional puede formularse
  

  J = ó õ l L  n   ___________ Ö1 + y¢2 + z¢2   dx

  (5)

  con la solución

  d æ ç ç ç ç è n y¢   ___________ Ö1 + y¢2 + z¢2   ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø dx -   ___________ Ö1 + y¢2 + z¢2   ¶n ¶y = 0

  d æ ç ç ç ç è n z¢   ___________ Ö1 + y¢2 + z¢2   ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø dx -   ___________ Ö1 + y¢2 + z¢2   ¶n ¶z = 0

  Si y(x),z(x) representan una curva normal a la familia S(x,y,z) = a, entonces
  

  d y dx = Sy Sx

  d z dx = Sz Sx

  ecuaciones que introducidas en dan
  

  d æ ç ç ç ç è n Sy   ___________ ÖSx2+Sy2+Sz2   ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø dx -   ___________ ÖSx2+Sy2+Sz2   ¶n ¶y Sx = 0

  d æ ç ç ç ç è n Sz   ___________ ÖSx2+Sy2+Sz2   ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø dx -   ___________ ÖSx2+Sy2+Sz2   ¶n ¶z Sx = 0

  que, teniendo en cuenta 1, se convierte en

  d Sy dx - n ¶n ¶y Sx = 0

  (6)

  d Sz dx - n ¶n ¶z Sx = 0

  efectuando la derivación y multiplicando por S_x queda

  SyxSx+SyySy + SyzSz = n ¶n ¶y

  (7)

  SzxSx+SzySy + SzzSz = n ¶n ¶z

  es decir

  1 2 ¶( Sx2+Sy2+Sz2-n2 ) ¶y = 0

  (8)

  1 2 ¶( Sx2+Sy2+Sz2-n2 ) ¶z = 0

  que se satisface idénticamente si S satisface 1.
• La solución al problema anterior también lo es del siguiente

  J = ó õ l L  ( px + py y¢+ pz z¢)dx

  con la condición

  px2+py2+pz2 = n2

  ya que la solución es

  d py dx = 2n l ¶n ¶y

  d pz dx = 2n l ¶n ¶z

  -1 = -2lpx

  -y¢ = -2 lpy

  -z¢ = -2 lpz

  lo que implica

  1+y¢2+z¢2 = 4n2l2

  y

  d ny¢   _________ Ö1+y¢2+z¢2   dx =   _________ Ö1+y¢2+z¢2   ¶n ¶y

  d nz¢   _________ Ö1+y¢2+z¢2   dx =   _________ Ö1+y¢2+z¢2   ¶n ¶z

  que son las ecuaciones del problema anterior.
• Otro problema variacional que conduce al mismo resultado es el siguiente

  J = ó õ ( px x¢+ py y¢+ pz z¢-H ) ds

  (9)

  donde

  H = 1 2 ( px2+py2+pz2-n2 )

  que conduce a la conocida solución

  x¢ = px

  y¢ = py

  z¢ = pz

  p¢x = nx

  p¢y = ny

  p¢z = nz

• Sea W(x₀,y₀,z₀,x₁,y₁,z₁) el valor de la integral 4 cuando presenta un valor estacionario en una curva que una (x₀,y₀,z₀) con (x₁,y₁,z₁). Puede afirmarse que

  ¶W ¶x1 = x¢1, ¶W ¶y1 = y¢1, ¶W ¶z1 = z¢1, ¶W ¶x0 = -x¢0, ¶W ¶y0 = -y¢0, ¶W ¶z0 = -z¢0

  Sea ahora, en el espacio r₀,r¢₀ (s₀) una curva cerrada G₀ y en el expacio r₁, r¢₁ una formada por su imagen en s₁. Entonces, si
  

  K(r0, r¢0) = W(r0,r1)

  Se tiene

  dK = Kr·dr0 + Kr¢ ·dr¢0 = r¢1 ·dr1 - r¢0 ·dr0

  En la curva G₀

  0 = ó (ç) õ G0  Kr·dr0 + Kr¢ ·dr¢0 = ó (ç) õ G1  r¢1·dr1- ó (ç) õ G0  r¢0·dr0

  con lo que se tiene

  ó (ç) õ G  r¢·dr = ó (ç) õ G0  r¢0·dr0

  Es decir, el área encerrada por G es constante.Cuando se tiene un sistema óptico con simetría de revolución en torno al eje z y un conjunto de rayos que parten con un cierto Dr y una amplitud angular pequeña a entonces, desde un punto en que el recinto sea cuadrado, se tiene
  

  n1 r1 a1 = n2 r2 a2

  conocida como ecuación de Smith-Helmholtz (también conocida como de Lagrange).En general, se puede afirmar
• Sea W(x₀,y₀,z₀,x₁,y₁,z₁) el valor de la integral 4 cuando presenta un valor estacionario en una curva que una (x₀,y₀,z₀) con (x₁,y₁,z₁). Puede afirmarse que

  ¶W ¶x1 = px1, ¶W ¶y1 = py1, ¶W ¶z1 = pz1, ¶W ¶x0 = -px0, ¶W ¶y0 = -py0, ¶W ¶z0 = -pz0

  Sea ahora, en el espacio r₀,p₀ (s₀) una curva cerrada G₀ y en el expacio r₁, p₁ una formada por su imagen en t₁. Entonces, si
  

  K(r0, p0) = W(r0,r1)

  Se tiene

  dK = Kr·dr0 + Kp ·dp0 = p1 ·dr1 - p0 ·dr0

  En la curva G₀

  0 = ó (ç) õ G0  Kr·dr0 + Kp ·dp0 = ó (ç) õ G1  p1·dr1- ó (ç) õ G0  p0·dr0

  con lo que se tiene

  ó (ç) õ G  p ·dr = ó (ç) õ G0  p0 ·dr0

  Es decir, el área encerrada por G es constante.
• Cuando se tiene un cambio brusco de n, la aproximación geométrica deja de ser válida. Debe sustituirse por una superposición con adecuadas condiciones de contorno. Puede sustituirse un cambio brusco por otro gradual con longitudes de cambio mayores que l; en este caso, no existe rayo reflejado.

Partiendo de las leyes de Snell y las fórmulas de Fresnel, se puede desarrollar el trazado con lentes.

Sistemas uniaxiales

Es muy frecuente el diseño de sistemas ópticos en los que el comportamiento de la luz puede aproximarse satisfactoriamente por el modelo de óptica geométrica. Estos sistemas presentan geometrías con curvaturas grandes cuando se comparan con la longitud de onda de la luz. Entre ellos, los sistemas que trabajan con rayos de luz muy paralelos a un eje y presentan simetría de revolución en torno a este eje, reciben el nombre de sistemas uniaxiales.

Uno de los fenómenos que tienen lugar en estos sistemas es la refracción con una superficie esférica de radio R mucho mayor que la longitud de onda de la luz.

Sea la superficie de separación

x2+y2+z2 = R2    Þ     z » (x2+y2)/(2R)

entre un medio incidente i y un medio final t y sea un rayo en el plano zx que forma un ángulo a con z e incide sobre la superficie en un punto de la misma de cota x. En este punto la pendiente a la superficie esférica es aproximadamente

b » tanb = x/R

La ley de Snell dice que

n(a-b) = n¢(a¢-b)

por lo que

a¢ = x (n¢-n)/(n¢R)+ an/n¢

Si se materializa una segunda transición del segundo medio al primero (lente) entonces tras una segunda refracción, se tiene, siendo

x¢ = x+ad

a¢¢ = x¢(n-n¢)/(nR¢) + x (n¢-n)/(nR)+ a

a¢¢ = x (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )+ ad(1+(n-n¢)/(nR¢) )

En una lente delgada

a¢¢ = x (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )+ a

o bien, llamando

-1/f = (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )

se tiene

a¢¢ = -x /f+ a

Matriz de transformación

En general existe una relación lineal entre las coordenadas x,a de un rayo de luz

æ ç è x¢¢ a¢¢ ö ÷ ø = æ ç è 1 0 -1/f 1 ö ÷ ø æ ç è x a ö ÷ ø

o bien

v¢ = M v

Todos los sistemas ópticos uniaxiales definen una matriz M del sistema, que, según la ecuación de Smith-Helmholtz, verifican

|M| = n/n¢