Apuntes de óptica

óptica geométrica

La óptica geométrica, constituye, según se ha visto en la deducción de la eikonal, una aproximación al comportamiento ondulatorio cuando la longitud de onda de la luz es muy pequeña respecto a las dimensiones características del sistema y mientras la solución de esta ecuación exista y su dependencia espacial no varíe significativamente en una longitud de onda.
Sin embargo, la óptica geométrica puede formularse como una disciplina coherente sin necesidad de hacer referencia continua a las ecuaciones de Maxwell. Bajo este punto de vista, el protagonista es el rayo de luz, y el objetivo de esta disciplina es hallar la forma de este rayo en un sistema óptico.
Reflexión y refracción
Las leyes fundamentales que rigen la evolución espacial de un rayo cuando éste atraviesa un cambio brusco de índice de refracción son las de la reflexión y refracción. Si el rayo evoluciona en un medio heterogéneo en el que el índice de refracción cambia suavemente, entonces no existe reflexión y sólo se necesitan las leyes de la refracción.
Cuando un rayo de luz incide en una superficie que separa dos medios de índices de refracción n,n', entonces, en general, el rayo experimenta una reflexión y una refracción, según las cuales el rayo se escinde en otros dos: el reflejado y el refractado. El primero vuelve al medio del rayo incidente y el segundo penetra en el segundo medio. Las intensidades de cada uno pueden deducirse de las ecuaciones de Fresnel y las propiedades geométricas se describen por las leyes que se enuncian a continuación. 
Se llama plano de incidencia al formado por el rayo incidente justo antes de la superficie de separación y la normal u a ésta en el punto de incidencia. Los rayos reflejado y refractado se encuentran en el plano de incidencia. Sean a,a',a'' los ángulos agudos que forman con la normal a la superficie de separación los rayos incidente, refractado y reflejado respectivamente. Entonces

a=a''

n sen a = n' sen a' (ley de Snell)

siendo el rayo reflejado simétrico del incidente respecto a la normal y el rayo reflejado propagándose en el plano de incidencia  por el semiplano que determina el reflejado respecto a la normal.

Prismas
En algunos medios materiales, el índice de refracción varía con la frecuencia, lo que produce unq refracción diferente para cada longitud de onda del espectro. Por ejemplo, puede estudiarse la refracción de un rayo de luz que se propaga según un eje z y se encuentra con dos caras de un prisma, cuyas normales forman un ángulo a,-a con el eje z .
En la primera refracción, el rayo sale con un ángulo b tal que

sen(a-b)=n'/n sen a 

tras la segunda difracción, se tiene

sen(a+g)=n/n' sen (a+b) 

donde queda establecido que la dirección del último rayo depende de n' y, por tanto, de la frecuencia. 

Sistemas paraxiales

En óptica geométrica se consideran sistemas de rayos casi paralelos a un eje z, sobre el que se van disponiendo superficies de revolución de amplios radios de curvatura que separan medios de distintos índices de refracción, en las que se producen refracciones o reflexiones puras (lentes o espejos respectivamente). En estas condiciones, el ángulo que forma un rayo con z, su tangente o su seno se consideran equivalentes. Esta aproximación se conoce como óptica gaussiana y los sistemas reciben el nombre de paraxiales.

Los sistemas de rayos que parten perpendiculares a una superficie permanecen siempre perpendiculares a alguna superficie, lo que constituye el teorema de Malus-Dupin. Además, si a es el ángulo que forma un rayo con el eje z, entonces, a lo largo de todo el sistema óptico, tanto los rayos reflejados como los refractados que origine, verifican que

 n x a = cte

donde x es la distancia al eje z. Esta resultado se conoce como teorema de Smith-Helmholtz.

En la aproximación gaussiana, las superficies de revolución z(x) se aproximan hasta segundo orden, de modo que todas son equivalentes a paraboloides y superficies esféricas de radio R, de forma que

z=a + x²/2R

La normal a la superficie forma con z un ángulo

x/R

Un rayo que incida en una superficie con un ángulo a respecto a z, según la ley de Snell, determina un rayo refractado que forma un ángulo a' con z que verifica

n(a-x/R)=n'(a'-x/R)

a' = n/n' a + x(1-n/n')/R

Si se dispone una segunda superficie tras la que se vuelve al medio inicial, entonces, se tiene    

n(a''-x'/R')=n'(a'-x'/R')

a'' = n'/n a'+ x'(1-n'/n)/R'

x'=x+d a'

a'' =  a+ {x+d (n/n' a + x(1-n/n')/R) }(1-n'/n)/R'

a¢¢ = x (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )+ a(1+(n-n¢)d/(nR¢) )

en una lente delgada puede despreciarse d
 

a¢¢ = x (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )+ a

o bien, llamando

-1/f = (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )

se tiene

a¢¢ = -x /f+ a

Matriz de transformación
En general existe una relación lineal entre las coordenadas x,a de un rayo de luz cuando se toman en dos puntos distintos

æ ç è x¢ a¢ ö ÷ ø = æ ç è A B C D ö ÷ ø æ ç è x a ö ÷ ø

o bien

v¢ = M v

Todos los sistemas ópticos paraaxiales definen una matriz M del sistema, que, según la ecuación de Smith-Helmholtz, verifican

|M| = n/n¢

En el caso de la transformación debida al paso de un cambio de medio, según las ecuaciones vistas anteriormente,

æ ç è x a¢ ö ÷ ø = n/n'  æ ç è 1 0 (1-n/n')/R 1 ö ÷ ø æ ç è x a ö ÷ ø

la propagación del rayo una distancia d produce la matriz

æ ç è x¢ a¢ ö ÷ ø = æ ç è 1 d 0 1 ö ÷ ø æ ç è x a¢ ö ÷ ø

y la última refracción

æ ç è x'' a¢' ö ÷ ø = n'/n  æ ç è 1 0 (1-n'/n)/R' 1 ö ÷ ø æ ç è x' a' ö ÷ ø

lo que origina un resultado final

æ ç è x¢¢ a¢¢ ö ÷ ø = æ ç è 1 0 -1/f 1 ö ÷ ø æ ç è x a ö ÷ ø

donde

-1/f = (n-n¢)/n (1/R¢- 1/R )

El elemento C de la matriz de un sistema se conoce como potencia P del mismo. La distancia focal f es -1/P.
Elementos cardinales
Los planos para los cuales las coordenadas de los rayos se transforman de modo que A=1 y B=0 se denominan planos principales pH,pH' del sistema. Los planos para los que A=C=0 se llaman planos focales pF,pF' del sistema. Las intersecciones de dichos planos con el eje z determinan los puntos principales y focos del mismo H,H',F,F'. La distancia HF es la distancia focal objeto, mientras que la distancia H'F' es la distancia focal imagen o focal del sistema. En una lente delgada H=H' y F,F' son simétricos respecto a H.
Partiendo de la matriz del sistema referida a los planos p,p¢ perpendiculares al eje z, se pueden buscar los planos principales, situándolos por las distancias a de H a p, y a¢ de H¢ a p¢. En efecto, se trata de resolver el sistema

æ ç è 1 a¢ 0 1 ö ÷ ø æ ç è A B C D ö ÷ ø æ ç è 1 a 0 1 ö ÷ ø = æ ç è 1 0 C D ö ÷ ø

que implica

a¢ = 1-A C Ù a = -B + A-1 C D

Dada la matriz del sistema definida para los planos principales, se puede buscar la posición de los focos F,F¢, parametrizando dicha posición por las abscisas focales f,f¢. Llamando k=n/n', se deberá resolver entonces el sistema

æ ç è 1 f¢ 0 1 ö ÷ ø æ ç è 1 0 C k ö ÷ ø æ ç è 1 f 0 1 ö ÷ ø = æ ç è 0 B -k/B 0 ö ÷ ø

lo que implica

f¢ = - 1 C Ùf =- k C

   B=f'/k

Se denomina potencia del sistema óptico a la cantidad P = -1/f. Esta magnitud sólo depende del sistema óptico en sí y no de la posición de los planos utilizados para definir la matriz. Los sistemas en los que P=0, los focos se sitúan en el infinito y se conocen como sistemas afocales.
Trazado de rayos
Según las consideraciones anteriores, se pueden enunciar las siguientes reglas para el trazado de rayos.

1. Los rayos que llegan al plano pH salen a la misma altura (igual x) por el plano pH' . Los que llegan a H, salen por H' con la misma inclinación.
2. Los rayos que pasan por el mismo punto de pF, salen del sistema paralelos entre sí. Los que pasan por F, salen paralelos a z.
3. Los rayos que entran en el sistema paralelos entre sí, son concurrentes en un punto de pF'. Los que son paralelos a z, pasan todos por F'.

Sistemas de formación de imágenes
Cuando se observa un punto A mediante un sistema óptico, de forma que todos los rayos que salgan de A y pasen por el sistema converjan en otro punto B, se dice que B es una imagen real de A. Si todos los rayos que salgan de A y atraviesan el sistema óptico tienen sus prolongaciones concurrentes en un punto B, aunque dichos rayos no pasan por B, entonces se dice que B es una imagen virtual de A. Los rayos que concurren en una imagen real pueden utilizarse para impresionar una película fotográfica situada en dicha imagen. 
En sistemas paraxiales las imágenes de los puntos de un plano p se encuentran en otro plano p'. La matriz de transformación entre ambos planos debe ser de la forma

æ ç è

A 0 C k/A

ö ÷ ø

A partir de los planos focales puede ponerse

æ ç è 1 z¢ 0 1 ö ÷ ø æ ç è 0 f -1/f' 0 ö ÷ ø æ ç è 1 z 0 1 ö ÷ ø = æ ç è A' 0 C k/A' ö ÷ ø

de donde

zz'=ff'

A' = -z'/f' = -f/z

ecuaciones que determinan las posiciones de las imágenes, así como su amplificación, conocido el sistema óptico y la posición del objeto.
Aperturas y diafragmas
El ángulo sólido que define el conjunto de rayos que atraviesa un sistema óptico está siempre limitado por las dimensiones de los elementos del sistema y su posición respecto al objeto. Se denomina diafragma de apertura (AS) al elemento físico que limita el haz de rayos procedente de un punto del eje z. Si AS se encuentra en el espacio del objeto, entonces su imagen recibe el nombre de pupila de salida, siendo la pupila de entrada la propia AS; si se encuentra en el lado de la imagen entonces la pupila de entrada es el círculo correspondiente en el lado del objeto y la pupila de salida coincide con la propia AS. Los rayos que pasan por el centro de AS se denominan rayos centrales.
Además de la apertura, los elementos del sistema óptico pueden limitar el conjunto de puntos cuyos rayos centrales llegan a formar una imagen de dichos puntos. El elemento físico que limita estos puntos se denomina diafragma de campo. Su imagen se denomina ventana o lucarna  de salida, y en el lado del objeto determina la ventana o lucarna de entrada.
Aberraciones

Los sistemas ópticos de formación de imágenes no son perfectos. Su comportamiento es diferente de que idealmente se les puede atribuir. Estas desviaciones reciben el nombre de aberraciones.


Ecuaciones de Maxwell: potenciales
Los fenómenos eléctricos y magnéticos originan el campo electromagnético. Las ecuaciones de Maxwell que rigen su comportamiento en medios lineales e isótropos son

Ñ·E = r e Ñ×E = - ¶B ¶t Ñ·B = 0 Ñ×B = mj + me ¶E ¶t ü ï ï ï ï ï ý ï ï ï ï ï þ

(1)

La tercera ecuación indica que puede definirse un potencial vector A del que derive B, de forma que

B = Ñ×A

(2)

con lo que la segunda ecuación de Maxwell puede escribirse

Ñ× æ ç è E + ¶A ¶t ö ÷ ø = 0

lo que implica la existencia de un potencial escalar f tal que

E = -Ñf- ¶A ¶t

(3)

Nótese que si se considera una función f(x,y,z,t), entonces los potenciales A¢ = A + Ñf,    f¢ = f- ¶f / ¶t también satisfacen las condiciones anteriores. Enseguida se retomará esta indeterminación.
Si se utiliza ahora la cuarta ecuación de Maxwell, se tiene

Ñ×(Ñ×A) = mj -meÑ ¶f ¶t - me ¶2 A ¶t2

es decir

[¯] A = - mj + meÑ ¶f ¶t + Ñ(Ñ·A)

(4)

y para f

Df = - r e + Ñ· ¶A ¶t

(5)

Condiciones de contraste
Dado que los potenciales quedan indeterminados, se pueden imponer condiciones adicionales.

• La condición de contraste de Coulomb

  Ñ·A = 0

  (6)

  hace que el potencial escalar satisfaga

  Df = - r e

  mientras que el potencial vector satisface

  [¯] A = - mj + meÑ ¶f ¶t

• Es posible hacer f¢ = 0, A¢ = A + ò_t0^t Ñfdt en los campos anteriores, es decir, como condición adicional a la de Coulomb (6), cuando r  sea nula, obteniendo la condición de contraste de la radiación. Frecuentemente se denomina de Coulomb o de la radiación indistintamente a esta condición. 
• Si se hace

  meÑ ¶f ¶t + Ñ·A = 0

  (7)

  se tiene la condición de Lorentz que hace que los potenciales verifiquen

  [¯] A = - mj

  (8)

  [¯]f = - r e

  (9)

Según la condición de contraste utilizada, se dice que se trabaja en el gauge de Coulomb, de la radiación o de Lorentz.

Solución de la ecuación de ondas

La solución para la ecuación de ondas, en el gauge de Lorentz y supuestas verificadas condiciones de radiación en el infinito, es 

f(x,y,z,t) =  1 4pe ó õ ó õ ó õ r(x,h,z,t-  r c ) r dt

(10)

A(x,y,z,t) =  m 4p ó õ ó õ ó õ j(x,h,z,t-  r c ) r dt

(11)

donde

r = [(x-x)2 + (y-h)2 + (z-z)2 ]1/2

y la integración se realiza sobre las variablas (x,h,z).
Las ecuaciones 10,11, junto con 2,3 determinan el campo electromagnético en medios homogéneos en función de las fuentes y pueden considerarse una alternativa a las ecuaciones de Maxwell en numerosas ocasiones.
Si se desean calcular los campos, se tiene

E(x,y,z,t) = -Ñf-  ¶A ¶t

E(x,y,z,t) =  1 4pe ó õ ó õ ó õ ì í î  ¶[ r] ¶t  ur c r +  [ r] r2 ur +  ¶[ j ] ¶t  1 c2 r ü ý þ dt

(12)

denotando el corchete que la dependencia temporal está retardada. Para la inducción magnética

B = Ñ×A

B(x,y,z,t) =  m 4p ó õ ó õ ó õ ì í î  ¶[ j ] ¶t ×  ur cr +  [ j ] r2 ×ur ü ý þ dt

(13)

Las ecuaciones 12,13 relacionan directamente los campos con las fuentes y también pueden constituir una alternativa a las ecuaciones de Maxwell en medios homogéneos.

A continuación se deduce la ecuación de ondas satisfecha por los campos E, B sin cargas. De la segunda ecuación de Maxwell

Ñ×(Ñ×E) = -m0e0 ¶2E ¶t2

que teniendo en cuenta la primera ecuación de Maxwell resulta

[¯] E = 0

Igualmente, el campo B satisface la ecuación de ondas

[¯] B = 0

En una zona libre de cargas, según lo anterior, las componentes catesianas de los campos E,B y, en el gauge de Lorentz, de A y la propia función F, satisfacen la ecuación de ondas

[¯] U = 0

(10)

La solución de 10 cuando c es constante, como es bien sabido, es siempre una superposición de funciones viajeras cuya velocidad de propagación es c.
En lo que sigue se supondrá que se trabaja en el gauge de Lorentz.
Descomposición en ondas planas
Frecuentemente el estudio de la propagación de una onda se realiza desglosando ésta en sus componentes monocromáticas.

U(x,y,z,t) = ó õ +¥ -¥  u(x,y,z,w) expiwtdw

y sustituyendo esta expresión en 10, haciendo k² = w²/c², se tiene

ó õ +¥ -¥  (Du + k2 u) expiwtdw = 0

que implica, si se consideran soluciones "t, que cada componente monocromática verifique la ecuación de Helmholtz

Du + k2 u = 0

(11)

El teorema de Green establece que, si f,y son dos campos variables definidos en un recinto V de frontera S, se tiene

ó õ V  (yÑ2 f- fÑ2 y) dv = ó õ S  (yÑf- fÑy)·ds

Se va a proceder a aplicarlo a las funciones u(A),G(P,A) tales que

Ñ2 u + k2 u = -x

G(P,A) = exp (-ik|AP|) 4p|AP|

que verifica que si A no es P, se tiene

ÑA2 G(P,A) + k2 G(P,A) = 0

Dado un punto interior P Î V se puede seleccionar un esfera E(P,e) de radio e y centro P cuya frontera es la superficie esférica S(P,e), de modo que al aplicar la fórmula de Green sobre el recinto V-E(P,e), se tiene

ó õ S(P,e)  (uÑG - G Ñu) ·ds + ó õ S  (uÑG - G Ñu) ·ds =  ó õ V  G(P,A) x dv

cuando se hace tender e a la distancia nula, la primera integral tiende a

ó õ 2p 0  ó õ p 0  u(A) (- uA exp (-ik|AP|) 4p|AP|2 ·(-uA) e2 sen qdqdj = u(P)

con lo que se tiene

u(P) = ó õ S  (G(P,A) Ñu(A) - u(A) ÑA G(P,A))·dS + ó õ V  G(P,A) x dv

(1)

Ondas viajeras

Si se reproduce u(P,t), a partir de sus componentes armónicas (transformada inversa de Fourier), se tiene

u(P,t) = 1 2p ó õ æ è ó õ S  (G(w,P,A) Ñu(w,A) - u(w,A) ÑG(w,P,A)) ·dS + ó õ V  G(w,P,A) x(w,A) dV ö ø exp (i wt) dw

u(P,t) = 1 8p2 ó õ S  ó õ exp (iw(t-s/c)) Ñu(w,A) /s dw·dS -

1 8p2 ó õ S  ó õ u(w,A) exp (iw(t-s/c)) Ñ(1/s) dw·dS +

1 8p2 ó õ S  ó õ iw/c exp (iw(t-s/c)) /s u(w,A) dw·dS +

1 8p2 ó õ V  ó õ exp (iw(t-s/c)) x(w,A)/sdwdV

si s = AP, con lo que se tiene

U(P,t) = 1 4p æ ç è ó õ S  ì í î -[U]Ñ(1/s) + 1 cs é ê ë ¶U ¶t ù ú û Ñs + 1 s [ÑU] ü ý þ ·dS + ó õ V  [x] s dV ö ÷ ø

donde el corchete cuadrado indica un campo retardado.
En un campo definido en todo el espacio, de forma que la contribución de la integral en S se anule, se tiene

U(P,t) = 1 4p ó õ V  [x] s dV

que representa una onda viajera de velocidad c originada por la fuente x. 

Cualquier función u(x,y,z) define una transformada tridimensional de Fourier

V(m,v,w) = ó õ E3  exp (-imx-ivy-iwz) y(x,y,z) dx dy dz

de forma que puede escribirse mediante

u(x,y,z) = 1 8p3 ó õ W3  exp (imx+ivy+iwz) V(m,v,w) dm dv dw

si u satisface la ecuación de Helmholtz

Ñ2 u + k2 u = 0

entonces, dada la biyectividad (matizada) de la transformación de Fourier, se debe verificar que

Ñ2 u + k2 u = - 1 8p3 ó õ W3  (m2+v2+w2 - k2) exp (imx+ivy+iwz) V(m,v,w) dm dv dw = 0

lo que implica que

V(m,v,w) = 0    cuando     (m2+v2+w2 - k2) ¹ 0

y por lo tanto la transformada de Fourier tridimensional sólo toma valores en la superficie esférica

m2+v2+w2 = k2

lo que implica que la función u(x,y,z) se puede descomponer en todo el espacio de forma unívoca en un conjunto de ondas planas cuyo vector de propagación tiene por módulo k.
Existen métodos ópticos (difracción Fraunhofer, plano focal de una lente convergente ancha, etc) para descomponer cada una de las componentes de la función u en funciones de onda de las anteriores. Dado que se trata de una distribución bidimensional, sólo se necesita conocer la distribución de u en una superficie más el sentido de propagación para establecer la descomposición. Suele tomarse un plano z = z₀ como superficie de referencia y obtener la transformada de Fourier de la función y(x,y,z₀), lo que añadido al sentido de propagación (w = k_z > 0 o w = k_z < 0) determina la función en todo el espacio.
Una onda plana U puede escribirse como

U(x,y,z,t) = Re(A exp (iwt-imx-ivy-iwz))

Si se tiene un campo electromagnético, una onda plana verifica

E = Re(e exp (iwt-imx-ivy-iwz))     H = Re(h exp (iwt-imx-ivy-iwz))

entonces las ecuaciones de Maxwell 1 en el vacío y sin fuentes se escriben

Ñ·E = 0 Þ e ·k = 0 Ñ×E = - ¶B ¶t Þ e×k = mwh Ñ·B = 0 Þ h ·k = 0 Ñ×B = me ¶E ¶t Þ h×k = -ewe ü ï ï ï ï ï ý ï ï ï ï ï þ

(12)

que indica el carácter transversal de las ondas electromagnéticas.
Ecuaciones de Fresnel
Cuando una onda plana o atraviesa una frontera plana de separación entre medios de distintas características, experimenta, en general una reflexión o¢¢ y una refracción o¢. En ausencia de fuentes, pueden escribirse las ecuaciones de Maxwell, utilizando los campos D, E, H, B, de la forma

Ñ·D = 0 Ñ×E = - ¶B ¶t Ñ·B = 0 Ñ×H = ¶D ¶t ü ï ï ï ï ï ý ï ï ï ï ï þ

(13)

lo que permite establecer las condiciones de contorno en la frontera z = 0 entre dos medios

Dz+Dz¢¢ = Dz¢    Ù    Bz+Bz¢¢ = Bz¢

Ex+Ex¢¢ = Ex¢    Ù    Ey+Ey¢¢ = Ey¢    Ù    Hx+Hx¢¢ = Hx¢    Ù    Hy+Hy¢¢ = Hy¢

que junto con las relaciones

D = eE     Ù    D¢ = e¢E¢    Ù    D¢¢ = eE¢¢

B = mH     Ù    B¢ = m¢H¢    Ù    B¢¢ = mH¢¢

determinan los campos reflejado y refractado en función del campo incidente
Cuando una onda plana (w>0) se encuentra con un cambio plano de medio (z=0) , entonces puede considerarse que se impone una distribución de las funciones que las componen en el plano frontera que determina V(m,v,0). Entonces, si R,T son los coeficientes de reflexión y refracción, la onda reflejada tendrá componentes de Fourier

V¢¢(m,v,w) = R V(m,v,-w)

y la transmitida

V¢(m,v,w) = T V(m,v,( k2+w2-k¢2)1/2)

lo que equivale a las conocidas leyes geométricas sobre la reflexión y transmisión (Snell) de ondas planas.

qi = qr     ni sen qi = nt sen qt

El cómputo de R,T se suele realizar, atendiendo la linealidad de las ecuaciones anteriores, descomponiendo la onda incidente en una con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia (el que forma la dirección de propagación y la normal al plano frontera) y otra con el campo eléctrico paralelo a dicho plano.
Se puede suponer que la dirección de propagación del rayo es la del vector senqi + cosqk con lo que en el primer caso se tiene

T = 2n cosq ncosq+ n¢cosq¢     Ù    R = ncosq-n¢cosq¢ ncosq+ n¢cosq¢

y en el segundo caso

T = 2n cosq n¢cosq+ n cosq¢     Ù    R = n¢cosq-ncosq¢ n¢cosq+ n cosq¢