Apuntes de óptica

sistema óptico

El sistema óptico más simple que puedes encontrar es el denominado dioptrio. El dioptrio es un concepto básico a la hora de formular los principios básicos de la óptica geométrica.

Se denomina dioptrio al sistema óptico formado por una sola superficie que separa dos medios isótropos y homogéneos con distinto índice de refracción. Puede ser plano o esférico según esta superficie sea plana o en forma esférica.

Si observas cualquier instrumento óptico podrás comprobar que la mayor parte de los sistemas ópticos que lo constituyen son esféricos, por ello resulta de especial interés el estudio del denominado dioptrio esférico que, según la definición dada anteriormente no es sino una superficie esférica que separa dos medios de distinto índice de refracción n₁ y n₂.

En la siguiente imagen se muestra un dioptrio esférico de radio R, en el que C es el centro de curvatura, junto con la construcción correspondiente a un rayo luminoso que parte de un punto A situado en el eje óptico del sistema a una distancia s del vértice del dioptrio indicado como O:

Imagen 9. Elaboración propia

Como verás, este rayo incide en el dioptrio en el punto I, a una altura h del eje óptico. Observa que la imagen se forma en el punto A', donde convergen los rayos, situado a una distancia s' del vértice del dioptrio.

Con esta información, trabajando en la denominada zona paraxial, que es aquella en la que los rayos forman un ángulo con el eje óptico () menor de 10º, de forma que los valores del seno y la tangente coincidan con el valor del ángulo (), es posible calcular la ecuación que rige el comportamiento de los rayos luminosos al atravesar un dioptrio esférico:

Aplicando la Ley de Snell que estudiaste en el tema anterior al rayo incidente:

Al trabajar en zona paraxial, aquí también será posible aproximar el seno del ángulo por su valor, y por lo tanto 

Ahora interesa reducir el número de variables, relacionando los ángulos de incidencia con los ángulos de entrada y salida del rayo. Como la suma de los ángulos de un triángulo en geometría plana deben sumar dos rectos:

• En el caso del ángulo de incidencia , si observas el triángulo APC: 
• En el caso del ángulo de incidencia , si observas el triángulo CPA': 

Sustituyendo estos valores en la Ley de Snell antes calculada:

Los valores de estos ángulos pueden calcularse: Si observas la imagen, para los triángulos APH, CPH y A'PH, si se trabaja en zona paraxial se cumple:

Donde se ha tenido en cuenta que, según el convenio de signos introducido en el punto 1.1 el valor de s se mide a partir del vértice óptico y, por lo tanto, es negativo. Sustituyendo estos valores en la expresión anterior:

Dividiendo por ambos términos, llegamos al conocido como invariante de Abbe , que reagrupado da lugar a una de las ecuaciones más importantes de la óptica geométrica:

Ecuación del dioptrio esférico

Para todo rayo luminoso en el que pueda aplicarse la aproximación paraxial:

Distancia focal en un dioptrio esférico

Como se ha visto, a la hora de estudiar cómo se forman las imágenes en un sistema óptico hay dos puntos fundamentales, los denominados focos del sistema.

Con la ecuación general del dioptrio esférico antes calculada resulta sencillo encontrar tanto el foco objeto como el foco imagen del sistema:

1) Foco objeto (F)

Como viste, es el punto para el que los rayos que por él pasan salen paralelos tras atravesar el dioptrio. En esta situación nunca llegan a cortar el eje óptico, y por tanto . Por lo tanto, la distancia a la que se encuentra el foco F es:

 

Fíjate que la distancia focal objeto es negativa, ya que el foco objeto se encuentra a la izquierda del eje óptico.

Imagen 13. Dfbls GNU Free License

2) Foco imagen (F')

En este caso es el punto en el que se cortan todos los rayos que entran paralelos al dioptrio. En esta situación los rayos incidentes nunca llegan a cortar el eje óptico, y por tanto , siendo el signo negativo de nuevo por el convenio de signos tomado. Por lo tanto, la distancia a la que se encuentra el foco F' es:

Fíjate que la distancia focal imagen es positiva, ya que el foco imagen se encuentra a la derecha del eje óptico.

Con estas dos ecuaciones es posible relacionar de una forma sencilla las distancias focales en función de los índices de refracción de los medios:

Por último un resultado de especial interés es aquel que relaciona las distancias focales con las distancias objeto e imagen, en lo que se conoce como fórmula de Gauss. Esta se obtiene a partir de la ecuación del dioptrio esférico, dividiendo toda la expresión por el segundo término:

Y aplicando la expresión anteriormente calculada para los puntos focales objeto e imagen se obtiene:

Fórmula de Gauss

Relaciona las distancias focales con las distancias objeto e imagen

Dioptrio plano

Una superficie plana no es sino una superficie curva con radio de curvatura infinito. Sabiendo esto no resulta complicado encontrar las ecuaciones correspondientes a un dioptrio plano. Bastará con tomar el valor R =  en las ecuaciones del dioptrio esférico.

Imagen 15. Dbfls GNU Free License

La ecuación fundamental del dioptrio esférico para un dioptrio plano toma la forma:

Y por lo tanto la posición de la imagen respecto al objeto vendrá dada por la expresión:

Otra característica del dioptrio plano es que carece de focos (de hecho se encuentran en el infinito), tal y como puedes comprobar si sustituyes por infinito el radio en las expresiones antes calculadas.

El comportamiento del dioptrio plano ya era conocido por nuestros antepasados, pues la superficie de separación entre el agua y el aire puede considerarse como tal. A la hora de pescar mediante arpón en los ríos y lagos la posición aparente de los peces no es la real debido a los diferentes índices de refracción de agua y aire, por lo que necesitaban corregir su lanzamiento. Esto se debe a la desviación de los rayos luminosos tras el paso por el dioptrio plano, tal y como se muestra en la imagen.

Construcción de imágenes

Imagen 18. Elaboración propia

Si en vez de trabajar con un rayo de luz generalizamos a la imagen de un objeto dado que se encuentre situado perpendicularmente al eje óptico, tras el paso por un dioptrio el tamaño del mismo puede verse afectado.

Si la altura del objeto es siguiendo el convenio dado, su imagen tendrá una altura igual a , y la relación entre ambas () se denomina aumento lateral y se representa por la letra griega beta ().

Es posible calcular el aumento lateral de un dioptrio sin más que estudiar geométricamente la construcción de la imagen:

Si trabajamos en zona paraxial, encontramos que: 

Por otra parte al tratarse de un problema de refracción rige la ley de Snell:

El aumento lateral (β) de un sistema óptico se define como la relación entre el tamaño de la imagen y del objeto:

Para el caso particular de un dioptrio esférico, el valor del aumento lateral resulta ser