Apuntes de óptica

el invariante de abbe

Ecuación fundamental del dioptrio

Tenemos un casquete esférico de radio r = BC y vértice O que separa dos medios de índices de refracción n e n', siendo n' > n
Un punto luminoso A situado sobre el eje óptico emite un rayo AP hacia el dioptrio. Este rayo forma un ángulo a con el eje y se refracta siguiendo el camino PA' formando un ángulo a' con el eje óptico. Como n' > n el rayo refractado se aproxima a la normal y a ' < a

El rayo AO coincide con la normal, es perpendicular al dioptrio y no se desvía al incidir sobre él. Este rayo corta al rayo PA' en el punto A'. Este punto A' es la imagen de A.

Los rayos son paraxiales, y están muy próximos al eje óptico de manera que OB es una distancia casi cero y PB es muy pequeña. Estas distancias son despreciables si se comparan con s, s' y con r. En esta zona paraxial los senos de los ángulos y las tangentes coinciden pudiendo sustituirse por los valores de los propios ángulos expresados en radianes.

Aplicando la ley de Snell para la refracción:

n sen e = n' sen e'

n · e = n'· e'

Expresando los ángulos en valor absoluto en el triángulo PCA' podemos deducir que:

 |a' |+ |e '| + |p '| =180 º (suma de los ángulos internos de un triángulo)

|b'| +| p '| = 180 º 

Igualando las expresiones anteriores:   |a'| + |e '| = |b'|

 Aplicando criterios DIN y como los tres ángulos son positivos:

a' + e' = b'    y en consecuencia   e' = b' -a' 

En el triángulo APC podemos deducir que:

 |a| + |p| + |b'| =180º

|e| + |p| =180º

Igualando las expresiones anteriores:    |a| + |b'| = |e |

 Aplicando criterios DIN y siendo:   - a + b' = e

 Aplicando la ley de Snell:   n · e = n'· e'

n (- a+ b' )= n'(b' -a' )

En la figura podemos establecer las relaciones siguientes:

tg a = h /s = a     tg b'= h/r= b'     tg a'= h/s' = a'

Substituyendo en la Ley de Snell:

Esta expresión se llama Invariante de Abbe (en honor de Emst Abbe). El valor de la expresión es igual tanto si se escribe en el espacio objeto como si se hace en el espacio imagen.

Esta es la ecuación fundamental del dioptrio esférico.
Permite conocer la posición de la imagen si previamente conocemos la posición del objeto y las características del dioptrio. Solamente es válida para los rayos paraxiales.
Todos los rayos que salen de A son paraxiales (se separan poco del eje principal) y convegen en el punto A'.
El sistema óptico que cumple esta condición recibe el nombre de estigmático.

Dioptrios esféricos. Invariante de Abbe.

Dioptrios esféricos. Invariante de Abbe Se dice que un dioptrio es esférico si la superficie de separación de dos medios de distintos índices de refracción, n y n’, es esférica.  En la imagen adjunta se muestra un dioptrio esférico de radio OC=R.  En la figura un rayo emitido por A forma un ángulo de incidencia i con la normal al dioptrio esférico, que pasa por el centro C de curvatura, en el punto de incidencia, se refracta y dicho rayo pasa por A'.  El rayo que tiene la dirección del eje óptico, AO, no se desvía. La imagen A' de A está en el punto de intersección de los dos rayos. Para hallar el invariante de Abbe es conveniente determinar los signos de las magnitudes que intervienen en la deducción. Aplicando los criterios de signos se tendrá que: porque al hacer coincidir el rayo con la normal se hace girar el rayo en el sentido de las agujas del reloj.                  porque al hacer coincidir el radio y el rayo refractado con el eje óptico hay que girarlos en el sentido de giro                        contrario al de las agujas del reloj. s’>0, R>0                    porque estas distancias se miden desde el centro óptico hacia la derecha y s<0 br="" distancia="" esta="" nbsp="" porque="" se="">                                       mide desde el centro óptico hacia la izquierda. Aplicando la ley de la refracción o ley de Snell:              n sen i = n' sen i'                             (1) Para ángulos pequeños   sen i=i  , sen i' = i' ; por lo tanto               n · i = n' · i'                                  (2)  Esta ecuación fue deducida por primera vez por el físico alemán Ernst Abbe (1840-1905), y recibe el nombre de invariante porque presenta la misma forma en ambos miembros. Esta ecuación es muy importante en la óptica geométrica, porque permite deducir a partir de ella las ecuaciones de los espejos planos, de los espejos esféricos, dioptrios planos, lentes delgadas o gruesas, sean convergentes o divergentes, sistemas de dos o más lentes. Ha de tenerse en cuenta que sólo es válida en óptica paraxial en la que los ángulos que forman los rayos con el eje óptico o con la normal a la superficie de refringencia son tales que el seno o la tangente de los mismos coinciden con los ángulos expresados en radianes en alguna o algunas cifras significativas. Aplicación 1 Se tiene una varilla de vidrio convexa de radio R=+2 cm  e índice de refracción n'=1,50 rodeada por aire. Se pone un objeto a 6 cm a la izquierda del vértice de la varilla. ¿Dónde estará la primera imagen formada?. Solución: el aire tiene por índice de refracción n=1 . La distancia  objeto es s= -6 cm y R= +2 cm.               La imagen está en la varilla a 18 cm a la derecha de la superficie convexa si es suficientemente larga . Aplicación 2             Supón que la varilla anterior fuera cóncava del mismo radio. ¿Dónde estaría la imagen?.              Esta imagen sería virtual. Si se hiciera un seguimiento de la marcha de los rayos, éstos divergerían en el dioptrio cóncavo, confluyendo sus prolongaciones a 3,6 cm a la izquierda del centro óptico. Esta imagen sería el objeto para el siguiente dioptrio.    Dioptrios esféricos. Distancias focales f y f' Se dice que un punto en el eje óptico es el foco objeto si su imagen está en el infinito. Los rayos salen paralelos al eje óptico después de refractarse en el dioptrio. El plano perpendicular al eje óptico que pasa por el foco es el plano focal objeto. Los rayos emitidos por cualquier punto del plano focal objeto diferente al foco objeto, saldrán paralelos y oblícuos al eje óptico.           Se simboliza f a la distancia focal objeto.       Aplicando la definición          Llevando estos valores al invariante de Abbe, se tiene:                       Se dice que un punto F' en el eje óptico es el foco imagen  si es la imagen de un objeto situado a una distancia de menos infinito.           Para un objeto situado en el foco los rayos que incidan sobre el dioptrio serán paralelos . Por lo tanto una serie de rayos paralelos al eje óptico se cortarán en el foco imagen y una serie de rayos paralelos que incidan sobre el dioptrio y oblícuos a l eje óptico, se cortarán en un punto del plano focal imagen.            Aplicando la definición            Llevando estos valores al invariante de Abbe, se tiene:             Los conceptos de foco objeto y foco imagen pueden servir ahora para trazar la marcha de rayos a través de un dioptrio ahora y más adelante para trazar la marcha de rayos en un espejo, una lente o sistemas de dichos elementos. Aumento lateral de un dioptrio En la figura un rayo que sale del extremo del objeto de altura "y" incide en el dioptrio esférico , formando el rayo incidente con el eje óptico un ángulo e, se refracta en el dioptrio y forma una imagen de altura y'. Por la ley de Snell en óptica paraxial se cumple: