sábado, 9 de abril de 2016

Apuntes de óptica

Difracción

 Teoría escalar
 Introducción a la Teoría Escalar de la Difracción
Sommerfeld definió la difracción como la propagación no rectilínea de la luz que no se puede interpretar a partir de las leyes de la reflexión y de la refracción. Grimaldi, en el siglo XVII, fue el primero que observó fenómenos difractivos: al hacer pasar un haz de luz a través de una abertura practicada sobre una pantalla observó que, al proyectar el haz sobre otra pantalla, el paso de la zona iluminada a la zona de sombra no era abrupto (como indica la propagación rectilínea). Años después, Fresnel realizó el primer intento serio de explicar los fenómenos de difracción (1818), basándose en unas modificaciones arbitrarias del principio de Huygens. En 1882, Kirchhoff propuso la explicación de los fenómenos de difracción en términos de la teoría escalar. Su teoría tiene inconvenientes formales de orden matemático que fueron solucionados por Sommerfeld en 1894, introduciendo algunas modificaciones en la teoría anterior.
La teoría escalar es suficientemente rigurosa para explicar la mayor parte de los resultados experimentales macroscópicos. Pese a que se trata de una simplificación que no tiene en cuenta el carácter vectorial de los campos electromagnéticos, la teoría escalar funciona con éxito cuando las aberturas son más grandes que la longitud de onda de la luz y cuando las distancias de observación son suficientemente grandes. En estas condiciones, la polarización del campo electromagnético no es una información relevante y, por lo tanto, se puede prescindir del formalismo vectorial.
4.1.2 Ondas escalares. El teorema de Green
Una onda escalar perfectamente monocromática $U(\vec{r},t)= U(\vec{r}) e^{-iwt}$ que se propaga en el vacío, verifica la ecuación de ondas:
\begin{displaymath} \Delta U(\vec{r},t) = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 U(\vec{r},t)}{\partial t} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.1)
En consecuencia, la amplitud compleja (parte espacial) $U(\vec{r})$ verifica la ecuación de Helmholtz:
\begin{displaymath} \Delta U(\vec{r}) = -k^2 U(\vec{r}) \vspace{5mm} \end{displaymath},(4.2)
donde r  es el vector de posición, $k$ es el número de onda, $w = 2 \pi \nu$, y $k = 2 \pi/\lambda$.
La formulación de la teoría escalar de la difracción se basa en el uso del teorema de Green: Sean $U({\vec r})$ y $G({\vec r})$dos funciones que toman valores complejos, continuas y con primera y segunda derivadas continuas en el interior de un recinto $V$ cerrado por la superficie $S$. En estas condiciones se verifica:
\begin{displaymath} \int_V \left [ G \Delta U - U \Delta G \right ] dv = \int_S ... ...n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.3)
Figura 4.1: Teorema de Green. Geometría
\includegraphics[width=10cm]{patata.eps}
En el problema que abordaremos, $U$ será la parte espacial de la ecuación de ondas, y $G$, una función auxiliar denominada función de Green. La elección de ésta, solamente está condicionada por el propio teorema de Green; no obstante, es necesario escogerla de forma que el problema se pueda abordar con el mínimo de complicaciones matemáticas posible. La notación $\frac{\partial }{\partial n}$hace referencia a la derivada de $G$o$U$ según la dirección normal de la superficie$S$. A partir de ahora, no se tendrá en cuenta la parte temporal de la onda. Sea$P \in V$, el punto donde haremos la observación del campo. Definimos una posible función de Green como
\begin{displaymath} G = \frac{e^{ikr}}{r} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.4)
En el punto $P$ ($r=0$) esta función no está definida. Para evitar la discontinuidad en $r=0$, se excluye el punto $P$ del recinto $V$ definiendo una superficie esférica $S_\epsilon$ alrededor de $P$ con un radio $\epsilon$ infinitesimal. Así, la nueva superficie de integración $S'$ será $S' =S+S_\epsilon$ y el nuevo volumen $V'$, $V'=V-V_\epsilon$; $V_\epsilon$ es el volumen definido por $S_\epsilon$. La función $G$ es una onda esférica de amplitud unidad y, por lo tanto, verifica también la ecuación de Helmholtz: $\Delta G(\vec{r}) = -k^2 G(\vec{r})$. Aplicando el teorema de Green al nuevo recinto de integración V' obtenemos
\begin{displaymath} \int_{V'} \left [ G \Delta U - U \Delta G \right ] dv = - \int_{V'}\left [ k^2 G U - k^2 U G \right ] dv = 0 \vspace{5mm} \end{displaymath};(4.5)
entoces
\begin{displaymath} \int_{S'} \left [ G \frac{\partial U}{\partial n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds =0 \vspace{5mm} \end{displaymath},(4.6)
y como $S' =S+S_\epsilon$, tenemos que 
\begin{displaymath} -\int_{S_\epsilon} \left [ G \frac{\partial U}{\partial n} -... ...l U}{\partial n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \end{displaymath}.(4.7)
4.1.3 Teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff
La evaluación de la integral definida sobre $S_\epsilon$ es sencilla. Se trata de calcular el límite siguiente,
\begin{displaymath} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{S_\epsilon} \left [ G \... ... n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.8)
Al ser $S_\epsilon$ es una superficie esférica, las derivadas normales de la ecuación anterior pasan a ser derivadas en la dirección radial $\epsilon$. La derivada normal en la superficie $S_\epsilon$ apunta hacia $P$ y, por lo tanto, $\frac{\partial }{\partial n}= - \frac{\partial }{\partial \epsilon}$. Puesto que la función $G$ sobre la superficie $S_\epsilon$ se puede escribir como $exp(ik\epsilon)/\epsilon$, la derivada es
\begin{displaymath} \frac{\partial G}{\partial n} = \left[ \frac{1}{\epsilon} - ik\right]\frac{e^{ik\epsilon}}{\epsilon} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.9)
El diferencial de superficie es $ds = \epsilon^2 d\Omega$, donde $d\Omega$es el diferencial de ángulo sólido. Substituyendo en la integral,
\begin{displaymath} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{S_\epsilon} \left [ G \f... ...k\epsilon}}{\epsilon} \right ] \epsilon^2 d\Omega \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.10)
Las funciones y las derivadas presentes en la integral están acotadas y, por lo tanto, de los tres términos contenidos en ella, únicamente el segundo será diferente de cero. Considerando, además, la continuidad de $U$,
\begin{displaymath} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} - \int_{S_\epsilon} U \frac{1}... ...= - U(P) \int_{S_\epsilon} d\Omega = - 4 \pi U(P) \vspace{5mm} \end{displaymath};(4.11)
la ecuación 4.7 se escribirá
\begin{displaymath} U(P) = \frac{1}{4 \pi} \int_S \left [ G \frac{\partial U}{\p... ...ial n} \left [\frac{e^{ikr}}{r}\right] \right] ds \vspace{5mm} \end{displaymath},(4.12)
resultado que se conoce como el teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff.
4.1.4 Aplicación del teorema de Helmholtz-Kirchhoff a la difracción
En esta sección, se aplica el teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff al problema de la difracción de una onda escalar a través de una abertura contenida en una superficie plana. Consideramos la superficie $S$ que rodea el punto de observación $P$. La tomaremos subdividida en dos secciones $S=S_1 + S_2$: $S_1$ corresponde al plano que contiene la abertura $\Sigma$ y $S_2$ es superficie esférica centrada en $P$ y de radio suficientemente grande. Lo primero que debe hacerse es evaluar la integral 4.12 en la superficie $S_2$. Al estar trabajando con iluminación monocromática, y por lo tanto, de longitud de coherencia infinita, una vez la onda se haya propagado a velocidad $c$ hasta $S_2$, la contribución de la integral sobre $S_2$ puede no ser despreciable. Para aclarar este aspecto, calculamos el límite siguiente,
\begin{displaymath} U(P) = \lim_{R\rightarrow \infty} \frac{1}{4 \pi} \int_{S_2}... ... n} - U \frac{\partial G}{\partial n} \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}(4.13)
La derivada en la dirección normal (radial) de $G$ sobre $S_2$ vale
\begin{displaymath} \frac{\partial G}{\partial n} = \left[ \frac{1}{R} - ik\right]\frac{e^{ikr}}{r} \approx ikG \vspace{5mm} \end{displaymath}(4.14)
si $r \gg \lambda$. Por lo tanto, la integral anterior vale
\begin{displaymath} U(P) = \lim_{r \rightarrow \infty} \frac{1}{4 \pi} \int_{S_2... ...artial U}{\partial n} - ikU \right ] r^2 d\Omega \vspace{5mm} \end{displaymath},(4.15)
donde $ds = r^2 d\Omega$. Esta integral tiende a cero si se verifica
\begin{displaymath} \lim_{r \rightarrow \infty} \left [ \frac{\partial U}{\partial n} - ikU \right ] = 0 \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.16)
Esta condición es cierta si $U$ es una onda esférica ($U=A e ^{ikr}/r$). Dado que una onda cualquiera puede ser expresada en términos de una combinación lineal de ondas esféricas, en la práctica, este resultado se verifica siempre. Por lo tanto, la contribución a $U(P)$de la integral sobre $S_2$ puede ser despreciada.
4.1.4.1 Condiciones de contorno de Kirchhoff
Evaluemos ahora la integral sobre $S_1$. Para ello, Kirchhoff impuso las siguientes condiciones para poder realizar el cálculo:
  1. El campo $U$ y su derivada normal toman los mismos valores en la abertura $\Sigma$, en presencia o no de la superficie $S_1$.
  2. Sobre la superficie $S_1$ y fuera de $\Sigma$, $U$ y su derivada normal valen cero. Esta condición permite realizar la integral extendida sólo a la geometría de $\Sigma$.
Figura 4.2: Geometría. Fórmula de Fresnel-Kirchhoff
\includegraphics[width=12cm]{kirchhoff.eps}
4.1.4.2 Fórmula de Fresnel-Kirchhoff
Para acabar, consideremos ahora la forma en que se ilumina la abertura. Concentrémonos en el caso en que la abertura está iluminada por una onda esférica que proviene de un punto $P_2$: $A \frac{e^{ikR}}{R}$. Las derivadas normales a $\Sigma$de $G$ y $U$ valen
\begin{displaymath} \frac{\partial G}{\partial n} = \cos(\vec{n},\vec{r})(ik - \... ...} \approx ikG \cos(\vec{n},\vec{r}) \qquad \qquad \vspace{5mm} \end{displaymath}(4.17)
\begin{displaymath} \frac{\partial U}{\partial n} \approx ikU \cos(\vec{n},\vec{R}) \vspace{5mm} \end{displaymath},(4.18)
donde $\cos(\vec{n},\vec{r})$ y $\cos(\vec{n},\vec{R})$ son los cosenos de los ángulos formados por el vector normal a $\Sigma$ y los vectores posición $\vec{r}$ y $\vec{R}$ respectivamente. Por lo tanto la integral de difracción en este caso es
\begin{displaymath} U(P) = \frac{A}{2i \lambda} \int_{\Sigma} \frac{\exp(ik(r+R)... ...{n},\vec{r}) - \cos(\vec{n},\vec{R}) \right ] ds \vspace{5mm} \end{displaymath}(4.19)
conocida como la Fórmula de Fresnel-Kirchhoff. Esta fórmula nos da la expresión del campo escalar difractado a través de una abertura cualquiera iluminada por una onda esférica. Esta fórmula es simétrica respecto la fuente o el punto de observación (teorema de reciprocidad).
4.1.4.3 Consideraciones finales sobre la Fórmula de Fresnel-Kirchhoff

  1. Si la abertura es pequeña frente a las distancias $R$ y $r$, los factores $\cos(\vec{n},\vec{r})$ y $\cos(\vec{n},\vec{R})$ son prácticamente constantes. Se denomina factor de oblicuidad a la semidiferencia$(cos(\vec{n},\vec{r}) - \cos(\vec{n},\vec{R}))/2$
  2. Si la onda que ilumina la abertura no es esférica, es posible describir cualquier campo en términos de ondas esféricas, pudiéndose aplicar la fórmula deducida.
  3. Para ángulos pequeños (ie., distancias axiales mucho mayores que las dimensiones de la abertura), el factor de oblicuidad se hace próximo a la unidad, ya que $cos(\vec{n},\vec{r})\approx 1$ y $\cos(\vec{n},\vec{R}) \approx -1$.
  4. La expresión 4.19 se ha deducido utilizando una onda esférica $\frac{A\exp(ikR)}{R}$ para iluminar la abertura. Si la fuente de luz está en el infinito, la abertura se ilumina con una onda plana:
    \begin{displaymath} U(P) = \frac{1}{2i \lambda} \int_{\Sigma} A \frac{\exp(ikr))}{r} ds \vspace{5mm} \end{displaymath}(4.20)
  5. Si el sistema se ilumina con una onda cualquiera, cuya amplitud compleja en el plano de la abertura $\Sigma$ es $U(\Sigma)$, la expresión puede generalizarse a
    \begin{displaymath} U(P) = \frac{1}{2i \lambda} \int_{\Sigma} U(\Sigma) \frac{\exp(ikr))}{r} ds \vspace{5mm} \end{displaymath}



    Aproximaciones de la Teoria Escalar
    Fórmula de exacta
    Figura 4.3: Difracción de Fresnel
    \includegraphics[width=\textwidth]{difresnel.eps}
    A partir de ahora fijaremos unos ejes coordenados $(x_0,y_0)$ en la pantalla que contiene la abertura. El eje $z$ es el eje normal al plano de la abertura, que consideraremos en $z=0$. Los puntos del plano normal al eje $z$ que contiene el punto de observación $P$ tendrán coordenadas $(x,y,z)$. La distancia de observación $z$ será mucho mayor que las distancias transversales involucradas y, por lo tanto, podemos considerar que el factor de oblicuidad es cercano a la unidad. Escribiendo la fórmula de Fresnel-Kirchhoff en coordenadas cartesianas tenemos
    $\displaystyle U(P)$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{1}{i \lambda} \int_\Sigma U(\Sigma) \frac{\exp(ikr)}{r} \approx$(4.22)
     $\textstyle \approx$$\displaystyle \frac{1}{i\lambda} \int_\Sigma U(x_0,y_0,0) \frac{\exp(ik\sqrt{((... ...)^2+(y-y_0)^2+z^2})}{\sqrt{((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+z^2})} dx_0 \;dy_0 \vspace{5mm}$.

    4.2.2 Difracción de Fresnel
    La distancia entre un punto de la abertura $(x_0,y_0,0)$ y el punto de observación P $(x,y,z)$ es
    \begin{displaymath} r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+z^2} = z \sqrt{1 + \frac{(x-x_0)^2}{z^2} + \frac{(y-y_0)^2}{z^2}} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.23)
    Si se verifica que $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \ll z^2$, se puede aproximar $r$ por $z$ en el denominador. Sin embargo, el término de la exponencial compleja presente en la integral varía muy rápidamente (debido al factor $2\pi / \lambda$), y por lo tanto, un pequeño error en la evaluación de $r$, puede suponer un error muy grande en la estimación del ángulo. Para simplificar correctamente la expresión del interior de la integral de difracción, desarrollamos $r$ en serie de Taylor,
    \begin{displaymath} r= z \sqrt{1 + \frac{(x-x_0)^2}{z^2} + \frac{(y-y_0)^2}{z^2... ...x_0)^2}{2z^2} + \frac{(y-y_0)^2}{2z^2} \right ] \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.24)
    Esto equivale a aproximar una superficie esférica por una superficie parabólica. La fórmula de difracción toma ahora la forma siguiente (fórmula de difracción de Fresnel):
    \begin{displaymath} U(x,y,z)=\frac{\exp(ikz)}{i \lambda z} \int_\Sigma U(x_0,y_... ...frac{ik}{2z}((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)) dx_0 \;dy_0 \vspace{5mm} \end{displaymath} .(4.25)
    Los límites de integración corresponden a abertura $\Sigma$. Puesto que el campo eléctrico es cero a fuera de la abertura, podemos extender los límites de integración de $-\infty$ a $+\infty$, haciendo que
    \begin{displaymath} \psi(x,y)=U(x,y,0)G(x,y) \;\textrm{,} \vspace{5mm} \end{displaymath}(4.26)
    donde $G(x,y)$ es la función que describe la geometría de $\Sigma$.
    4.2.3 Difracción de Fraunhofer
    Tomemos la fórmula de difracción de Fresnel:
    \begin{displaymath} U(x,y,z)=\frac{\exp(ikz)}{i \lambda z} \int_{-\infty}^\inft... ...frac{ik}{2z}((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)) dx_0 \;dy_0 \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.27)
    desarrollando los binomios $((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$,
    $\displaystyle U(x,y,z)$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \exp(\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)) \int_{-\... ..._0) e^{\frac{ik}{2z}(x_0^2+y_0^2)} e^{-\frac{ik}{z}(xx_0 + yy_0)} dx_0 \;dy_0 =$(4.28)
     $\textstyle =$$\displaystyle \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \exp(\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)) \int_{-\... ...^2)} e^{ -2 \pi y(\frac{x}{\lambda z}x_0 + \frac{i}{\lambda z}y_0)} dx_0 \;dy_0$.

    Cuando la distancia de observación $z$ es muy grande, la exponencial $\exp(\frac{ik}{2z}(x_0^2+y_0^2))$ en el interior de la integral tiende a la unidad. Es necesario tener en cuenta que las dimensiones de la abertura $\Sigma$ serán pequeñas en comparación con $z$, aunque esto no es necesario que se verifique en el plano de observación. Por esta razón el término exponencial cuadrático de fuera de la integral no desaparece. Cuando se verifican estas condiciones, decimos que trabajamos en condiciones de difracción de Fraunhofer. La integral de difracción se escribe ahora
    $\displaystyle U(x,y,z)$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)} \int_{-\in... ... \exp( -2 \pi i(\frac{x}{\lambda z}x_0 + \frac{y}{\lambda z}y_0)) dx_0 \;dy_0 =$(4.29)
     $\textstyle =$$\displaystyle \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \exp(\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)){\cal TF}_{\lambda z}[\psi(x_0,y_0)] \vspace{5mm}$,
    donde ${\cal TF}$ representa el operador transformada de Fourier. La intensidad que captaría un detector en estas condiciones es
    \begin{displaymath} I(x,y,z)\propto \vert{\cal TF}_{\lambda z}[\psi(x_0,y_0)] \vert^2 \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.30)
    Es decir, en condiciones de difracción de Fraunhofer, la distribución de intensidad es proporcional a la transformada de Fourier a escala$\lambda z$ del campo eléctrico en el plano que contiene la abertura.





    Estudio de casos particulares en aproximación de Fraunhofer

    Onda plana a través de un objeto rectangular
    Para calcular la difracción de Fraunhofer de un objeto utilizaremos la siguiente ecuación
    \begin{displaymath} U(x,y,z)=\frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)}{\cal TF}_{\lambda z}[\psi(x_0,y_0)] \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.31)
    Supongamos que el objeto es iluminado por una onda plana $Ae^{ikz}$. En $z=0$, la onda plana es A. Escribiremos la transformada de Fourier de una función $f(x,y)$ como $F(u,v)$, donde $(u,v)$ son las frecuencias espaciales. Es necesario recordar que la Transformada de Fourier de una abertura rectangular de dimensiones $l_x \times l_y$ vale
    \begin{displaymath} {\cal TF}\left [ rect(\frac{x}{l_x}) rect(\frac{y}{l_y}) \right ] = l_x l_y sinc (l_x u) sinc(l_y v) \vspace{5mm} \end{displaymath};(4.32)
    y, por lo tanto, el campo eléctrico escalar a distancia $z$ mucho mayor que $l_x$ o $l_y$ se escribe
    $\displaystyle U(x,y,z)=A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)}{\cal TF}_{\lambda z}[rect(\frac{x}{l_x}) rect(\frac{y}{l_y})] =$
    		(4.33)
    $\displaystyle = A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} l_x l_y e^{\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)} sinc(\frac{l_x x}{\lambda z}) sinc(\frac{l_y y}{\lambda z}) \vspace{5 mm}$,

    donde se han sustituido las variables (u,v) por $\frac{x}{\lambda z}$ y $\frac{y}{\lambda z}$. La intensidad grabada por un detector será el módulo al cuadrado de la expresión anterior,
    \begin{displaymath} I(x,y,z) = A^2 \frac{l_x^2 l_y^2}{\lambda^2 z^2} sinc^2(\frac{l_x x}{\lambda z}) sinc^2(\frac{l_y y}{\lambda z}) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.34)
    Figura 4.4: Difracción de Fraunhofer de un rectángulo cuyo lado vertical es menor que el horizontal
    \includegraphics[width=8cm,height=8cm]{difr2.ps}
    Figura 4.5: Perfil de la función que describe la intensidad de la difracción de Fraunhofer de un rectángulo
    \includegraphics[width=10cm,height=10cm]{sinc.eps}
    4.3.2 Onda plana a través de un objeto circular
    La fórmula para calcular la difracción de Fraunhofer se puede escribir en coordenadas polares cuando el objeto tiene simetría circular, $\psi(r,\theta) = \psi(r)$:
    \begin{displaymath} U(x,y,z)=\frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{\frac{ik}{2z}r^2}{\cal TF}_{\lambda z}[\psi(r_0)] \vspace{5 mm} \end{displaymath}.(4.35)
    La transformada de Fourier de una función con simetría circular es
    \begin{displaymath} \int_{-\infty}^\infty f(x,y) e^{-2\pi i(xu+yv)}\;dx\;dy = \i... ... \cos(\theta_0 - \theta)} r_0 dr_0 = F(r,\theta) \vspace{5 mm} \end{displaymath},(4.36)
    donde se ha aplicado el cambio $x=r_0 \cos \theta_0$, $y=r_0 \sin \theta_0$ y $u=r \cos \theta$, $v=r \sin \theta$. Utilizando la igualdad,
    \begin{displaymath} J_0(a)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-ia\cos(\theta-\phi)} d\theta \vspace{5 mm} \end{displaymath}(4.37)
    se obtiene que
    \begin{displaymath} F(r) = 2 \pi \int_0^\infty f(r_0) J_0(2\pi r r_0) r_0\;dr_0 \vspace{5 mm} \end{displaymath}.(4.38)
    Para calcular la difracción de Fraunhofer cuando una onda plana $Ae^{ikz}$ atraviesa una abertura circular de radio $R$, $circ(\frac{r}{R})$ en $z=0$, tenemos que calcular la integral anterior. (f(r0)=1 entre 0 i R). Aplicando ahora la relación
    \begin{displaymath}\frac{R}{a}J_1(aR) = \int_0^R J_0(ar) r\;dr, \vspace{5 mm} \end{displaymath}(4.39)
    se puede demostrar que
    \begin{displaymath} {\cal TF}\left [circ(\frac{r_0}{R})\right] = R \frac{J_1(2\pi R r)}{r} \vspace{5 mm} \end{displaymath};(4.40)
    y, por lo tanto, el campo eléctrico escalar vale
    $\displaystyle U(x,y,z)=A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)}{\cal TF}_{\lambda z}[circ(\frac{r_0}{R})] =$
    		(4.41)
    $\displaystyle A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} R e^{\frac{ik}{2z}(r^2)} \frac{J_1(... ...-i A R e^{ikz} e^{\frac{ik}{2z}(r^2)} \frac{J_1(\frac{2\pi R r}{\lambda z})}{r}$,

    mientras que la intensidad,
    \begin{displaymath} I(r) = A^2 \frac{R^2}{r^2} J_1^2(\frac{2\pi Rr}{\lambda z}) \vspace{5 mm} \end{displaymath}.(4.42)
    Se conoce como el radio del disco de Airy al radio del primero mínimo de la función anterior. La función $\frac{J_1(\pi x)}{\pi x}$ se anula en $x=1.22$ y, por lo tanto,
    \begin{displaymath} r_A=1.22 \frac{\lambda z}{2R} \vspace{5 mm} \end{displaymath}.(4.43)
    Figura 4.6:Difracción de Fraunhofer de un círculo
    \includegraphics[width=8cm,height=8cm]{difrac.ps}
    Figura 4.7: Perfil de la función que describe la intensidad de la difracción de Fraunhofer de un círculo. El primer cero de la función está en r=1.22
    \includegraphics[width=10cm]{j1.eps}
    4.3.3 Onda plana a través de una estructura periódica unidimensional
    Sea un objeto de transmitancia $f(x,y)$ repetido periódicamente N veces, con periodo $P$. La función matemática que modeliza este objeto se escribe
    \begin{displaymath} \psi(x,y) = \sum_{m=0}^{N-1} f(x-mP) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.44)
    La transformada de Fourier a escala $\lambda z$ de la expresión anterior es
    \begin{displaymath} TF_{\lambda z} [\psi(x_0,y_0)] =F(\frac{x} {\lambda z}, \fra... ...exp(-\frac{2 \pi i x(n-1)P}{\lambda z}) \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath};(4.45)
    y, por lo tanto, cuando una onda plana atraviesa este objeto, el campo eléctrico escalar es
    \begin{displaymath} U(x,y,z)=A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{\frac{ik}{2z}(x^2+... ..._{m=0}^{N-1} \exp(-\frac{2 \pi i xmP}{\lambda z}) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.46)
    Los términos de la suma de la ecuación anterior siguen una progresión geométrica cuya razón es $r=\exp(-\frac{2 \pi i xmP}{\lambda z})$. Puesto que se verifica
    \begin{displaymath} 1+r+r^2+ r^3 + \ldots + r^{N-1} = \frac{1-r^N}{1-r} \vspace{5mm} \end{displaymath},(4.47)
    entonces
    \begin{displaymath} U(x,y,z)=A \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{\frac{ik}{2z}(x^2+... ...ambda z})}{1-\exp(-\frac{2 \pi i xP}{\lambda z})} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.48)
    Puede comprobarse que
    \begin{displaymath} \left \vert \frac{1-\exp(-\frac{2 \pi i x(N-1)P}{\lambda z})... ...(\pi NPx /\lambda z)}{\sin^2(\pi Px /\lambda z)} \vspace{5mm} \end{displaymath};(4.49)
    la intensidad se escribe como
    \begin{displaymath} I(x,y,z) \propto A^2 \left \vert F(\frac{x}{\lambda z}, \fra... ...mbda z)}{\sin^2(\pi Px /\lambda z)} \right \vert \vspace{5mm} \end{displaymath}.(4.50)
    Algunos comentarios adicionales:
    • La expresión de la intensidad nos indica que la distribución de luz que detectaremos es el producto de la difracción del objeto por un término interferencial.
    • El numerador del término de interferencial se anula cuando se verifica que $N P x = n \lambda z$ donde $n$ es un natural. Por lo tanto, cuando $x=n \lambda z /N P$, la intensidad se anula (pasa por un mínimo). Entre dos mínimos tenemos un máximo secundario (ver figura 4.8).
    • El denominador del término de interferencial se anula cuando se verifica que $P x = n \lambda z$ donde $n$ es un natural. Es fácil comprobar que, en estos puntos donde el denominador se anula, también lo hace el numerador. Deshaciendo la indeterminación puede comprobarse que el término interferencial vale $N^2$ (máximo principal) (ver figura 4.8).
    • Si el número de franjas es N, entre dos máximos principales tenemos $N-1$ mínimos y $N-2$ máximos secundarios.
    • Si $N=2$, el término interferencial se escribe
      \begin{displaymath} I(x,y,z) \propto 4 \cos^2(\frac{\pi P x}{\lambda z}) \end{displaymath},(4.51)
      que corresponde a la intensidad de las interferencias generadas por dos fuentes puntuales de luz (experimento de Young).
    • Por ejemplo, la intensidad de la difracción de Fraunhofer que generan dos objetos cuadrados de lado $l$ separados una distancia $P$ se escribe

      \begin{displaymath} I(x,y,z) \propto4 A^2 {\textrm sinc}(\frac{lx}{\lambda z}) {... ... sinc}(\frac{ly}{\lambda z}) \cos^2(\frac{\pi P x}{\lambda z}) \end{displaymath}.(4.52)
    Figura 4.8: Perfil de la función que describe la intensidad de las interferencias para N=4
    \includegraphics[width=10cm, height=8cm]{no.eps}
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