sábado, 9 de abril de 2016

Apuntes de óptica

Interferencias
Coherencia temporal y monocromaticidad
Un sistema físico aislado (piénsese en un átomo, por ejemplo), con sus niveles energéticos perfectamente definidos, es una idealización que permite explicar la existencia de ondas monocromáticas. Si este sistema se encuentra en el nivel de energía $W_2$ y pasa a un estado de energía $W_1$ tal que $W_2 > W_1$, la física cuantica predice que se genera un fotón cuya longitud de onda verifica $ \lambda_0 = h c / (W_2-W_1) $, donde $h$ es la constante de Planck. Si el sistema considerado no es ideal, sus niveles energéticos pueden estar degenerados, y los fotones que se emitan, tendrán una longitud de onda que fluctuará en el intervalo $[\lambda_0 - \Delta \lambda, \lambda_0 + \Delta \lambda]$. Además, las transiciones energéticas posibles entre la banda de energía 2 y la banda 1 no tienen que ser equiprobables. Podemos definir, por lo tanto, una distribución $P(\lambda )$ que indique la probabilidad de generar un fotón con una cierta longitud de onda. Algunas causas que hacen que los niveles energéticos estén degenerados pueden ser el efecto Doppler como consecuencia de la agitación térmica o bien las colisiones entre las partículas que formen el material. En estos casos, la forma de $P(\lambda )$es aproximadamente como la que muestra la figura 3.1, mientras que en el caso ideal $P(\lambda) = \delta(\lambda-\lambda_0)$.
Figura 3.1: Distribución $P(\lambda )$
\includegraphics[width=5cm, height=5cm]{gau.ps}
El campo eléctrico asociado a una onda plana ideal es ${\vec E}={\vec a} \exp(i(wt-kx))$, donde la amplitud $\vert{\vec a}\vert$ será constante, en valor y dirección. En el caso no ideal, la onda que obtendremos se escribirá como superposición (suma) de ondas monocromáticas, es decir:
\begin{displaymath} {\vec E}= \sum_{\lambda_0 - \Delta \lambda}^{\lambda_0 + \D... ...bda} {\vec a(\lambda)} \exp(i(w(\lambda)t-kx)) \vspace{5mm} \end{displaymath},(3.1)
$\vert{\vec a(\lambda)}\vert$ se relaciona directamente con $P(\lambda )$ y, si la longitud de onda en el sumatorio anterior es una variable continua, la ecuación anterior se convertirá en una integral. Un análisis en profundidad de las matemáticas involucradas en la expresión anterior nos aportará un resultado muy interesante: una onda real, suma de diferentes contribuciones monocromáticas, está limitada en el espacio y constituye lo que se denomina un paquete de ondas. La longitud física del paquete de ondas se denomina longitud de coherencia, $l_c$ (véanse figuras 3.2 y 3.3). Cuando más monocromática es la onda (es decir, cuando más estrecha sea la distribución $P(\lambda )$ de la figura 3.1) mayor es $l_c$: en el límite, una onda plana es perfectamente monocromática y su longitud de coherencia es infinita.

Figura 3.2: Longitud de coherencia finita
\includegraphics[width=\linewidth, height=5cm]{loncohinf.ps}
Figura 3.3: Longitud de coherencia infinita: onda plana
\includegraphics[width=\linewidth, height=5cm]{loncohfin.ps}
Cuando se genera un paquete de ondas, se introduce una fase inicial aleatoria $\phi$. Dos paquetes de ondas tendrán fases iniciales diferentes. Es necesario utilizar iluminación láser en los experimentos de interferencias para evitar los problemas derivados de la coherencia. Los láseres presentan una alta monocromaticidad, y, por lo tanto, sus longitudes de coherencia son muy elevadas.
3.1.2 Condiciones para obtener imágenes de interferencia estables
En general, cuando dos ondas ${\vec E_1}$ y ${\vec E_2}$ se encuentran en el espacio, no interaccionan de forma apreciable. Ahora bien, si se verifican unas determinadas condiciones, estas ondas pueden generar una distribución de intensidad con zonas donde la energía se potencia y otras en las que la energía disminuye. Las condiciones para obtener imágenes de interferencia estables son cuatro:
  1. Las ondas que interfieren deben ser coherentes.
  2. Las ondas deben tener la misma frecuencia.
  3. Los campos eléctricos deben ser paralelos.
  4. Las amplitudes de los campos deben ser iguales.
Tomamos dos ondas planas de polarización, amplitud, frecuencia, fase inicial y dirección de propagación diferentes, que se superponen en un punto del espacio$P$:
\begin{displaymath} {\vec E_1} = {\vec A_1} \exp(i(w_1 t - k_1 {\vec r_P}{\vec ... ...xp(i(w_2 t - k_2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.2)
Si captamos la intensidad en este punto $P$ tendremos
\begin{displaymath} I \propto \left \vert {\vec E_1} + {\vec E_2} \right \vert^... ...2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)) \right \vert^2 \vspace{5mm} \end{displaymath},(3.3)
y desarrollando,
$\displaystyle I$$\textstyle \propto$$\displaystyle \left \vert {\vec A_1} \right \vert^2 + \left \vert {\vec A_2} \r... ... + \phi_1)} e^{-i(w_2 t - k_2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)} \cos(\theta_{12})+$(3.4)
$\displaystyle \left \vert {\vec A_1} \right \vert \left \vert {\vec A_2} \right... ... e^{i(w_2 t - k_2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)} \cos(\theta_{12}) \vspace{5mm}$,
donde $\theta_{12}$ es el ángulo formado por los dos vectores campo eléctrico. Esta intensidad es función del tiempo. Las variaciones que presenta esta función serán muy rápidas en el rango de las frecuencias ópticas. Por lo tanto, la magnitud que se detectará será la media temporal de la intensidad. Para apreciar fenómenos interferenciales deben cumplirse las condiciones expuestas anteriormente:

Las ondas que interfieren deben ser coherentes entre si. Si los dos haces de luz que interactúan son incoherentes, las fases iniciales asociadas a cada onda irán cambiando aleatoriamente. Por lo tanto, la diferencia $\phi_1-\phi_2$ que aparece en los términos cruzados de la ecuación 3.4 variará aleatoriamente. Puesto que la media temporal de una fase que varía al azar es nula, los términos cruzados de la ecuación 3.4 también serán nulos. Este problema se evita cuando la diferencia $\phi_1-\phi_2$ es constante en el tiempo, es decir, cuando los paquetes de onda son coherentes. Esto se consigue a partir de un único haz de luz, dividiéndolo en dos y haciendo que cada uno acumule un camino óptico diferente. Los dos haces resultantes llegarán con un determinado desfase. Si la diferencia de camino óptico es inferior a la longitud de coherencia, durante una fracción de tiempo se verificará la condición $\phi_1-\phi_2 =$constante y los dos paquetes de onda se superpondrán parcialmente (véase la figura 3.4). Los paquetes de onda que vengan a continuación también se superpondrán. Cuanto más largos sean los paquetes de onda y más se superpongan, los fenómenos interferenciales se observarán con mayor facilidad.
Figura 3.4: Superposición parcial de a dos paquetes de onda
\includegraphics[width=12cm, height=5cm]{supcoh.ps}
Las ondas deben tener la misma frecuencia. Si $w_1$ y $w_2$ son diferentes, la intensidad dependerá del tiempo y, en este caso, la media temporal también será cero.
Los campos eléctricos deben ser paralelos. Si los campos eléctricos no son paralelos, el término $\cos(\theta_{12})$actuará haciendo que los términos cruzados tengan una importancia menor respeto los términos constantes $\left \vert {\vec A_1} \right \vert^2 + \left \vert {\vec A_2} \right \vert^2$. En particular, cuando las polarizaciones están en cuadratura, los términos cruzados desaparecen. Éste es el caso que corresponde al estudio de la luz polarizada. Si $0<\theta_{12} < \pi/2$, se superpone luz polarizada a las interferencias. La visualización de fenómenos interferenciales se optimiza cuando los campos eléctricos son estrictamente paralelos. La ecuación 3.4 de la intensidad, se escribe ahora (se verifica la condición de coherencia, la igualdad de frecuencias y el paralelismo de los campos)
\begin{displaymath} I \propto A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(k {\vec r_P}({\vec s_1}-{\vec s_2})) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.5)
Se ha prescindido del carácter vectorial de los campos para escribir las amplitudes. Esto es posible ya que se ha impuesto que los campos eléctricos deben tener todos la misma dirección. La polarización es una información que no aporta nada a la física del problema. Los planteamientos en óptica donde la dirección de polarización no es una información relevante conforman una parte de la óptica que se denomina teoría escalar de la luz. 
Las amplitudes de los campos deben ser iguales: Si además, la amplitud los campos es la misma, ($A_1=A_2=A$), entonces la distribución de intensidad se escribe
\begin{displaymath} I \propto 4 A^2 \cos^2 \left (\frac{k {\vec r_P}({\vec s_1}-{\vec s_2})}{2} \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.6)
Cuando se verifican las dos primeras condiciones, la figura de interferencia es estable. Si además se asegura el paralelismo de los campos, se puede observar claramente el comportamiento interferencial. La distribución de intensidad tiene un contraste óptimo cuando, además, las amplitudes de las dos ondas que interaccionas son iguales.






Interferencias de Young

 Descripción del experimento
Consideremos el siguiente experimento: dos emisores puntuales $S_1$ y $S_2$, coherentes entre sí, emiten ondas esféricas con igual frecuencia y polarización: $a_1/r \exp(ikr -\omega t)$ y $a_2/r \exp(ikr -\omega t)$. Sea $d$ la separación entre las dos fuentes. Sea $z=-D$ el plano que contiene las dos fuentes. Consideramos un punto de observación $P$ situado en $(x, y, 0)$. Supongamos, sin perder generalidad, que el índice del medio es $n=1$.
Figura 3.5: Interferencia de dos ondas esféricas
\includegraphics[width=14cm]{young.eps}
La intensidad que detectaremos en este punto vendrá dada por la ecuación 3.6. Aunque las distancias $S_1P$ y $S_2P$ son diferentes, si $D$ es lo suficiente grande, las amplitudes de las ondas en el punto $P$ se pueden considerar iguales. Intentemos reescribir esta ecuación de forma que resulte más cómoda de utilizar. El producto escalar ${\vec r_P}({\vec s_1}-{\vec s_2})$ no es más que $d_1-d_2$, donde $d_1$ y $d_2$ son las distancias entre la fuente $S_1$ y el punto de observación $P$ y la distancia entre la fuente $S_2$ y el punto de observación $P$, respectivamente ($d_1$, por ejemplo, es la proyección del vector ${\vec r_p}$ según la dirección fijada por la fuente $S_1$y el punto $P$). $d_1-d_2$ es la diferencia de camino óptico $\Delta$, mientras que $k(d_1-d_2) = \frac{2\pi}{\lambda}(d_1-d_2)$ es la diferencia de fase. Las fuentes $S_1$ y $S_2$ se encuentran en los puntos$(-d/2,0,-D)$ y $(d/2,0,-D)$, respectivamente. Aplicando la definición de distancia, tenemos que
\begin{displaymath} d_1-d_2 =\sqrt{(x+d/2)^2 + y^2 + D^2} - \sqrt{(x-d/2)^2 + y^2 + D^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.7)
En el experimento de Young se toma la distancia de observación $D$ mucho más grande que la distancia entre las fuentes $d$. Si se verifica esta condición $d << D$, entonces $d_1+d_2 \approx 2D$ y la diferencia $d_1-d_2$ puede escribirse
\begin{displaymath} d_1-d_2 = \frac{d_1^2 - d_2^2}{d_1+d_2} = \frac{2xd}{d_1+d_2} \approx \frac{xd}{D} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.8)
y, por lo tanto, la ecuación de la intensidad se escribirá
\begin{displaymath} I \propto 4 A \cos^2 \left (\frac{k xd}{2D} \right ) = 4 A \cos^2 \left (\frac{\pi xd}{\lambda D} \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.9)
donde $A$ es la amplitud en el plano de observación, $A = a_1/d_1 = a_2/d_2$
3.2.1.1 Análisis de la figura de franjas de Young
  • Una vez se ha fijado la geometría ($d$, D ) y la longitud de onda, la intensidad que se registra es sólo una función de la variable $x$, $I(x)$: por lo tanto, todos los puntos con la misma intensidad estarán en rectas paralelas al eje $y$.
  • El perfil de la intensidad según el eje $x$ varia como un coseno al cuadrado. Se trata de una función que se hace máxima cuando $xd/D=m\lambda$ ($m$ entero) y se hace cero cuando $xd/D=\frac{2m+1}{2}\lambda$. El máximo de orden $m$ se encontrará en la posición
    \begin{displaymath} x_m=m\lambda \frac{D}{d} \vspace{5mm} \end{displaymath},(3.10)
    y la distancia entre dos máximos (interfranja) será

    \begin{displaymath} x_m - x_{m-1} = \lambda \frac{D}{d} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.11)
3.2.2 Dispositivos por obtener franjas de Young
Existen algunos dispositivos experimentales que permiten reproducir con facilidad el experimento de Young. Se trata de conseguir que los dos emisores puntuales sean coherentes entre sí, es decir, que la fase aleatoria sea la misma de manera que la diferencia de camino óptico $\Delta$ sea inferior a la longitud de coherencia $l_c$. La única posibilidad para conseguir esto es generar imágenes geométricas de un único foco puntual de luz.
  • Por ejemplo, el biprisma de Fresnel consiste en un dispositivo como el que se muestra en la figura 3.6. El ángulo $\alpha$ es muy pequeño. Sí colocamos una fuente de luz a distancia `$a$' del prisma, se puede demostrar que un observador situado al otro lado del prisma (a su derecha según la figura) verá dos fuentes de luz (coherentes entre si) correspondientes a las imágenes geométricas de la fuente de luz a través del biprisma.
    Figura 3.6: Biprisma de Fresnel
    \includegraphics[width=12cm]{biprisma.eps}
  • Otra posibilidad es utilizar el espejo de Lloyd. Se trata de colocar una fuente delante de un espejo. La imagen virtual de la fuente a través del espejo actuará como segunda fuente coherente con la primera. Si se trata de un espejo dieléctrico, el rayo reflejado tiene un cambio de fase $\pi$adicional. Se puede comprobar que esto implica que la figura de interferencias sea complementaria a la deducida anteriormente: allá donde había máximos tendremos mínimos y viceversa.
    Figura 3.7:Espejo de Lloyd
    \includegraphics[width=12cm]{lloyd.eps}
3.2.3 Coherencia espacial
En el apartado anterior hemos considerado que la fuente de luz original es puntual. En cambio, las fuentes de luz reales tienen unas determinadas dimensiones. Definimos el contraste de las franjas (también denominadofactor de visibilidad, $V$) como el cociente
\begin{displaymath} V=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m} \vspace{5mm} \end{displaymath},(3.12)
donde $I_M$ e $I_m$ son las intensidades máxima y mínima en una distribución de interferencias. Para un experimento de Young ideal, $I_m=0$, por lo tanto, el contraste de las franjas será siempre óptimo, $V=1$. En cambio, si las amplitudes de las dos ondas que interfieren son diferentes, $I_m \neq 0$ y, en este caso, $V<1$. Si no se aprecian interferencias, $I_m=I_M$, entonces $V=0$. Si la fuente de luz que ilumina el sistema no es puntual, el factor de visibilidad también puede ser inferior a 1, incluso verificándose estrictamente las cuatro condiciones para obtener imágenes de interferencias estables. El fenómeno de la pérdida de contraste en las franjas a consecuencia de las dimensiones de la fuente está relacionado con el concepto de Coherencia espacial. El estudio de este fenómeno se hace considerando que cada punto de la fuente es un emisor puntual que genera su sistema de franjas de interferencia. Se puede demostrar que cada uno de estos emisores elementales genera un sistema de franjas con un origen diferente (posición del máximo $m=0$). La superposición de los diferentes términos $\cos^2$ de la ecuación 3.9, con un pequeño desplazamiento entre ellas, provoca la pérdida de contraste.




Dispositivos intereferométricos

 Interferencias en láminas dieléctricas
Consideremos el siguiente problema: sea una lámina dieléctrica planoparalela de grosor $d$. El índice de refracción del material es $n$y el medio externo a la lámina tiene un índice $n=1$. Sobre esta lámina incide una onda electromagnética plana polarizada linealmente y de amplitud$a$, con la dirección de propagación que forma una ángulo $\epsilon$ con la dirección normal a las caras de la lámina. Al llegar a la primera cara de la lámina, parte de la luz se refleja y parte se transmite. Las amplitudes transmitida y reflejada vienen dadas por $at$ y $ar$, donde $t=t(n,n' ,\epsilon)$ y $r=r(n, n',\epsilon)$ son los coeficientes de transmisión calculados a partir de las fórmulas de Fresnel. La luz que se transmite viaja por el medio dieléctrico hasta que se encuentra de nuevo con la superficie de separación de medios. Parte de la luz se refleja internamente y parte se transmite al medio exterior. La luz que se refleja internamente genera, a su vez, nuevos términos que se transmiten y reflejan. La figura 3.8 muestra los diferentes rayos y los valores de la amplitud. El coeficiente de reflexión calculado, cuando la reflexión se produce desde un medio de índice $n$ sobre un material de índice $n'$ o al revés, tiene el mismo valor en módulo, $\vert r\vert=\vert r'\vert$. Esto no es válido para la transmisión, puesto que $t\neq t' $ (recuérdese que aquí se verifica $t t' = 1 - r^2$).
Figura 3.8: Haz de ondas emergiendo de una lámina dieléctrica
\includegraphics[width=14cm]{Intonmul.eps}
El paso siguiente en el estudio de este problema consiste en sumar todas las contribuciones de los rayos que emergen o bien de la primera cara (luz reflejada) o bien de la segunda (luz transmitida). Todos los rayos salen paralelos y, por lo tanto, mediante una lente convergente podemos concentrar todas las contribuciones en un punto del plano focal de la lente. Para poder realizar la suma es necesario conocer el desfase entre ellas y escribir así los términos de la serie. Recordemos que el desfase $\delta$ es proporcional a la diferencia de camino óptico $\Delta$, $\delta=\frac{2\pi}{\lambda} \Delta$. Nos podemos fijar en la figura 3.9.
Figura 3.9: Cálculo del camino óptico
\includegraphics[width=12cm]{Difcamop.eps}
El camino óptico del rayo que viaja por el interior de la lámina pasa por los puntos $I_1$, $I_1'$ y $I_2$. Por lo tanto, la diferencia de camino óptico entre la onda que pasa por el interior de la lámina y la que se refleja directamente es:
\begin{displaymath} \Delta = (I_1I_1' + I_1'I_2) - I_1E = 2 d \cos(\epsilon') \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.13)
Es importante observar que se resta la cantidad $I_1E$: como se trabaja con ondas planas, a partir del plano definido por los puntos $I_2$ y $E$, el camino óptico será idéntico. Finalmente, el desfase es
\begin{displaymath} \delta = \frac{4 \pi}{\lambda} d \cos(\epsilon ') \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.14)
Consideremos ahora todas las contribuciones que se han transmitido a través de la lámina. Los campos se escriben:
  1. $E_1=att' \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0))$
  2. $E_2=att'r^2 \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + \delta))$
  3. $E_3= att'r^4 \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + 2\delta))$
  4. $E_4=att'r^6 \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + 3\delta))$
  5. $\ldots$
  6. $E_{n+1}=att'r^{2n} \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + n\delta)) = E_1 r^{2n} e^{in\delta}$;
$\delta_0$ hace referencia a una cierta fase constante inicial en relación al origen de coordenadas. Las diferentes contribuciones se pueden sumar con facilidad puesto que se trata de una serie geométrica de razón $r^2 e^{i\delta}$. El campo total transmitido será:
\begin{displaymath} E_T = \sum_i E_i = E_1 \frac{1}{1-r^2 e^{i\delta}} = att' ... ...c s} + \delta_0)) \frac{1}{1-r^2 e^{i\delta}} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.15)
La intensidad se obtendrá haciendo
\begin{displaymath} I_T = \frac{c}{4 \pi} E_T E_T^* =\frac{c}{4 \pi} \left \vert att'\frac{1}{1-r^2 e^{i\delta}} \right \vert^2 \vspace{5mm} \end{displaymath}(3.16)
Calculando, y recordando que $t t' = 1 - r^2$, se obtiene finalmente que
\begin{displaymath} I_T = \frac{c}{4 \pi} \frac{a^2}{1+\frac{4r^2}{(1-r^2)^2}\sin^2(\delta/2)} \vspace{5mm} \end{displaymath}(3.17)
Por lo que hace referencia a la luz que se refleja en la lámina, no es necesario repetir todo el cálculo. Se debe tener en cuenta que la intensidad total de la luz incidente vale $(c/4\pi) a^2$ y, por lo tanto
\begin{displaymath} I_R =\frac{c}{4 \pi} a^2 - I_T = \frac{c}{4 \pi} \frac{a^2 ... ...a/2)}{\frac{(1-r^2)^2}{4r^2}+\sin^2(\delta/2)} \vspace{5mm} \end{displaymath}(3.18)
Las expresiones de la intensidad transmitida y reflejada presentan máximos y mínimos cuando se verifican las condiciones descritas en la tabla siguiente:
CasoExtremoDesfaseValoro del extremo
Luz transmitidaMáximo$\delta = 2 \pi m$, $m$ entero
$a^2$
Luz transmitidaMínimo$\delta = (2m+1) \pi$, $m$ entero
$ \frac{a^2}{1+\frac{4r^2}{(1-r^2)^2}}$
Luz reflejadaMáximo$\delta = (2m+1) \pi$, $m$ entero
$ \frac{a^2}{1+\frac{(1-r^2)^2}{4r^2}}$
Luz reflejadaMínimo$\delta = 2 \pi m$, $m$ entero
0

Antes de continuar es necesario hacer algunos comentarios sobro como se ha hecho la deducción de la ecuación de la intensidad en función del desfase:
  • No se han tenido en cuenta los efectos de la polarización, cuando es conocido que los coeficientes de reflexión y transmisión $r$ y $t$ son diferentes si hacen referencia a la polarización perpendicular o paralela. Para ángulos de incidencia pequeños, $\epsilon \approx 0$, $r_{\vert\vert} \approx r_{\perp}$. Como veremos más adelante, los dispositivos ópticos basados en interferencias de ondas en láminas dieléctricas trabajan con incidencias casi normales.
  • Además, en algunos dispositivos, como el interferómetro de Fabry-Perot, las caras del dieléctrico están semiespejadas, o bien tienen un recubrimiento multicapa. Así se consigue un coeficiente de reflexión próximo a la unidad y prácticamente constante para todos los ángulos de incidencia y longitudes de onda.
  • El grueso de la lámina no puede ser arbitrariamente grande. Para que se produzcan interferencias es necesario que la diferencia de caminos ópticos de los rayos que interfieran sea inferior a la longitud de coherencia. Cuando más gruesa sea la lámina, con más dificultad se verificará esta condición.
  • En los dispositivos experimentales se suele trabajar con fuente extensa y, por lo tanto, $\epsilon$ puede tomar un rango continuo de valores. Como resultado, se observaran anillos de intensidad constante para cada valor de $\epsilon$, puesto que existe simetría de revolución alrededor de la incidencia normal.
En la figura 3.10, podemos ver la dependencia de la intensidad transmitida y reflejada en función de $\delta=2 d \cos(\epsilon')$.
Figura 3.10: Intensidad en función del desfase
\includegraphics[width=\textwidth]{11_3.eps}
La figura 3.11 muestra un espectro real de transmisión: se trata de un experimento en el cual la incidencia es normal, $\cos(\epsilon')=1$. En este caso, una lámina dieléctrica es iluminada en el rango de longitudes de onda del visible y se analiza la transmitancia de la misma, es decir, representamos $I(\lambda)$ (en este caso, $n'= n'(\lambda)$, $d$ y $r$ son constantes).
\begin{displaymath} I_T(\lambda) \propto \frac{1}{1+\frac{4r^2}{(1-r^2)^2} \sin^2(\frac{2\pi n(\lambda) d}{\lambda})} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.19)
En este ejemplo tenemos un dieléctrico real (la conductividad no es nula). Por lo tanto, no todos los máximos tienen la misma altura.
Figura 3.11: Espectro real de transmisión de una lámina dieléctrica
\includegraphics[width=\textwidth]{intereal.ps}
3.3.2 Láminas antirreflejantes
Los recubrimientos antirreflejantes se utilizan para conseguir que la mayor parte de la luz incidente se transmita y no se pierda por reflexión. Por ejemplo, en caso de incidencia normal en una interfase aire-vidrio, el 4% de la energía se refleja. Así, en un sistema óptico formado por muchas lentes, las pérdidas de luz acumuladas pueden hacer que el sistema sea inviable. En esta sección demostraremos que al recubrir el vidrio de una lámina delgada de material dieléctrico y grosor apropiado, la energía que vuelve al primer medio por reflexión se hace cero. Consideremos un sistema como el que muestra la figura 3.12. Se trata de un material transparente, de índice de refracción $n_v$, sobre el que se ha depositado un dieléctrico de grosor $d$ e índice $n$. Además, impondremos la condición $1 < n < n_v$. Consideremos que la luz incide sobre el sistema con un ángulo muy próximo a cero, $\epsilon \approx 0$. La amplitud inicial de la onda es $a$, y los coeficientes de reflexión y transmisión en las interfases se encuentran indicados a la figura 3.12.
Figura 3.12: Lámina antirreflejante
\includegraphics[width=14cm]{Lamines.eps}
En las reflexiones en las que el índice del primero medio es menor que el segundo, debe añadirse $+\pi$ a la fase de la onda. Según esto, todos los rayos reflejados, incluyendo el que se refleja directamente desde el aire sobre el medio de índice $n$, incorporan un factor $+\pi$ a su fase. La luz reflejada será la suma de todas las contribuciones que vuelven al primer medio. Puesto que se desea que la luz no se refleje, la suma de todas estas contribuciones tiene que ser cero. Escribiendo los diferentes términos, igual que lo hicimos a la ecuación3.15,
  1. $E_1=ar \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + \pi))$
  2. $E_2=att'r_v \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + \delta + \pi))$
  3. $E_3= att'r_v^2 r \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + 2\delta + \pi))$
  4. $E_4=att'r_v^3 r^2 \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + 3\delta + \pi))$
  5. $\ldots$
  6. $E_n=att'r_v^{n-1} r^{n-2} \exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0 + (n-1)\delta + \pi))$,
donde $\delta_0$ hace referencia a una cierta fase constante inicial en relación al origen de coordenadas y $\delta=\frac{4\pi}{\lambda}nd$ es la diferencia de fase, tal y como se ha visto a la ecuación 3.14. Si se impone que todas los términos salgan en fase entre sí a partir del segundo rayo, se debe verificar que
\begin{displaymath} \frac{4 \pi}{\lambda} n d + \pi = 2m\pi \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.20)
lo que nos da una condición para el grosor de la lámina. Si $m=1$, el grosor es $d=\lambda/4n$. Con este grosor se consigue que todas las contribuciones al campo reflejado a partir de la segunda estén en fase y todas ellas en oposición de fase con la primera. Para sumar las diferentes contribuciones basta con comprobar que los términos de la suma siguen una progresión geométrica de razón$rr_v$,
\begin{displaymath} E_R = (-ar + att'r_v(1 + rr_v + r^2 r_v^2 + {\ldots} ))\exp(i(wt - k{\vec r}{\vec s} + \delta_0)) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.21)
Esta suma se hace cero cuando $r = r_v$. Recordando que $r=(1-n)/(1+n)$ y$r_v=(n-n_v)/(n+n_v)$, se llega a
\begin{displaymath} n = \sqrt{n_v} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.22)
Según esto, con una lámina de grosor $\lambda/4n$ y un material adecuado es posible diseñar una lámina antirreflejante. Sin embargo, este resultado ha sido deducido en condiciones de incidencia muy cercana a la normal y para una única longitud de onda. Se puede hacer un análisis equivalente y más general utilizando sistemas multicapas con diferentes grosores y materiales. Así, se pueden diseñar recubrimientos antirreflejantes utilizables en una banda del espectro más amplio y para diferentes ángulos de incidencia.
3.3.3 El interferómetro de Fabry-Perot
El interferómetro de Fabry-Perot es un dispositivo de gran precisión utilizado en espectroscopía. Su principal ventaja es su elevado poder resolutivo (capacidad de discriminar dos longitudes de onda muy próximas). La física que describe este aparato es muy similar al experimento de interferencias en láminas dieléctricas. El esquema del interferómetro es el de la figura 3.13.
Figura 3.13: El interferómetro de Fabry-Perot
\includegraphics[width=10cm]{fabry_p.eps}
Se trata de dos soportes de vidrio de caras planoparalelas enfrentados entre si una distancia $d$ (en aire, $n=1$) que puede ser ajustable. Las caras internas están tratadas de manera que el factor de reflexión sea próximo a la unidad, para así obtener un buen contraste. Un rayo de luz que llegue al sistema con un ángulo $\epsilon$respeto a la normal de la cara de vidrio, se refractará en la cara anterior y posterior del vidrio e incidirá también con ángulo $\epsilon$ sobre la primera cara del segundo de vidrio. La luz que salga del sistema por la cara posterior lo hará de nuevo con ángulo$\epsilon$.
Figura 3.14: Sistema interferencial
\includegraphics[width=\textwidth]{dispinte.eps}
El interferómetro funciona de la siguiente manera: utilizamos una fuente extensa de radio $R_f$. Esta luz emite unas ciertas longitudes de onda que son las que queremos conocer. La fuente se sitúa en el plano focal de una lente colimadora de focal $f_c'$ y, por lo tanto, los rayos salen paralelos con direcciones angulres comprendidas entre $[0, \epsilon_c]$ respecto al eje óptico, donde $\tan(\epsilon_c) = R_f/f_c'$. Los rayos que incidan con un ángulo $\epsilon$ se reflejarán múltiplemente en el interior del dispositivo y se irán transmitiendo las diferentes contribuciones. Todos estos rayos transmitidos salen con un ángulo $\epsilon$. Una segunda lente de focal $f'$ los focalizará en un punto de su plan focal. Esto quiere decir que en este punto se hará la suma coherente de todos los rayos. La intensidad que tendremos en este punto, según lo que dedujo en la ecuación 3.17, será
\begin{displaymath} I_T(\lambda,\epsilon) \propto \frac{1}{1+\frac{4r^2}{(1-r^... ...sin^2(\frac{2 \pi d \cos(\epsilon)}{\lambda})} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.23)
Como que el problema presenta simetría de revolución respeto el eje óptico de la segunda lente, todos los puntos del plano focal que se encuentren a una distancia $R$ del eje de colimación ( $\tan(\epsilon) = R/f'$) presentarán la misma configuración interferencial y, por lo tanto, su intensidad será la misma. Es decir, en el plano de observación visualizaremos anillos. Podemos determinar cuando se hace máxima la ecuación anterior. Esto pasa si $\sin^2(\frac{2 \pi d \cos(\epsilon)}{\lambda}) = 0$, o lo que es el mismo, cuando se verifica
\begin{displaymath} 2d\cos(\epsilon)= m \lambda \quad m\;\textrm{natural} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.24)
En el centro, el orden interferencial $m$ ($m$ entero) con el que identificamos un anillo concreto, toma su valor máximo ($m=2d/\lambda$); $m$ es cero para $\epsilon = \pi/2$. Si la fuente de luz tiene radio $R_f$, existe un ángulo máximo $\epsilon_c$ con el que los rayos pueden entrar en el sistema. Por lo tanto, $m$ variará entre un valor máximo en el centro y un valor mínimo en el extremo del campo iluminado.
3.3.3.1 Poder resolutivo de un interferómetro Fabry-Perot
Una de las aplicaciones más importantes del interferómetro de Fabry-Perot consiste en la determinar las longitudes de onda en las cuales emite una fuente de luz. Además, gracias a la elevada precisión del interferómetro, es posible determinar valores muy próximos de longitud de onda. Puesto que cada $\lambda$ genera su propio sistema de anillos independiente, se visualizan parcialmente superpuestos. Consideramos que dos anillos se pueden distinguir (se resuelven), si en el punto medio de la distancia entre dos máximos, el valor de la energía es inferior en mitad de la energía máxima. Tomamos una luz mezcla de dos longitudes de onda, $\lambda_1=\lambda$ y $\lambda_2=\lambda + \Delta \lambda$. Definimos el poder resolutivo como el cociente $\vert\lambda / \Delta \lambda\vert$. Tomando el criterio de resolución anterior se puede demostrar que
\begin{displaymath} \left \vert\frac{\lambda}{\Delta \lambda} \right \vert = \frac{\pi m r}{1-r^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(3.25)
La capacidad de resolver longitudes de onda muy próximas aumenta cuando observamos el centro de la imagen de interferencia ($m$ grande) y cuando el factor de reflexión $r$ es alto (tendiendo a la unidad).
3.3.4 Filtros interferenciales
El fenómeno de las interferencias en láminas delgadas puede ser utilizado para la construcción de dispositivos de transmitancia muy selectiva con la longitud de onda. La utilización de estos dispositivos permite obtener luz muy monocromática. Consideremos una lámina de grosor $d$ de un material de índice $n$. Esta lámina se encuentra entre dos vidrios planoparalelos que hacen de soporte. Hacemos incidir normalment luz blanca, $\epsilon=0$. En estas condiciones, la ecuación del desfase 3.14 para los máximos se escribe,
\begin{displaymath} \frac{4 \pi}{\lambda} nd = 2 m \pi \vspace{5mm} \end{displaymath}(3.26)
es decir $2nd = m \lambda$. Si el factor de reflexión interno de las caras $r$ es lo suficiente alto, los máximos de interferencia $I_T(\lambda)$ (figura 3.10, ecuación 3.19) se hacen muy estrechos, de manera que sólo pasan las longitudes de onda que verifican la relación $2nd = m \lambda$. Por ejemplo, con un grosor $d=150$ nm y un índice $n=1.7$, solamente pasarán las longitudes $\lambda = 510/m$ nm: 510, 255, 170, .... En la zona del visible se transmite con intensidad máxima una única longitud de onda ($\lambda = 510$ nm).
3.3.5 Interferómetros de Michelson y de Mach-Zehnder
3.3.5.1 El interferómetro de Michelson
Consideremos un dispositivo óptico como el que se muestra a la figura 3.15, que utiliza una fuente de luz extensa. Por simplicidad, consideraremos que ésta se encuentra en el plano focal objeto de una lente colimadora. Así conseguimos luz con iluminación paralela en todas las direcciones permitidas por las dimensiones de la fuente. Delante del sistema de iluminación se encuentra un sistema divisor de haz (lámina semitransparente): la mitad de la energía atraviesa la lámina y la otra mitad se refleja. Puesto que la lámina forma un ángulo de $45^o$ respecto el plano que contiene la lente colimadora, los dos haces resultantes salen formando entre sí un ángulo de $90^o$. Estos haces de luz viajan en sus respectivas direcciones hasta llegar a los espejos, cambian de sentido y se reencuentran de nuevo en la lámina semitransparente. Parte de la luz vuelve hacia la fuente y parte se dirige hacia un plano de observación donde se analiza la luz.
Figura 3.15: El interferómetro de Michelson
\includegraphics[width=8cm]{michart2.eps}
Los espejos no tienen porque encontrarse a la misma distancia de la lámina semiespejada. Sea $l_a$ la distancia de la lámina hasta el espejo situado normalmente al brazo horizontal y $l_b$, la distancia de la lámina hasta el espejo dispuesto normalmente al brazo vertical. La diferencia de camino óptico es $\Delta= 2(l_a-l_b)=2d$($n=1$, puesto que el dispositivo se encuentra en el aire). Si el haz de luz toma una dirección que forma un ángulo $\theta$ con el eje de la lente colimadora, se puede comprobar que, en este caso, la diferencia de camino óptico es $\Delta=2d \cos(\theta)$. El sistema presenta simetría de revolución respeto a un eje normal al plano de observación y, por lo tanto, en este plano se obtendrán anillos; además, como se trata de la interferencia de dos ondas que recorren caminos ópticos diferentes, la intensidad será proporcional a
\begin{displaymath} I \propto \cos^2(\frac{2\pi}{\lambda}\Delta) \vspace{5mm} \end{displaymath},(3.27)
y, en consecuencia, los máximos de interferencia se dispondrán siguiendo la ley siguiente:
\begin{displaymath} 2d \cos(\theta) = m \lambda \vspace{5mm} \end{displaymath},(3.28)
con m natural. Si consideramos justo el centro de la figura de interferencia, $\cos(\theta)=1$ y, por lo tanto, en el centro se verificará $2d = m\lambda$. Esto quiere decir que, si la diferencia de caminos ópticos $2d$ no es múltiplo exacto de $\lambda$, en el centro no tendremos un máximo de intensidad. Además, si $l_a -l_b = 0$(diferencia de caminos ópticos es cero), entonces estamos en $m=0$.
3.3.5.2 Algunos comentarios más
  • Desde el punto de vista histórico es necesario hacer notar que este instrumento fue utilizado en 1887 por Michelson y Morley en su intento de medir la velocidad de la luz respecto de la Tierra.
  • En el interferómetro de la figura 3.15 se puede observar un elemento denominado lámina compensadora. Se trata de una lámina de material transparente que tiene exactamente el mismo grosor que la lámina semitransparente ($d_{st}$). La luz que hace el camino vertical (según la figura 3.15) atraviesa tres veces la lámina semitransparente añadiendo el factor $3 n_{st}d_{st}$ al camino óptico (la lámina está semiespejada en el lado derecho de la lámina, según el dibujo), mientras que la luz que toma la otra dirección sólo atraviesa la lámina una vez. Para compensar este efecto y hacer que las diferencias de camino sean atribuibles exclusivamente a la diferencia geométrica de los brazos $2(l_a-l_b)=2d$, se incluye la lámina compensadora. Así, la luz que sigue el camino horizontal compensa el exceso de camino óptico que se realiza siguiendo el camino vertical.
  • Longitud de coherencia. Para que el fenómeno interferencial sea visible, se tiene que verificar que la diferencia de caminos ópticos $2d$ sea inferior a la longitud de coherencia de la luz analizada ($l_c$). Esto indica un método por determinar experimentalmente $l_c$: al aumentar la diferencia $2d$, el contraste de los anillos irá disminuyendo hasta que estos desaparezcan.
  • Si en vez de trabajar con una fuente extensa lo hacemos con una puntual, la intensidad de la figura de interferencia será constante. Al modificar la diferencia de longitud de los dos brazos $2d$, esta intensidad irá variando pasando por máximos cuando se verifique la relación $2d = m\lambda$. Esta configuración del interferómetro de Michelson se denominainterferómetro de Twyman-Green.
3.3.5.3 El interferómetro de Mach-Zehnder
Existen otros interferómetros de doble haz. Cabe destacar el interferómetro de Mach-Zehnder, por su amplia utilización en metrología óptica (ver figura 3.16).
Figura 3.16: El interferómetro de Mach-Zehnder
\includegraphics[width=10cm]{mzen.eps}
Consiste en un sistema de iluminación que genera un haz de ondas planas. Un sistema divisor del haz hace que la luz siga dos caminos diferentes. Mediante espejos se consigue que la luz siga una trayectoria como la que se muestra en la figura, y mediante un segundo cubo divisor de haz se suman las dos contribuciones, que, obviamente, han seguido caminos ópticos diferentes. En el plano de observación se analizan los resultados.
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