martes, 5 de abril de 2016

Astronomía y astrofísica

TRANSPORTE DE ENERGÍA

CASO GRIS

El caso gris es una aproximación para que se hace para poder resolver esas ecuaciones. En el caso gris el coeficiente de absorción no depende de $\nu$.
$k_{\nu} = k$ es independiente de la frecuencia 
Un ejemplo muy particular donde se cumple esto es la dispersión electrónica. 
Integrando la ecuación de transporte sobre las frecuencias:


\begin{displaymath}\cos\theta\: \frac{d}{dx}\int^\infty_0I_{\nu} d\nu = \rho k \int^\infty_0I_{\nu} d\nu - \rho k \int^\infty_0 S_{\nu} d\nu \end{displaymath}




\begin{displaymath}\longrightarrow \cos\theta\: \frac{dI}{dx} = k \rho I - k \rho S \longrightarrow \cos\theta\: \frac{dI}{d\tau} = I - S \end{displaymath}


Con lo anterior las 3 condiciones de equilibrio radiativo son: 

\begin{displaymath}F = F_0 \hspace{4 cm} J = S \hspace{4 cm} \frac{dK}{d\tau} = \frac{F_0}{4\pi} \end{displaymath}


Y las ecuaciones de Milne son: 

\begin{displaymath}\frac{1}{2} \: \int^\infty_{\tau} SE_1(t - \tau) dt + \frac{1}{2} \int^\tau_0 SE_1(\tau-t)dt - S = 0 \end{displaymath}




\begin{displaymath}\int^\infty_{\tau} SE_2(t-\tau)dt - \int^{\tau}_0 SE_2(\tau-t)dt = \frac{F_0}{2\pi} \end{displaymath}




\begin{displaymath}\frac{d}{d\tau} \int^\infty_{\tau} SE_3(t-\tau)dt + \frac{d}{d\tau}\int^{\tau}_0 SE_3(\tau-t)dt = \frac{F_0}{2\pi} \end{displaymath}







SOLUCIÓN DE EDDINGTON

Eddington propuso una aproximación geométrica para resolver esas ecuaciones, dividiendo el problema en dos hemisferios, uno de radiación entrante y otro de radiación saliente.
truecm FIG XX
De la tercera ecuación de equilibrio radiativo $\frac{dK}{d\tau} = \frac{F_0}{4\pi}$ se obtiene:
$K_{(\tau)} = \frac{F_0\tau}{4\pi}+ constante$ 
Asumimos I = Iin + Iout, constante en cada hemisferio para cada $\tau$.
$I_{(\tau)}=I_{in(\tau)}$ para $\theta > \frac{\pi}{2}$, $\hspace{4 cm}$ $I_{(\tau)}=I_{out(\tau)}$ para $\theta \leq \frac{\pi}{2}$ 
  • Intensidad Media:

    \begin{displaymath}J(\tau) = \oint I\frac{dw}{4\pi} = \frac{1}{2}\int^{\frac{\pi... ...rac{1}{2}\int^\pi_{\frac{\pi}{2}} I_{in} \sin\theta d\theta \end{displaymath}




    \begin{displaymath}= \frac{1}{2}I_{out}\int^\frac{\pi}{2}_0 \sin\theta d\theta ... ...heta = \frac{1}{2}\left[I_{out(\tau)} + I_{in(\tau)}\right] \end{displaymath}


  • Flujo:

    \begin{displaymath}F(\tau) = \oint I(\tau)\cos\theta dw = 2\pi\int^{\frac{\pi}{2... ...int^\pi_{\frac{\pi}{2}} I_{in} \cos\theta\sin\theta d\theta \end{displaymath}




    \begin{displaymath}F(\tau) = \pi \left[I_{out(\tau)} - I_{in(\tau)}\right] \end{displaymath}


  • Integral K:

    \begin{displaymath}K(\tau) = \oint I(\tau)\cos^2\theta dw = \frac{1}{2}\int^{\f... ...^\pi_{\frac{\pi}{2}} I_{in} \cos^2 \theta\sin\theta d\theta \end{displaymath}




    \begin{displaymath}K(\tau) = \frac{1}{6}\left[I_{out(\tau)} + I_{in(\tau)}\right] \end{displaymath}

De las ecuaciones de J y K se obtiene: $\: \: K(\tau) = \frac{1}{3} J(\tau)$
Y de J y F sale para el borde de la atmósfera ($\tau=0$): $\: \: \: \: 2\pi J(0) = F(0) = F_0$
De la ecuación encontrada antes: $\:K_{(\tau)} = \frac{F_0\tau}{4\pi}+ constante\:$, para $\tau=0$: 
$\hspace{3 cm} K(0) = \frac{J(0)}{3} = \frac{1}{3}\frac{F_0}{2\pi} = constante$.
Así obtenemos: 
\begin{displaymath}K_{(\tau)} = \frac{F_0}{4\pi}\left(\tau + \frac{2}{3}\right) ... ...(\tau)} = 3\frac{F_0}{4\pi} \left(\tau + \frac{2}{3}\right) \end{displaymath}

Usando la segunda condición de equilibrio radiativo J = S se obtiene: 
\begin{displaymath}S_{(\tau)} = 3\frac{F_0}{4\pi} \left(\tau + \frac{2}{3}\right) \end{displaymath}

Si consideramos el caso de absorción pura - cuerpo negro: 
\begin{displaymath}J_{(\tau)} = \frac{F_{(\tau)}}{\pi} = \frac{\sigma T^4_{(\tau)}}{\pi} \hspace{3 cm} y \hspace{3 cm} F_0 = \sigma T^4_{eff} \end{displaymath}

De lo anterior: 
\begin{displaymath}T^4_{(\tau)} = \frac{3}{4}\left(\tau + \frac{2}{3}\right) T^4... ...ac{3}{4}\left(\tau + \frac{2}{3}\right)\right]^{1/4} T_{eff} \end{displaymath}

En general se tiene la solución rigurosa de Chandrasekhar: 
\begin{displaymath}J_{\nu} = \frac{3F_0}{4\pi}\left(\tau + q(\tau)\right) \: \l... ...[\frac{3}{4}\left(\tau + q(\tau)\right)\right]^{1/4} T_{eff} \end{displaymath}

Donde $q(\tau)$ es una función continua y suave, acotada entre los límites q(0) = 0.577 y $q(\infty) = 0.710$.






FLUJO CONVECTIVO

Flujo convectivo de un elemento medio: $\: \: \: \: \phi = C_p \: \rho \: \Delta T \: v$
Con Cp = calor específico, $\Delta T =$ exceso de temperatura T sobre el medio, v = velocidad.
En la fotósfera solar: 
\begin{displaymath}\rho \sim 10^7 \: \: \frac{g}{cm^3} \hspace{1.5cm} \Delta T \... ... \times 10^7 \: \frac{erg}{g \: ^oK} \longrightarrow (H puro) \end{displaymath}


\begin{displaymath}\longrightarrow \phi \sim 2 \times 10^8 \: \frac{erg}{cm^2 s} \:\:\: y \:\:\: F_{rad} \sim 10^{11} \: \frac{erg}{cm^2 s} \end{displaymath}








CONDICIÓN DE FLUJO CONVECTIVO: Criterio de Schwarzschild

Si el elemento convectivo es adiabático: 
\begin{displaymath}P \rho^{- \gamma} = cte \hspace{2cm} \longrightarrow \: \: \: \: \frac{d \log \rho}{d \log P} = \frac{1}{\gamma} \end{displaymath}

Para que haya convección la densidad del elemento debe decrecer tanto o más rápidamente que la densidad del medio: 
\begin{displaymath}\frac{1}{\gamma} = \frac{d \log \rho}{d \log P} \left. \frac{... ...\log P} \left. \frac{}{} \right\vert _{_{fot\acute{o}sfera}} \end{displaymath}

En términos de la Temperatura:
La ley de los gases ideales es: $\: \: \: P = \frac{\rho}{\mu} K T$, donde $\mu$ es el peso molecular medio en gramos. Entonces:

\begin{displaymath}\log P = \log \rho - \log \mu + \log K + \log T \: \longrigh... ... d \log P = d \log \rho - d \log \mu + d \log K + d \log T \end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{d \log \rho}{d \log P} = 1 + \frac{d \log \mu}{d \log P} - \frac{d \log T}{d \log P} \end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{1}{\gamma} > \frac{d \log \rho}{d \log P} \left. \frac{... ... 1 + \frac{d \log \mu}{d \log P} - \frac{d \log T}{d \log P} \end{displaymath}


\begin{displaymath}\longrightarrow \: \: \frac{d \log T}{d \log P} \left. \frac... ...fera}} > 1 - \frac{1}{\gamma} + \frac{d \log \mu}{d \log P} \end{displaymath}

Para un gas monoatómico $\gamma = \frac{5}{3}$. Si el H y el He no cambian la ionización y los gases son homogéneos: $\:\:\:\frac{d \log \mu}{d \log P} \simeq 0$. $\longrightarrow\:$ Criterio de Schwarzschild: $\:\:\:\frac{d \log T}{d \log P} > \frac{2}{5}$.
Lo anterior es de mucha importancia para modelos de atmósferas.
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