martes, 5 de abril de 2016

Astronomía y astrofísica

TRANSPORTE DE ENERGÍA

PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO RADIATIVO

Para una atmósfera plano-paralela se tiene:


\begin{displaymath}\frac{dF}{dx} = 0 \hspace{2 cm} F(x) = F_0 \hspace{2 cm} F=\int^\infty_0 F_{\nu}\:d\nu = F_0 \end{displaymath}


En general, si hay flujo convectivo la primera condición es:


\begin{displaymath}\phi(x) + \int^\infty_0 F_{\nu}\:d\nu = F_0 \end{displaymath}





Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.
Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso, Rx como Ry debe ser cero; es la condición para que un cuerpo esté en equilibrio:
 
 
EJEMPLO:
Una pelota de 300N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se observa en la figura. Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.

 
SOLUCIÓN:
El primer paso es construir un diagrama de cuerpo libre:

Al sumar las fuerzas a lo largo del eje X obtenemos :
S Fx = -A cos 60° + B cos 40° = 0

Al simplificarse por sustitución de funciones trigonométricas conocidas tenemos:
-0.5A + 0.7660B = 0 (1)

Obtenemos una segunda ecuación sumando las fuerzas a lo largo del eje Y, por lo tanto tenemos:
(Cos 30° + cos 50° )
0.8660A + 0 .6427B = 300N (2)

En las ecuaciones 1 y 2 se resuelven como simultanea A y B mediante el proceso de sustitución. Si despejamos A tenemos:
A = 0.7660 / 0.5
 
A = 1.532B

Ahora vamos a sustituir esta igualdad en la ecuación 2
0.8660(1.532B) + 0.6427B = 300N

Para B tenemos:
1.3267B + 0.6427B = 300N
 
1.9694B = 300N
B= 300N / 1.9694
 
B= 152.33N

Para calcular la tensión en A sustituimos B = 152.33 N
A = 1.532(152.33N) = 233.3N

La tensión en la cuerda C es 300N , puesto que debe ser igual al peso.

Una pelota de 100N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo de 30° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.
 
SOLUCIÓN
Primero dibujamos le diagrama cuerpo libre:
Ahora se aplica la primera condición de equilibrio. La suma de las fuerzas a lo largo del eje X:
SFx = B – A cos 60° = 0
B = A cos 60° = 0.5 A (1)

Ahora al sumar las componentes en Y:
S Fy = A sen 60° - 100N = 0

Por lo que:
A sen 60° = 100N

Ahora se despejan las fuerzas desconocidas:
(sen 60° = .8660)
.8660 A = 100N
A = 100N / .8660 = 115N

Conocemos el valor de A, ahora despejamos B de la ecuación 1:
B = 0.5 A = (0.5)(115N) = 57.5N





SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO RADIATIVO

La ecuación de transferencia radiativa es: 
\begin{displaymath}\cos\theta\:\frac{dI_{\nu}}{dx} = k_{\nu} \rho I_{\nu} - k_{\nu} \rho S_{\nu} \end{displaymath}

Integrando sobre ángulos:

\begin{displaymath}\frac{d}{dx}\oint I_{\nu}\cos\theta\:d\omega = k_{\nu} \rho \oint I_{\nu}\:d\omega - k_{\nu} \rho\oint S_{\nu}\:d\omega \end{displaymath}


\begin{displaymath}\hspace{1 cm} \Downarrow \hspace{3 cm} \Downarrow \hspace{2 cm} \Downarrow \end{displaymath}


\begin{displaymath}\hspace{1 cm} F_{\nu}\hspace{3 cm} J_{\nu} \hspace{2 cm} S_{\nu} \end{displaymath}

Si $S_{\nu}$ es independiente de la dirección: 
\begin{displaymath}\frac{dF_{\nu}}{dx} = 4 \pi k_{\nu} \rho J_{\nu} - 4 \pi k_{\nu} \rho S_{\nu} \end{displaymath}

Integrando sobre las frecuencias y usando la primera condición: 
\begin{displaymath}\frac{d}{dx} \int^\infty_0 F_{\nu}d\nu= 4 \pi \rho\: \left(... ...{\nu} d\nu - \int^\infty_0 k_{\nu} S_{\nu} d\nu \right) = 0 \end{displaymath}

La segunda condición de equilibrio radiativo es entonces:

\begin{displaymath}\int^\infty_0 k_{\nu} J_{\nu} d\nu = \int^\infty_0 k_{\nu} S_{\nu} d\nu = 0 \end{displaymath}








TERCERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO RADIATIVO

Si multiplicamos la ecuación de transporte por $cos \theta$ e integramos sobre ángulos y frecuencias obtenemos la tercera condición. 

\begin{displaymath}\int^\infty_0 \frac{dK_{\nu}}{d\tau_{\nu}} d\nu = \frac{F_0}{4\pi} \end{displaymath}





ECUACIONES DE MILNE

Reemplazando $ F_{\nu}$, $J_{\nu}$ y $K_{\nu}$ en función de las integrales exponenciales, las condiciones de equilibrio radiativo quedan: 
\begin{displaymath}\int^\infty_0 K_{\nu} \left [\frac{1}{2} \: \int^\infty_{\tau... ...\nu}E_1(\tau_{\nu}-t_{\nu})dt_{\nu} - S_{\nu}\right] d\nu = 0 \end{displaymath}

1a Ecuación de Milne

\begin{displaymath}\int^\infty_0 \left [\int^\infty_{\tau_{\nu}} S_{\nu}E_2(t_{... ...(\tau_{\nu}-t_{\nu})dt_{\nu} \right] d\nu = \frac{F_0}{2\pi} \end{displaymath}

2a Ecuación de Milne

\begin{displaymath}\int^\infty_0 \frac{d}{d\tau_{\nu}}\left(\frac{1}{2} \int^\i... ...(\tau_{\nu}-t_{\nu})dt_{\nu} \right) d\nu = \frac{F_0}{4\pi} \end{displaymath}

3a Ecuación de Milne
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