RADIACIÓN

PRESIÓN DE RADIACIÓN O INTEGRAL K

La presión de radiación está dada por el promedio de las intensidades específicas pesada por el cuadrado de $cos \theta$ .

$\begin{displaymath}K_{\nu} = \frac {1}{4 \pi} \oint I_{\nu} \cos ^2 \theta d \omega \end{displaymath}$

El momento de radiación electromagnética es:

$\begin{displaymath}m = \frac{E} {c} \end{displaymath}$

La componente normal del momento es:

$\begin{displaymath}d P_{\nu} = \frac {1}{c} \frac {d E_{\nu} \: \cos \theta} {dt... ...arrow \\ \hspace{0.3cm} P_{\nu} = \frac{4 \pi} {c} K_{\nu} \end{displaymath}$

$\bullet$ Ejemplo 1:
Radiación independiente de la dirección:

$\begin{displaymath}P_{\nu} = \frac{4 \pi} {3 c} I_{\nu} \end{displaymath}$

y la presión total es:

$\begin{displaymath}P_R = \frac{4 \pi} {3 c} \int^{\infty}_0 I_{\nu} \: d\nu \end{displaymath}$

$\bullet$ Ejemplo 2:
Usando T:

$\begin{displaymath}\pi \: \int^{\infty}_0 I_{\nu} \: d\nu = \sigma \: T^4 \hspa... ...R = \frac{4 \sigma} {3 c} \: T^4 \hspace{2cm} (T = T_{gas}) \end{displaymath}$

LA PRESIÓN DE RADIACIÓN

La radiación también ejerce una presión. Los fotones transportan momento y por lo tanto cuando son absorbidos o dispersados transfieren momento. Llamaremos a esta presión presión de radiación y la designaremos con P_r. Para calcular la presión de radiación debemos tener en cuenta que la presión neta debida a los fotones es igual a la tasa de variación del momento perpendicular al flujo neto de fotones por unidad de área. La energía que atraviesa la unidad de área perpendicular al flujo de fotones contribuida por fotones de intensidad I en un ángulo sólido dW que forma un ángulo con la dirección del flujo neto, es I cosqdW por segundo. Un fotón de energía E transporta un momento E/c donde c es la velocidad de la luz y el fotón tendrá un momento perpendicular al área especificada igual a Ecosq/c. Ahora sí podemos indicar que la tasa de variación del momento está dada por

(11.34)

Para llegar a este resultado hemos tenido en cuenta la definición de la integral K dada en 6.29.

Por lo tanto la presión de radiación P_r será,

(11.35)

diferenciando respecto de r obtenemos,

(11.36)

Si tenemos en cuenta que

(11.37)

tendremos que,

(11.38)

dividiendo la ecuación anterior por k₀r obtenemos,

(11.39)

para una atmósfera gris la ecuación anterior será

(11.40)

que es igual a

(11.41)

Si nos detenemos en la ecuación (11.39) vemos que tiene sentido físico porque es intuitivo pensar que la presión de radiación estará relacionada con el flujo bloqueado que está representado en la ecuación por el producto del flujo y el coeficiente de absorción.

Si retomamos la ecuación del equilibrio hidrostático, desdoblando la presión en sus componentes tendremos que

(11.42)

Esta ecuación nos indica que si el primer sumando es mayor que el miembro derecho de la igualdad entonces no habrá una solución estable para la variación de la presión con la profundidad óptica y la atmósfera no será estable

En las estrellas de tipo F-M la presión de radiación no es importante mientras que en las estrellas O sí lo es. En las mayores luminosidades se alcanza el denominado límite de Eddington y la atmósfera es inestable y arroja material al espacio exterior. De las ecuaciones () y () tendremos que en el caso gris el límite de Eddington está dado por la condición,

(11.43)

o sea,

(11.44)

Debemos tener presente que en las estrellas muy luminosas el coeficiente de absorción continua está dado fundamentalmente por la dispersión de electrones, con lo cual la absorción es bastante gris y por lo tanto podemos sustituir en la última ecuación el coeficiente de absorción por s_eN_e, que es el producto de la sección transversal del electrón por la densidad numérica de electrones por unidad de masa.

COEFICIENTE DE ABSORCIÓN

La ecuación de transporte es:

$\begin{displaymath}dI_{\nu} = -\kappa_{\nu} \: \rho \: I_{\nu} \: dx \hspace{1c... ...\Rightarrow \hspace{1cm} dI_{\nu} = -I_{\nu} \: d\tau_{\nu} \end{displaymath}$

Donde $\kappa_{\nu}$ es el coeficiente de absorción.

La solución de la ecuación de transporte es:

$\begin{displaymath}I_{\nu} = I_{\nu}^0 \: e^{- \tau_{\nu} } \end{displaymath}$

Modelación del Tiempo de Reverberación

A Sabine se acredita la modelación del tiempo de reverberación con la simple relación llamada fórmula de Sabine:

donde V es el volumen del recinto y

y a es el coeficiente de absorción asociado con un área dada S.

Estudio

Calcular

Estimación del Tiempo de Reverberación del Decaimiento del Sonido

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Coeficiente de Absorción del Sonido

Cuando una onda de sonido en una habitación choca contra una superficie, una cierta fracción de ella se absorbe, y una cierta cantidad se transmite en la superficie. Ambas cantidades se pierden de la habitación, y esta pérdida fraccional se caracteriza por un coeficiente de absorción a, que puede tomar valores entre 0 y 1, siendo 1 un absorbente perfecto.

Coeficiente de Absorción = a
Área de Absorción Efectiva = aS
El área de absorción efectiva es un factor para determinar el tiempo de reverberación de un auditorio. El coeficiente de absorción de una superficie normalmente cambia con la frecuencia, de modo que el tiempo de reverberación es también dependiente de la frecuencia. Una tabla de coeficientes de absorción se puede utilizar en los cálculos de tiempo de reverberación con la fórmula de Sabine.

Tabla de Coeficientes de Absorción

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Estudio de la Fórmula de Sabine

La fórmula de Sabine funciona razonablemente bién en auditorios de tamaño mediano, pero no se debe tomar como una fórmula exacta. Tiende a sobreestimar los tiempos de reverberación en los recintos de alto coeficiente de absorción. Una mejor aproximación para tales recintos, utiliza un coeficiente de absorción media general:

Obsérvese que esto reduce el tiempo de reverberación calculado. La fórmula de Sabine tambien refleja la absorción del aire, que puede ser significativo en grandes auditorios.

Tabla de Coeficientes de Absorción

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Tabla de Coeficientes de Absorción

Naturaleza de la superficie	Coeficiente de absorción de sonido a frecuencia(Hz)
	125	250	500	1000	2000	4000
Baldosa acústica, montaje rígido	0,2	0,4	0,7	0,8	0,6	0,4
Baldosa acústica suspendida	0,5	0,7	0,6	0,7	0,7	0,5
Escayola acústica	0,1	0,2	0,5	0,6	0,7	0,7
Escayola ordinaria, en listones	0,2	0,15	0,1	0,05	0,04	0,05
Tablero de Yeso, 1/2" en entramados	0,3	0,1	0,05	0,04	0,07	0,1
Chapado de madera, 1/4" en entramados	0,6	0,3	0,1	0,1	0,1	0,1
Bloque de hormigón, sin pintar	0,4	0,4	0,3	0,3	0,4	0,3
Bloque de hormigón pintado	0,1	0,05	0,06	0,07	0,1	0,1
Hormigón, vertido	0,01	0,01	0,02	0,02	0,02	0,03
Ladrillo	0,03	0,03	0,03	0,04	0,05	0,07
Baldosa de vinilo sobre hormigón	0,02	0,03	0,03	0,03	0,03	0,02
Alfombra dura sobre hormigón	0,02	0,06	0,15	0,4	0,6	0,6
Alfombra dura sobre un respaldo de fieltro	0,1	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
Piso de plataforma de madera	0,4	0,3	0,2	0,2	0,15	0,1
Cristal ordinario de ventana	0,3	0,2	0,2	0,1	0,07	0,04
Placa de vidrio pesada	0,2	0,06	0,04	0,03	0,02	0,02
Cortinas, terciopelo medio	0,07	0,3	0,5	0,7	0,7	0,6
Asientos tapizados, sin ocupantes	0,2	0,4	0,6	0,7	0,6	0,6
Asientos tapizados, ocupados	0,4	0,6	0,8	0,9	0,9	0,9
Asientos de madera, sin ocupantes	0,02	0,03	0,03	0,06	0,06	0,05
Bancos de madera, ocupados	0,4	0,4	0,7	0,7	0,8	0,7

Datos de Hall, 2nd. Ed., Tabla 15.1

Definición de Coeficiente de Absorción

Cálculo del Tiempo de Reverberación

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Absorción del Aire

En los auditorios, normalmente se desprecia la absorción del aire en los cálculos deltiempo de reverberación, pero para grandes recintos, pueden llegar a ser significativo. La absorción del aire es mayor para las altas frecuencias y es dependiente de la temperatura del aire y de la humedad relativa. Rossing informa de los siguientes valores y modificaciones de la fórmula de Sabine: