El Campo Electrostático

APLICACIÓN DE MATLAB PARA TRAZAR LA GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LA TEORÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA

El sistema consiste de un ducto de longitud infinita inmerso en un medio dieléctrico. En la figura se muestra un segmento del sistema. La cara que se encuentra en el plano y = 0 se encuentra a un potencial diferente de cero mientras que las otras caras están conectadas a tierra.

El potencial de la cara inferior es:

La función que describe la forma del potencial en el interior del tubo es, asumiendo K=1 y V_K =1:

La función que describe la forma del campo eléctrico en el espacio limitado por el ducto es:

La función que describe la forma del flujo eléctrico (normado respecto a sí mismo en el punto (a, 0) cuando k=1 y Vk=1), a través de las superficies equipotenciales, en el volumen limitado por el ducto es:

Para obtener las gráficas de contorno de estas tres funciones, se toman los valores:

a = 2

b = 1.5.

Utilizando la versión 5.3.0.101083 (R11) de MATLAB, se ha desarrollado un programa que permite obtener los siguientes resultados:

Y																						V(x, y)
1,5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1,4	0	0,00471958	0,00932295	0,01369676	0,01773331	0,02133321	0,02440781	0,02688141	0,0286931	0,02979827	0,03016971	0,02979827	0,0286931	0,02688141	0,02440781	0,02133321	0,01773331	0,01369676	0,00932295	0,00471958	0
1,3	0	0,00955586	0,01887641	0,02773217	0,03590507	0,04319387	0,04941909	0,05442745	0,05809563	0,0603333	0,06108536	0,0603333	0,05809563	0,05442745	0,04941909	0,04319387	0,03590507	0,02773217	0,01887641	0,00955586	0
1,2	0	0,01462839	0,02889659	0,04245326	0,05496458	0,0661225	0,07565226	0,08331921	0,08893456	0,09236005	0,09351133	0,09236005	0,08893456	0,08331921	0,07565226	0,0661225	0,05496458	0,04245326	0,02889659	0,01462839	0
1,1	0	0,02006262	0,03963123	0,05822399	0,07538308	0,09068598	0,1037559	0,11427101	0,12197238	0,12667039	0,12824935	0,12667039	0,12197238	0,11427101	0,1037559	0,09068598	0,07538308	0,05822399	0,03963123	0,02006262	0
1	0	0,02599289	0,05134574	0,07543429	0,0976654	0,11749167	0,13442489	0,14804814	0,15802594	0,16411262	0,16615831	0,16411262	0,15802594	0,14804814	0,13442489	0,11749167	0,0976654	0,07543429	0,05134574	0,02599289	0
0,9	0	0,03256582	0,06432976	0,0945097	0,12236248	0,1472023	0,16841751	0,18548572	0,19798666	0,20561251	0,20817549	0,20561251	0,19798666	0,18548572	0,16841751	0,1472023	0,12236248	0,0945097	0,06432976	0,03256582	0
0,8	0	0,03994394	0,07890433	0,11592183	0,15008495	0,18055248	0,20657422	0,2275094	0,24284255	0,25219612	0,25533977	0,25219612	0,24284255	0,2275094	0,20657422	0,18055248	0,15008495	0,11592183	0,07890433	0,03994394	0
0,7	0	0,04830967	0,09542979	0,14020011	0,18151824	0,21836679	0,24983842	0,27515821	0,29370268	0,30501522	0,30881727	0,30501522	0,29370268	0,27515821	0,24983842	0,21836679	0,18151824	0,14020011	0,09542979	0,04830967	0
0,6	0	0,05786984	0,11431472	0,1679448	0,21743953	0,26158017	0,29927983	0,32961024	0,35182454	0,36537576	0,36993022	0,36537576	0,35182454	0,32961024	0,29927983	0,26158017	0,21743953	0,1679448	0,11431472	0,05786984	0
0,5	0	0,06886083	0,13602607	0,1998419	0,25873696	0,31126106	0,35612087	0,39221181	0,41864519	0,43477014	0,44018961	0,43477014	0,41864519	0,39221181	0,35612087	0,31126106	0,25873696	0,1998419	0,13602607	0,06886083	0
0,4	0	0,08155438	0,16110063	0,23668004	0,30643161	0,36863781	0,42176692	0,46451074	0,49581676	0,51491412	0,52133259	0,51491412	0,49581676	0,46451074	0,42176692	0,36863781	0,30643161	0,23668004	0,16110063	0,08155438	0
0,3	0	0,09626436	0,19015837	0,27937005	0,36170271	0,43512905	0,49784107	0,54829459	0,58524728	0,60778924	0,61536541	0,60778924	0,58524728	0,54829459	0,49784107	0,43512905	0,36170271	0,27937005	0,19015837	0,09626436	0
0,2	0	0,11335445	0,22391773	0,32896742	0,42591684	0,51237877	0,58622424	0,64563492	0,68914792	0,71569182	0,72461301	0,71569182	0,68914792	0,64563492	0,58622424	0,51237877	0,42591684	0,32896742	0,22391773	0,11335445	0
0,1	0	0,1332472	0,26321342	0,38669844	0,50066167	0,60229694	0,68910167	0,75893843	0,8100876	0,84128973	0,85177651	0,84128973	0,8100876	0,75893843	0,68910167	0,60229694	0,50066167	0,38669844	0,26321342	0,1332472	0
0	0	0,15643447	0,30901699	0,4539905	0,58778525	0,70710678	0,80901699	0,89100652	0,95105652	0,98768834	1	0,98768834	0,95105652	0,89100652	0,80901699	0,70710678	0,58778525	0,4539905	0,30901699	0,15643447	0
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2	X

Y																						y(x, y)
1,5	0,40606363	0,40722015	0,41066121	0,41630208	0,42400388	0,43357696	0,44478559	0,45735378	0,47097207	0,48530511	0,5	0,51469489	0,52902793	0,54264622	0,55521441	0,56642304	0,57599612	0,58369792	0,58933879	0,59277985	0,59393637
1,4	0,40490235	0,40607316	0,40955676	0,41526738	0,42306439	0,43275581	0,44410301	0,45682657	0,47061321	0,48512345	0,5	0,51487655	0,52938679	0,54317343	0,55589699	0,56724419	0,57693561	0,58473262	0,59044324	0,59392684	0,59509765
1,3	0,40138981	0,40260386	0,40621613	0,41213767	0,42022268	0,43027206	0,44203838	0,45523191	0,46952777	0,48457397	0,5	0,51542603	0,53047223	0,54476809	0,55796162	0,56972794	0,57977732	0,58786233	0,59378387	0,59739614	0,59861019
1,2	0,39543914	0,39672646	0,40055672	0,4068356	0,41540849	0,42606431	0,43854067	0,45253036	0,46768892	0,48364308	0,5	0,51635692	0,53231108	0,54746964	0,56145933	0,57393569	0,58459151	0,5931644	0,59944328	0,60327354	0,60456086
1,1	0,38690324	0,38829564	0,39243859	0,39923005	0,4085028	0,42002851	0,43352339	0,44865514	0,46505118	0,48230777	0,5	0,51769223	0,53494882	0,55134486	0,56647661	0,57997149	0,5914972	0,60076995	0,60756141	0,61170436	0,61309676
1	0,37557103	0,37710296	0,38166102	0,38913298	0,39933485	0,41201543	0,42686249	0,44351043	0,46154934	0,48053502	0,5	0,51946498	0,53845066	0,55648957	0,57313751	0,58798457	0,60066515	0,61086702	0,61833898	0,62289704	0,62442897
0,9	0,36116235	0,36287167	0,36795755	0,37629475	0,38767798	0,40182696	0,41839328	0,43696903	0,45709681	0,47828101	0,5	0,52171899	0,54290319	0,56303097	0,58160672	0,59817304	0,61232202	0,62370525	0,63204245	0,63712833	0,63883765
0,8	0,34332094	0,34524992	0,35098936	0,36039794	0,37324398	0,38921117	0,40790636	0,4288692	0,45158351	0,47549	0,5	0,52451	0,54841649	0,5711308	0,59209364	0,61078883	0,62675602	0,63960206	0,64901064	0,65475008	0,65667906
0,7	0,32160567	0,323802	0,33033691	0,34104949	0,35567596	0,37385616	0,39514245	0,41901067	0,44487312	0,47209298	0,5	0,52790702	0,55512688	0,58098933	0,60485755	0,62614384	0,64432404	0,65895051	0,66966309	0,676198	0,67839433
0,6	0,29547964	0,29799763	0,30548958	0,31777103	0,33453955	0,35538227	0,37978595	0,4071497	0,43679973	0,46800597	0,5	0,53199403	0,56320027	0,5928503	0,62021405	0,64461773	0,66546045	0,68222897	0,69451042	0,70200237	0,70452036
0,5	0,26429689	0,26719879	0,27583302	0,28998699	0,30931218	0,33333273	0,36145719	0,39299303	0,42716373	0,46312791	0,5	0,53687209	0,57283627	0,60700697	0,63854281	0,66666727	0,69068782	0,71001301	0,72416698	0,73280121	0,73570311
0,4	0,22728643	0,23064398	0,24063398	0,25701043	0,27937009	0,30716238	0,33970298	0,37619063	0,41572687	0,4573382	0,5	0,5426618	0,58427313	0,62380937	0,66029702	0,69283762	0,72062991	0,74298957	0,75936602	0,76935602	0,77271357
0,3	0,18353318	0,18742941	0,19902217	0,218026	0,24397297	0,27622417	0,31398547	0,35632707	0,40220637	0,45049368	0,5	0,54950632	0,59779363	0,64367293	0,68601453	0,72377583	0,75602703	0,781974	0,80097783	0,81257059	0,81646682
0,2	0,13195536	0,1364866	0,14996875	0,17206982	0,20224563	0,23975314	0,28366879	0,33291123	0,38626795	0,44242513	0,5	0,55757487	0,61373205	0,66708877	0,71633121	0,76024686	0,79775437	0,82793018	0,85003125	0,8635134	0,86804464
0,1	0,07127771	0,076556	0,09226088	0,11800565	0,15315638	0,19684756	0,24800336	0,30536415	0,36751753	0,43293306	0,5	0,56706694	0,63248247	0,69463585	0,75199664	0,80315244	0,84684362	0,88199435	0,90773912	0,923444	0,92872229
0	0	0,00615583	0,02447174	0,05449674	0,0954915	0,14644661	0,20610737	0,27300475	0,3454915	0,42178277	0,5	0,57821723	0,6545085	0,72699525	0,79389263	0,85355339	0,9045085	0,94550326	0,97552826	0,99384417	1
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2	x

Con base a esto cálculos, es posible trazar las siguientes gráficas

La gráfica anterior muestra la forma de V(x, 0) = Vo.

La figura anterior es la vista frontal del espacio limitado por el ducto. En la figura puede apreciarse el contorno de las superficies equipotenciales.

La gráfica anterior corresponde al gradiente de las superficies equipotenciales. El campo eléctrico es normal a las superficies equipotenciales.

El campo eléctrico es tangente a las líneas del flujo eléctrico. Estas líneas representan el contorno de los tubos de flujo en cuyas extensiones el flujo eléctrico es constante.

En esta gráfica puede apreciarse la manera en que decrece la amplitud de V(x, y) al barrer el eje "y" desde 0 hasta "b" y como se mantiene igual a cero en las fronteras “x = 0”, “x = a” y “y = b”. V(x, 0) tiene la misma forma de Vo.