LA LEY DE COULOMB:
En un medio material dieléctrico, es decir, un medio aislante, que se describe en su forma más simple a través de la constante dieléctrica se aprecia la modificación del espacio debido a la presencia de una carga eléctrica. Esta modificación se conoce como el campo eléctrico.
LEY DE COULOMB COMO TEOREMA EXPERIMENTAL:
Q* = es una segunda carga enmersa dentro del campo de la carga Q
Si ejerce una fuerza mecánica " K " sobre la carga " Q ".
Se mide que: La fuerza generada
es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.La fuerza
es radial.
(1)LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO "E".
La fuerza es proporcional a la carga Q*
(2)
(3)EL POTENCIAL ELECTRICO "V":
función posición escalar
(4)
El potencial es proporcional a la carga que lo genera es inversamente proporcional de la distancia.
El campo electrostático es un campo gradiental; E es un campo conservativo, la integral del campo electrostático es un contorno cerrado es cero.
= DENSIDAD DE FLUJO ELECTROSTATICO:Magnitud vectorial independiente de las características de la materia.
De (3)
(6)
jC = flujo electrostático
F = superficie
DETERMINACION DE FUENTES ELECTROSTATICAS.
Tomemos una carga Q encerada dentro de un volumen especifico "v"
La superficie de la esfera: F = 4p r2
El flujo
= es normal a la superficie F
(7)DENSIDAD DE CARGA ESPACIAL "r "
V= unidad de volumen
(8)
(7) con j e y (8)
j e= Q
EL TEOREMA DE GAUSS.
La integración de un campo sobre una superficie periférica de un volumen cerrado es igual a las fuentes contenidas dentro del volumen representado por la divergencia del campo.
LA ECUACION DEL CAMPO ELECTROSTATICO.
D Operador de Laplace
r = - e D V
(10)ECUACION DE POSICION.
CASO DE UN VOLUMEN LIBRE DE CARGAS:
r = 0
D V = 0
Esta es la ecuación diferencial de Laplace.
EL PROBLEMA DE VALORES DE FRONTERA DE PRIMER ORDEN
V= Volumen cualquiera
F= Superficie periférica que encierra al volumen v libre de cargas, es decir r = 0
La superficie periférica se encuentra al potencial
Determinar el potencial dentro del volumen "v" libre de cargas. Si la superficie periférica, se encuentra al potencial
EJEMPLO CARACTERISTICO EN UN VOLUMEN RECTANGULAR
(coordenadas cartesianas)
Un cilindro rectangular de base X = a; Y = b y cualquier valor de Z, tiene un potencial aplicado.
V(X, a) = Vo(X) = VK sen (Kp x/a)
Sobre las demás superficie el potencial es cero (superficie conectadas a tierra).
Se desea determinar la distribución de potencial V(x,y) y la intensidad de campo E (x,y) dentro del cilindro.
El cilindro esta libre de cargas en el interior.
Problema plano respecto a las coordenadas "xy" independiente de la coordenada "z".
CONDICIONES DE FRONTERA:
V(a, y)= 0; V (a, y) = 0; V(x, b) = 0
V(x, 0) = V0 (x) = sen 
(1)
La solución en cada superficie Z = constante es la misma. Por lo tanto el problema es independiente de Z, depende solo de X Y.
Como el volumen esta libre de cargas entonces:
r = 0 C/m3
V = V(x, y) Þ DV (x, y) = 0
Determinar las soluciones de la ecuación de Laplace Bidimensional.
(1)
Aplicando un artificio matemático del producto de Bernoulli para separación de variables
(2)
(2) en (1) 
como la primera parte de la ecuación es p2 y la segunda -p2, se obtienen dos ecuaciones diferenciales
(3)
Soluciones de las ecuaciones diferenciales (3)
Para p ¹ 0
Para p = 0
Las condiciones de frontera
(5)
Caso 1: Con la condición de frontera (5)
V(0,y) = 0
Con las soluciones resultantes en las ecuaciones (4)
Para x = 0
Para x = a
para p ¹ 0 y a ¹ 0(7)
entonces
.
De (7)
Se cumple si "p" es un número imaginario con q real
Por lo tanto
Los valores EIGEN del sistema
Funciones EIGEN del sistema
Las soluciones (3)
depende de "n"
(9.a)
(9.b)
Todos los valores "p" se convirtieron en "n"
El artificio del potencial (2)
(10)
Sustituyendo las ecuaciones (9.a) y (9.b)
(11)
Con las condiciones de frontera (5): V(x,y)=0 en (11)
Como x ¹ 0
(12)
Sustituyendo (12) en (11) se simplifica el artificio del potencial
Como lo que esta entre llaves es igual a
(13)
Con la cuarta solución de frontera (5)
K=1,2,3,4
aplicada al potencial (13) con y=0
(14)
(15.a)
Un(u) = Funciones Eigen.
Kn = Constante.
Nn = Norma (15.b)
Resolviendo la integral la siguiente integral:
Para las constantes Kn para todo "n":
(15.c);
Funciones Eigen
u = x y Kn = Cn*
Determinación de la norma
Con (15.c)
(17)
Con (17) el potencial para cada K
Artificio del potencial
(1)
Suponiendo una línea de campo cualquiera en el espacio
Como la línea de campo tiene en todos sus puntos la intensidad E, es E tangencial a la curva de campo.
Se define como:
Este producto es nulo porque estas funciones vectoriales tienen la misma dirección
Sabemos
En un sistema ortogonal curvilíneo se cumple lo siguiente
Como los vectores unitarios son diferente de cero, entonces
Para el problema plano
con 
En coordenadas cartesianas
E = -gradV
Con
; 
(3)
Con el potencial (1)
Sustituyendo en (3)
Se integra
Integral de la forma
C= constante de integración
(4)
Suponiendo que las líneas de campo inician en el punto (xo , 0)
Con la ecuación (4)
(5)
(1) en (4):
(6)
El punto (xo , 0), se describe con flujo en dirección "y"
(7)
En el punto (xo , 0) se describe con el flujo en dirección "y" porque no existe ninguna dependencia con el eje "z".
Sustituyendo en (7)
(8)
Determinación del flujo para x = a, y = 0:
(9)
La relación (8) se NORMA respecto al flujo para x = a en (9)
(10)
La solución de la ecuación de las líneas de campo se obtiene al sustituir (10) en (6), esta solución se conoce como "La Ecuación del Ducto de Flujo"
Ecuación del Ducto de Flujo
S1 y S2 se conocen como Puntos Singulares, en estos puntos la intensidad del campo eléctrico es cero.
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