ONDAS O MOVIMIENTO ONDULATORIO

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA

Vamos a analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda sometida a una tensión y a determinar la velocidad de propagación de las ondas transversalesque se forman en la misma.
La onda se propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si pinchamos una cuerda de guitarra y soltamos, se forma una onda que se propaga por la cuerda y rebota en los puntos de sujeción.
Se propaga con una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa por unidad de longitud de la cuerda. A igualdad de pellizco la velocidad de la onda en una "prima"-la cuerda inferior de la guitarra y más delgada- no es igual a aquella con que se propaga en un "bordón".
Los elementos materiales de la cuerda se mueven perpendicularmente a ella, arriba y abajo, con velocidad variable dada por la ecuación de un movimiento vibratorio armónico simple, pero no se desplazan a lo largo de ella. La onda se propaga por la cuerda con una velocidad constante que depende del impulso que se le aplica y del grosor de la cuerda.
Pellizquemos una cuerda. Ahora sólo se esta formando y se ha propagado a un pequeño elemento de cuerda. Veamos esto pormenorizadamente.
La tensión de la cuerda se puede suponer que tiene dos componentes uno vertical y otro horizontal.
Las componentes horizontales se anulan al estar drigidos en sentidos opuestos y neutralizados por la sujeción de las cuerda. La componente vertical de la tensión acelera la masa de un pequeño trozo de la cuerda por donde se propagó la onda en un tiempo "t", muy pequeño (la parte inclinada de la figura).

La densidad lineal, m,es la masa total de la cuerda dividida por su longitud.
Suponiendo una densidad lineal m, de la cuerda representa una masa de cuerda a la que se propagó de m=m·v·t.
La onda se propaga con velocidad "v" y en el tiempo "t" recorre una distancia "v·t"

La velocidad de vibración vertical es variable como corresponde a un M.A.S. y es u=A w sen wt
La fuerza vertical comunica en ese tiempo un impulso hacia arriba al elemento de cuerda, trozo de masa mvt. , va a incrementar su cantidad de movimiento:

F_y t=m u

T (sen a )· t=m vt· u

Tal como vemos en la figura podemos deducir de lo que avanza la onda mientras transcurre el tiempo "t" y la distancia que bajo que: sen a=tg a =v·t / u·t
Por lo tanto:

T .(u/v)= m v u

T / v= m v

Despejando:

Esta fórmula permite conocer la dependencia de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda con la tensión de la cuerda T (N) y con su densidad lineal m (kg/m)y poder hallar su valor.
La expresión de la velocidad de propagación del sonido en el aire es semejente a la anterior pero en lugar de la tensión se pone la presión atmosférica y la densidad lineal se sustituye por la densidad del aire.

la fórmula de la velocidad de propagación de lasondas transversales en la misma.

Velocidad de propagación

Consideremos una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio, la cuerda está en línea recta. Vamos a ver lo que ocurre cuando se desplaza un elemento de longitud dx, situado en la posición x de la cuerda, una cantidad y respecto de la posición de equilibrio.
Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el elemento y calculamos la aceleración del mismo, aplicando la segunda ley de Newton.

• La fuerza que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento, es igual a la tensión T, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo a con la horizontal.
   
• La fuerza que ejerce la parte derecha de la cuerda sobre el extremo derecho del elemento, es igual a la tensión T, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo a’ con la horizontal.

Como el elemento se desplaza en la dirección vertical, hallamos las componentes de las dos fuerzas en esta dirección y la resultante.
dF_y=T(sena’-sena )
Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos a’ y a son pequeños y sus senos se pueden reemplazar por tangentes.
dF_y=T(tga’-tga )=T·d(tg a )=
La segunda ley de Newton nos dice que la fuerza dF_y sobre el elemento es igual al producto de su masa por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento).
La masa del elemento es igual al producto de la densidad lineal m (masa por unidad de longitud), por la longitud dx del elemento.

Simplificando el término dx llegamos a la ecuación diferencial del Movimiento Ondulatorio,  a partir de la cual, obtenemos la fórmula de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda.

•   T  es la tensión de la cuerda en N
•   m  es la densidad lineal en kg/m

DESCRIPCIÓN Cuando una cuerda tensa se pulsa o se roza la perturbación resultante se propaga a lo largo de ella. Dicha perturbación consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio: los segmentos de la cuerda se mueven en una dirección perpendicular a la cuerda y por tanto perpendicularmente a la dirección de propagación de la perturbación. Una onda en la que la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina onda transversal.

EJEMPLOS Y SIMULACIONES Ondas transversales en una cuerda La siguiente simulación representa la propagación de una onda transversal, y con ella trataremos de mostrar las características esenciales del movimiento ondulatorio armónico. Instrucciones El programa  requiere introducir en el control de edición titulado Longitud de onda, el valor que le damos a la longitud de la onda, y en el control de edición titulado Velocidad de propagación, el valor que le damos a esta magnitud. Después se pulsa el botón Empieza y se observa la propagación de una onda armónica a lo largo del eje X, hacia la derecha. Se observa que cualquier punto del medio, en particular el origen o extremo izquierdo de la cuerda, describe un Movimiento Armónico Simple, cuyo periodo podemos medir y comprobar que es igual al cociente entre la longitud de onda y la velocidad de propagación. Pulsar el botón Pausa, para congelar el movimiento ondulatorio en un instante dado, y observar la representación de una función periódica, cuyo periodo espacial o longitud de onda, es la distancia existente entre dos picos consecutivos, dos valles, o el doble de la distancia entre dos nodos (puntos de corte de la función con el eje X). Comprobar que esta distancia es la misma que hemos introducido en el control de edición titulado Longitud de onda.. Para reanudar el movimiento pulsar en el mismo botón titulado ahora Continua. Observar la propagación de la perturbación y en particular, de un pico señalado por un pequeño círculo, y su desplazamiento a lo largo del eje X. Comprobar, utilizando el botón titulado Paso, que se desplaza una longitud de onda en el periodo de una oscilación. Sin cambiar la velocidad de propagación, modificar la longitud de onda y observar que a mayor longitud de onda, el periodo de las oscilaciones es mayor y la frecuencia menor, y viceversa. Descripción de la propagación: Función de onda El objetivo de este apartado es establecer la ecuación que nos permita conocer el valor de la posición de cualquier punto del medio en que se propaga la perturbación en cada instante. Esta ecuación se llama función de onda. Por "la posición de cualquier punto", me refiero a y, la separación del punto de la posición de equilibrio. La función de onda, como es válida para todos los puntos y para todos los tiempos, será función de x y de t. y =f (x,t) Recuerda que cada punto repite lo que hizo el foco en un tiempo anterior. Tenemos una cuerda por la que se propaga un pulso. Situamos la cuerda en un sistema de referencia O y el pulso alejándose del origen. Tratamos de representar la forma del pulso en el instante t=0 mediante la función matemática que representa la altura frente a la distancia y =f(x). Admitimos que el pulso no varía de forma mientras avanza. Introducimos un nuevo sistema O', que se mueve con la misma velocidad del pulso v. En este nuevo sistema de referencia el pulso estará descrito por la función matemática y' =f(x') que nos dará su forma en cada instante. Los coordenadas en los dos sistemas de referencia están relacionadas entre sí : y=y' x=x' + a=x' + vt a=vt e igual a la separación de los sistemas de referencia, donde t es el tiempo y la función "se mueve" con velocidad v. Por lo tanto la forma del pulso en el sistema O puede describirse por: y =f(x- vt) y describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a lo largo del eje X, hacia la derecha y con velocidad v. Esto equivale a conocer en el sistema de referencia O la altura "y" para cada punto "x" en cada instante (ecuación de la ordenada en función de t) . Conociendo como varían las posiciones con el tiempo podemos predecir donde estarán en el futuro. Hemos logrado una expresión del tipo y=f(x,t) Si se diera un pulso con desplazamiento hacia la izquierda la función sería y =f(x+a)=f(x+vt). El pulso puede tener cualquier forma, onda, diente de sierra, etc., pero siempre existirá una función matemática que lo describa. Esta función matemática se llama función de onda. En el caso de una onda que se propaga en una cuerda, la función de onda representa el desplazamiento vertical de la cuerda en un punto "x" en el tiempo "t". Describe la posición de los puntos por los que pasa la onda en función del tiempo que transcurrió desde que se inicio y de la distancia al punto donde se originó. La función de onda es la solución matemática de la ecuación de onda. La función de onda se puede aplicar también a una onda longitudinal. En el gráfico inferior la perturbación que recorre un medio es un pulso y las partículas están vibrando y separándose de la posición de equilibrio. El pulso que origina en este ejemplo una onda longitudinal es un pulso de sonido, pero el tratamiento matemático es el mismo que vimos para las transversales. El desplazamiento horizontal variable "X", es función de la posición y del tiempo: X= f(x-vt) Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio Conociendo una propiedad física del medio en que se transmite la onda (la presión de un punto del aire, el campo eléctrico o simplemente el desplazamiento de un punto en una cuerda), podemos escribir una ecuación diferencial que exprese su comportamiento en función del tiempo. En el desplazamiento de una cuerda arriba y abajo al pasar la onda esa propiedad es "y" (el desplazamiento vertical): Estamos describiendo un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, sin distorsión y con velocidad v. Podemos comprobar que una solución de ésta ecuación diferencial es la función de onda y =f (x - vt). La función de onda armónica satisface la ecuación diferencial La función de onda que describe cualquier movimiento ondulatorio armónico (el pulso no es armónico) que se propaga con velocidad v y sin distorsión, a lo largo del eje de abscisas es: y(x,t)=A sen k (x - v ·t) Esta expresión corresponde a la de una onda armónica y satisface la ecuación diferencial anterior. Podemos comprobarlo derivando dos veces, primero respecto a t y luego respecto a x: Derivando de nuevo: Análogamente derivando respecto a x: Se cumple que: